Esercizio cono rotante
Buongiorno, posto un esercizio d'esame che mi ha sottoposto una studentessa di ingegneria.
Il testo sembra abbastanza criptico.
un cono può essere messo in rotazione attorno al suo asse.sulla superficie interna viene appoggiato un cubetto di massa $m$ e dimensioni trascurabili. Detta $x$ la distanza dal vertice del cono, determinare l'intervallo di valori di $x$ affinché il cubetto resti fermo
DATI FORNITI $mu_s=1.9$, $theta=30°$ , $m=60g$ ,$omega= 10 {rad}/s$ dove $theta$ è l'angolo formato con la verticale.
Io ho ragionato così: supponiamo per assurdo che un osservatore nel sistema inerziale osservi il cubetto ruotare di moto circolare uniforme. Egli dopo aver fissato un sistema di assi con $y'$ coincidente con l'asse del cono e $x'$ ovviamente perpendicolare, imporrà che la forza totale lungo $x'$ corrisponda alla forza centripeta e la forza totale lungo $y'$ sia nulla.
Tradotto in formule
$$ \begin{cases} R \mu_s \sin \theta + R \cos \theta= m \omega^2 x \sin \theta \\
R\sin \theta - R\cos \theta \mu_s=mg \end{cases}$$
Dove $R$ indica il modulo della reazione vincolare
Svolgendo banali conti ho trovato
$$ x= \frac{g(\mu_s \sin \theta + \cos \theta)}{(\sin \theta - \mu_s \cos\theta )\omega^2 \sin \theta}$$
Adesso il problema è che affinché $x$ sia positivo dovrebbe valere $\tan theta< mu_s$ ma i dati forniti dal testo sono incompatibili oltre che fuorvianti visto che la massa non serve.
Chiedo lumi a chiunque riesca a interpretare il testo.
Il testo sembra abbastanza criptico.
un cono può essere messo in rotazione attorno al suo asse.sulla superficie interna viene appoggiato un cubetto di massa $m$ e dimensioni trascurabili. Detta $x$ la distanza dal vertice del cono, determinare l'intervallo di valori di $x$ affinché il cubetto resti fermo
DATI FORNITI $mu_s=1.9$, $theta=30°$ , $m=60g$ ,$omega= 10 {rad}/s$ dove $theta$ è l'angolo formato con la verticale.
Io ho ragionato così: supponiamo per assurdo che un osservatore nel sistema inerziale osservi il cubetto ruotare di moto circolare uniforme. Egli dopo aver fissato un sistema di assi con $y'$ coincidente con l'asse del cono e $x'$ ovviamente perpendicolare, imporrà che la forza totale lungo $x'$ corrisponda alla forza centripeta e la forza totale lungo $y'$ sia nulla.
Tradotto in formule
$$ \begin{cases} R \mu_s \sin \theta + R \cos \theta= m \omega^2 x \sin \theta \\
R\sin \theta - R\cos \theta \mu_s=mg \end{cases}$$
Dove $R$ indica il modulo della reazione vincolare
Svolgendo banali conti ho trovato
$$ x= \frac{g(\mu_s \sin \theta + \cos \theta)}{(\sin \theta - \mu_s \cos\theta )\omega^2 \sin \theta}$$
Adesso il problema è che affinché $x$ sia positivo dovrebbe valere $\tan theta< mu_s$ ma i dati forniti dal testo sono incompatibili oltre che fuorvianti visto che la massa non serve.
Chiedo lumi a chiunque riesca a interpretare il testo.
Risposte
Come mai trovi un solo valore per $x$? Dovresti trovarne due: quello minore, per cui il peso vince la forze centrifuga e l'attrito, e il blocchetto scivola verso il centro; e il maggiore, per cui la forza centrifuga supera peso e attrito e il blocchetto scivola all'esterno
A questo punto credo che dipenda dal verso della forza di attrito.io ho assunto che la massa non scivolasse, la forza totale verticale è nulla. Ma in effetti non saprei spiegare come mai ho scelto di disegnare la forza di attrito verso il basso e non verso l'alto.
Nella situazione limite vicino al centro, l'attrito va in su, nell'altra va in giù
Concordo con le osservazioni di mgrau, e aggiungo: a priori, l'intervallo potrebbe anche essere per ogni x (o è la soluzione in possesso dice che l'intervallo è limitato?)
