Esercizio conservazione Hamiltoniana
Ciao 
Ho questo esercizio.
Esercizio. Un punto materiale \(P\), di massa \(m\), è vincolato ad una circonferenza verticale di raggio \(R\) e centro \(O\), origine di un sistema di riferimento fisso \(\Sigma = \{O, xyz\}\) avente l’asse \(Oz\) diretto come la verticale ascendente. La circonferenza ruota attorno all’ asse \(Oz\). Indicato con \(\phi\) l’angolo di rotazione, ovvero l’angolo che il piano contenente la circonferenza forma con il piano fisso \(Oxz\), la legge \(\phi= \phi(t)\), con cui l’angolo dipende dal tempo, è assegnata a priori, per cui il problema ha grado di libertà 1. Assunta come coordinata lagrangiana l’angolo \(\theta\) che \(P - O\) forma con l’asse \(z\), si scriva la Lagrangiana del sistema e si discuta la conservazione dell’Hamiltoniana \(H\) in funzione della legge \(\phi(t)\) con cui il vincolo dipende dal tempo. È possibile che \(H\) si conservi anche se il vincolo è mobile?
Non mi è chiaro quale sia il ruolo del pezzo «[...] la legge \(\phi= \phi(t)\), con cui l’angolo dipende dal tempo, è assegnata a priori, per cui il problema ha grado di libertà 1».
Coumunque faccio vedere dove sono arrivato.
Introduco un po' di notazione prima: \[\mathbf x := P - O = R (\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)\] da cui \[\left\lvert \dot{\mathbf x} \right\lvert^2 = R^2 (\dot \theta ^2 + \dot \phi^2 \sin^2 \theta) .\] Quindi la Lagrangiana in questione è
\[L = \frac 12 m R^2 \left(\dot \theta ^2 + \dot \phi^2 \sin^2 \theta\right) - mgR \cos \theta .\]
Diciamo che mi serve il momento cinetico coniugato a \(\theta\), cioè \[\gamma := \frac{\partial L}{\partial \dot\theta} = mR^2 \theta ,\] per cui l'Hamiltoniana nelle variabili \(\gamma\), \(\theta\) e \(t\) è \[H = \frac {\gamma^2}{2mR^2} - \frac 12 mR^2\dot\phi^2\sin^2\theta + mgR\cos\theta .\]
Mi viene da dire che se i vincoli sono fissi, l'Hamiltoniana è l'energia meccanica del sistema quindi si conserva. Quando \(\frac{\partial L}{\partial t} = 0\), l'Hamiltoniana è un integrale di moto. Non sono abbastanza convinto e vorrei chiedrevi un parere.
Ho questo esercizio.Esercizio. Un punto materiale \(P\), di massa \(m\), è vincolato ad una circonferenza verticale di raggio \(R\) e centro \(O\), origine di un sistema di riferimento fisso \(\Sigma = \{O, xyz\}\) avente l’asse \(Oz\) diretto come la verticale ascendente. La circonferenza ruota attorno all’ asse \(Oz\). Indicato con \(\phi\) l’angolo di rotazione, ovvero l’angolo che il piano contenente la circonferenza forma con il piano fisso \(Oxz\), la legge \(\phi= \phi(t)\), con cui l’angolo dipende dal tempo, è assegnata a priori, per cui il problema ha grado di libertà 1. Assunta come coordinata lagrangiana l’angolo \(\theta\) che \(P - O\) forma con l’asse \(z\), si scriva la Lagrangiana del sistema e si discuta la conservazione dell’Hamiltoniana \(H\) in funzione della legge \(\phi(t)\) con cui il vincolo dipende dal tempo. È possibile che \(H\) si conservi anche se il vincolo è mobile?
Non mi è chiaro quale sia il ruolo del pezzo «[...] la legge \(\phi= \phi(t)\), con cui l’angolo dipende dal tempo, è assegnata a priori, per cui il problema ha grado di libertà 1».
Coumunque faccio vedere dove sono arrivato.Introduco un po' di notazione prima: \[\mathbf x := P - O = R (\sin \theta \cos \phi, \sin \theta \sin \phi, \cos \theta)\] da cui \[\left\lvert \dot{\mathbf x} \right\lvert^2 = R^2 (\dot \theta ^2 + \dot \phi^2 \sin^2 \theta) .\] Quindi la Lagrangiana in questione è
\[L = \frac 12 m R^2 \left(\dot \theta ^2 + \dot \phi^2 \sin^2 \theta\right) - mgR \cos \theta .\]
Diciamo che mi serve il momento cinetico coniugato a \(\theta\), cioè \[\gamma := \frac{\partial L}{\partial \dot\theta} = mR^2 \theta ,\] per cui l'Hamiltoniana nelle variabili \(\gamma\), \(\theta\) e \(t\) è \[H = \frac {\gamma^2}{2mR^2} - \frac 12 mR^2\dot\phi^2\sin^2\theta + mgR\cos\theta .\]
Mi viene da dire che se i vincoli sono fissi, l'Hamiltoniana è l'energia meccanica del sistema quindi si conserva. Quando \(\frac{\partial L}{\partial t} = 0\), l'Hamiltoniana è un integrale di moto. Non sono abbastanza convinto e vorrei chiedrevi un parere.