In ogni caso bisogna studiare per bene le condizioni di stabilità, considerando il fatto che la formula della forza di attrito statico è in realtà un vincolo superiore al suo valore. E inoltre, tale vincolo superiore dipende inoltre da x - perché banalmente reazione normale alla superficie del cono dipende dalla distanza dal vertice stesso.
Però in tutta onesta, rischiando di passare per il bastian contrario di turno, io non vedo chissà quali imprecisioni nel testo del problema, che mi sembra formulato in maniera molto chiara.
In ogni caso bisogna studiare per bene le condizioni di stabilità, considerando il fatto che la formula della forza di attrito statico è in realtà un vincolo superiore al suo valore. E inoltre, tale vincolo superiore dipende inoltre da x - perché banalmente reazione normale alla superficie del cono dipende dalla distanza dal vertice stesso.
Però in tutta onesta, rischiando di passare per il bastian contrario di turno, io non vedo chissà quali imprecisioni nel testo del problema, che mi sembra formulato in maniera molto chiara.
Il mio errore è stato attribuire un verso del tutto arbitrario alla forza di attrito. In generale avrei dovuto ragionare nel sistema non inerziale solidale alla massa dove oltre alle forze vere avrei dovuto considerare la forza centrifuga. In questo caso stabilendo un sistema di riferimento con un asse coincidente con una generatrice (asse $x$) e l'altro perpendicolare $y$ avrei dovuto considerare le componenti della forza centrifuga $\vec F_c$ e della forza peso $\vec F_p$ lungo $x$. Detta $\vec F_a$ la forza di attrito ed $ \vec N$ la reazione normale, la condizione voluta si esprime scrivendo:
$ || \vec F_a||= \mu_s ||\vec N|| >= || \vec F_{c_x} + \vec F_{p_x}||= \abs{ \left(|| \vec F_{c_x}||-|| \vec F_{p_x}||\right)}=\abs{m \omega^2 r \sin \theta - mg \cos \theta}$
siccome $\vec N= \vec F_{p_y}+\vec F_{c_y}$ allora $||\vec N||= ||\vec F_{p_y}||+||\vec F_{c_y}||=m\omega^2 r \cos \theta+mg\sin \theta$
pertanto la condizione voluta si traduce nella seguente disuguaglianza
$\mu_s >= \frac{\abs{\omega^2 r \sin \theta-g\cos\ theta}}{\omega^2 r \cos \theta+g\sin \theta}$ la quale una volta sostituiti i dati del problema si trasforma nella seguente disequazione in $r$
$1,9 >= \frac{\abs{10^2 r \sin 30°-9,81\cos 30°}}{10^2 r \cos 30+9,81\sin 30°}$
Risolvendo la disequazione in modo rigoroso si può verificare che è soddisfatta per ogni $r>0$, pertanto il cubetto resterà sempre in equilibrio.
Siccome nella prima soluzione che ho cercato $x$ era un numero negativo contro l'ipotesi di averlo assunto positivo allora deduco di aver scelto il verso sbagliato per la forza di attrito. Cambiando verso ottengo
$x\sin\theta=\frac{g(\mu \sin\theta-\cos\theta)}{\omega^2(\mu\cos\theta+\sin\theta)}$
cioè
$x=\frac{ 9.8(1.9\frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3}{2} ) }{ 10^2(1.9 \frac{\sqrt 3}{2}+\frac{1}{2})\frac{1}{2} }=0,0077 m$
ora però mi domando, cosa rappresenta questa $x$?
$ || \vec F_a||= \mu_s ||\vec N|| >= || \vec F_{c_x} + \vec F_{p_x}||= \abs{ \left(|| \vec F_{c_x}||-|| \vec F_{p_x}||\right)}=\abs{m \omega^2 r \sin \theta - mg \cos \theta}$
siccome $\vec N= \vec F_{p_y}+\vec F_{c_y}$ allora $||\vec N||= ||\vec F_{p_y}||+||\vec F_{c_y}||=m\omega^2 r \cos \theta+mg\sin \theta$
pertanto la condizione voluta si traduce nella seguente disuguaglianza
$\mu_s >= \frac{\abs{\omega^2 r \sin \theta-g\cos\ theta}}{\omega^2 r \cos \theta+g\sin \theta}$ la quale una volta sostituiti i dati del problema si trasforma nella seguente disequazione in $r$
$1,9 >= \frac{\abs{10^2 r \sin 30°-9,81\cos 30°}}{10^2 r \cos 30+9,81\sin 30°}$
Risolvendo la disequazione in modo rigoroso si può verificare che è soddisfatta per ogni $r>0$, pertanto il cubetto resterà sempre in equilibrio.