Risposte
Non mi è chiaro quale sia il ruolo del pezzo «[...] la legge ϕ=ϕ(t), con cui l’angolo dipende dal tempo, è assegnata a priori, per cui il problema ha grado di libertà 1».
Vuol dire che $\phi$ non è una variabile dinamica come lo è $\theta$. E' semplicemente una funzione nota.
Mi viene da dire che se i vincoli sono fissi, l'Hamiltoniana è l'energia meccanica del sistema quindi si conserva. Quando ∂L∂t=0, l'Hamiltoniana è un integrale di moto. Non sono abbastanza convinto e vorrei chiedrevi un parere.
Anche secondo me. Se la langrangiana non dipende esplicitamente dal tempo, l'energia meccanica dovrebbe conservarsi. Questo accade se i vincoli sono fissi ma più in generale se $\dot{\phi}(t) = c$, caso in cui la circonferenza ruota con velocità angolare costante.
Ciao
Mi scuso per il ritardo, e spero che non ti dia noia rispondere.
Come fai a dire ciò? Una semplice derivata rispetto a \(t\)? \[\frac{\partial H}{\partial t} = mR^2\sin^2\theta \dot\phi\ddot\phi = 0 \Leftrightarrow \dot\phi = 0 \text{ oppure } \ddot\phi = 0\] nel qual caso, mi sembra di avre tratto la tua conseguenza.
Mi scuso per il ritardo, e spero che non ti dia noia rispondere.
"Lampo1089":
Questo accade se i vincoli sono fissi ma più in generale se $\dot{\phi}(t) = c$, caso in cui la circonferenza ruota con velocità angolare costante.
Come fai a dire ciò? Una semplice derivata rispetto a \(t\)? \[\frac{\partial H}{\partial t} = mR^2\sin^2\theta \dot\phi\ddot\phi = 0 \Leftrightarrow \dot\phi = 0 \text{ oppure } \ddot\phi = 0\] nel qual caso, mi sembra di avre tratto la tua conseguenza.
Mi scuso per il ritardo, e spero che non ti dia noia rispondere.
niente di cui scusarsi ... e nessuna noia, sono argomenti interessanti che ahimé ormai ho poco tempo per "maneggiare"
Come fai a dire ciò? Una semplice derivata rispetto a t?
come giustamente scrivi, deve essere $\frac{\partial L}{\partial t} = 0 $ affinché l'energia sia una costante del moto. Quindi, si vede ad occhio che se $\dot{\phi}$ è indipendente dal tempo - una costante appunto - la lagrangiana non dipende esplicitamente dal tempo e dunque $\frac{\partial L}{\partial t} = 0 $.
Il tuo procedimento è corretto: in questo caso stai considerando l'hamiltoniana invece della lagrangiana e vale anche in questo caso che quando H non dipende esplicitamente dal tempo ($\frac{\partial H}{\partial t} = 0 $), l'hamiltoniana stessa è conservata lungo le soluzioni:
$$
\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial H }{\partial p } \dot{p} + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H }{\partial p } \frac{\partial H }{\partial q } + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t}
$$
avendo usato le eq. di Hamilton nel penultimo passaggio.
"Lampo1089":
[...] questo fatto vale assolutamente in generale in quanto
$$
\frac{dH}{dt} = \frac{\partial H}{\partial q} \dot{q} + \frac{\partial H }{\partial p } \dot{p} + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial q} \frac{\partial H}{\partial p} - \frac{\partial H }{\partial p } \frac{\partial H }{\partial q } + \frac{\partial H}{\partial t} = \frac{\partial H}{\partial t}
$$
avendo usato le eq. di Hamilton nel penultimo passaggio.
Sì certo. Non avevo considerato questa cosa. Grazie mille.
"kaspar":
Grazie mille.
Di nulla.
Ne approfitto per correggere l'orrore/incomprensione/appunto errato contenuto nel mio vecchio post - sarà stata l'ora tarda, dovrei evitare di rispondere mentre dormo da sveglio
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