Siccome nella prima soluzione che ho cercato $x$ era un numero negativo contro l'ipotesi di averlo assunto positivo allora deduco di aver scelto il verso sbagliato per la forza di attrito. Cambiando verso ottengo
$x\sin\theta=\frac{g(\mu \sin\theta-\cos\theta)}{\omega^2(\mu\cos\theta+\sin\theta)}$
cioè
$x=\frac{ 9.8(1.9\frac{1}{2} - \frac{\sqrt 3}{2} ) }{ 10^2(1.9 \frac{\sqrt 3}{2}+\frac{1}{2})\frac{1}{2} }=0,0077 m$
ora però mi domando, cosa rappresenta questa $x$?
Guarda che in realtà:
è errata, in generale la forza di attrito è inferiore al massimo possibile per cui semmai, vale:
In ogni caso, mi pare che tu abbia mancato il punto che ti è stato sollevato in precedenza: la forza di attrito sarà diretta verso il basso, o verso l'alto, a seconda della quota. Di conseguenza, conviene considerare considerare ambo le casistiche nella derivazione.
Però, da quanto ho avuto modo di vedere, il risultato è quello (corpo in equilibrio per ogni x).
A scanso di equivoci, però, con \(r\) cosa intendi? Immagino il raggio della circonferenza corrispondente ad una distanza x dal vertice, corretto?
\[|| \vec F_a||= \mu_s ||\vec N||\]
è errata, in generale la forza di attrito è inferiore al massimo possibile per cui semmai, vale:
\[|\vec F_a| \leq \mu_s |\vec N|\]
In ogni caso, mi pare che tu abbia mancato il punto che ti è stato sollevato in precedenza: la forza di attrito sarà diretta verso il basso, o verso l'alto, a seconda della quota. Di conseguenza, conviene considerare considerare ambo le casistiche nella derivazione.
Però, da quanto ho avuto modo di vedere, il risultato è quello (corpo in equilibrio per ogni x).
A scanso di equivoci, però, con \(r\) cosa intendi? Immagino il raggio della circonferenza corrispondente ad una distanza x dal vertice, corretto?
è errata, in generale la forza di attrito è inferiore al massimo possibile
Stiamo parlando di convenzioni. Per definizione la forza di attrito espressa dalla formula è quella massima.
In ogni caso, mi pare che tu abbia mancato il punto che ti è stato sollevato in precedenza: la forza di attrito sarà diretta verso il basso, o verso l'alto, a seconda della quota
Questo è sdoganato. Però non ho capito dove esattamente ho mancato il punto.
Nel primo tentativo ho ipotizzato forza di attrito verso il basso e la $x$ mi è uscita negativa(cosa assurda visto che nel disegno è assunta positiva). Cambiando verso trovo il valore positivo.
Immagino il raggio della circonferenza corrispondente ad una distanza x dal vertice, corretto?
Corretto.
Rinnovo la domanda: se il cubetto rimane fermo per ogni scelta di $x$ a cosa corrisponde il valore che ho trovato?
Stiamo parlando di convenzioni. Per definizione la forza di attrito espressa dalla formula è quella massima.
ammetterai che, invece di:
\[|\vec F_a| = \mu_s |\vec N| \geq | \vec F_{c_x} + \vec F_{p_x}| \]
intendevi invece:
\[ \mu_s |\vec N| \geq |\vec F_a| =| \vec F_{c_x} + \vec F_{p_x}| \]
invece di tirare in ballo una convezione che - nel caso generale - non ho mai visto da nessuna parte (ovvio che sia corretta quando si parla esplicitamente di attrito statico massimo, ma nella tua risoluzione questo non è il caso). La forza di attrito statico non è MAI in generale uguale al suo valore massimo.
Detto questo, comunque, questo errore non dovrebbe impattare il resto della derivazione.
Questo è sdoganato. Però non ho capito dove esattamente ho mancato il punto.
Il punto è che non devi fare nessuna assunzione sul segno della forza di attrito. Una volta scelto il verso degli assi, sono le equazioni della dinamica (applicate al caso statico) che ti dicono il verso della forza di attrito.
Ovviamente, a patto di scrivere per bene le equazioni, cosa che non hai fatto nella tua prima risoluzione:
tu scrivi \(R \mu_s \sin \theta \) ma come già detto questo è il modulo massimo della forza di attrito statico, ma chi ti dice:
1) che la forza di attrito statica sia effettivamente pari al valore massimo?
2) ipotizzi un segno ad-hoc, cosa che non va fatto.
In altri termini, la forza di attrito statico è una INCOGNITA e l'unica cosa che hai è un vincolo sul modulo massimo che tale forza può avere.
Essendo tu un matematico, non dovresti avere problemi a formalizzare per bene tutto quanto ti ho suggerito.
Essenzialmente si tratta di studiare il problema trovando:
1) quando l'attrito tira verso l'alto
2) quando tira verso il basso
3) studiare in ambo i casi se il vincolo sul modulo della forza di attrito è soddisfatto
Alla luce dei problemi che ti poni, ritengo sia molto istruttivo - anche se probabilmente superfluo - rispondere a tutte e tre le domande così da chiarire bene ogni dubbio.
---
ps in realtà, ho anche molti dubbi sul fatto che il tuo primo tentativo di risoluzione sia corretto. Se vuoi postare nel dettaglio come sei giunto a quel sistema, bene, altrimenti fossi in te mi concentrerei unicamente nella seconda via di risoluzione.
intendevi invece:
Assumi che ovunque io abbia scritto $F_a$ ci sia scritto $F_{a_max}$.
ma chi ti dice:
1) che la forza di attrito statica sia effettivamente pari al valore massimo?
2) ipotizzi un segno ad-hoc, cosa che non va fatto.
Si chiama minorazione. Credo che tu abbia fatto delle stime e delle maggiorazioni o minorazioni nei corsi di analisi. Io assumo di mettermi nelle condizioni peggiori, quelle prossime al distacco.Voi fisici lo descrivete come moto incipiente?
In altri termini, la forza di attrito statico è una INCOGNITA e l'unica cosa che hai è un vincolo sul modulo massimo che tale forza può avere.
Quindi avendo quei dati a disposizione come devo ragionare ? Se appoggiassi una massa sul cono a qualsiasi distanza dal vertice essa dovrebbe restare sempre ferma, allora la $x$ che ho trovato non ho capito che significato fisico abbia
Assumi che ovunque io abbia scritto Fa ci sia scritto Famax
OK, quindi ammetti di avere scritto una cosa errata?
Si chiama minorazione. Credo che tu abbia fatto delle stime e delle maggiorazioni o minorazioni nei corsi di analisi. Io assumo di mettermi nelle condizioni peggiori, quelle prossime al distacco.Voi fisici lo descrivete come moto incipiente?
Come al solito, continui a non rispondere alle mie domande. Secondo il tuo ragionamento, almeno quello nel primo svolgimento, dovrei porre la forza di attrito in modulo pari al suo valore massimo e nello studio della statica e utilizzare la prima eq cardinale in forma di una eguaglianza (così come tu hai fatto). Questo è palesemente errato.
Pensa ad esempio ad un caso più semplice, un piano inclinato. Se l'attrito è sufficiente alto, pensi che l'equazione risultante abbia una soluzione? Ne dedurremmo assenza di equilibrio, ma stiamo scherzando?!
E poi, dicendo "minorazioni": le "minorazioni" si fanno quando ha senso fisico farle, e tu non mi pare che abbia compreso il senso fisico di queste minorazioni. Perché, se lo avessi ben compreso, allora dovrebbe esserti estremamente chiaro uno dei problemi della tua prima soluzione (e che ti ho già fatto notare).
Se appoggiassi una massa sul cono a qualsiasi distanza dal vertice essa dovrebbe restare sempre ferma, allora la x che ho trovato non ho capito che significato fisico abbia
Te l'ho detto e te lo ripeto, il primo svolgimento è probabilmente tutto sbagliato, non credo sia una semplice questione di segni. E a questo punto è anche inutile porsi la domanda che ti poni.
Quindi, per piacere, ammesso che tu voglia il mio aiuto, potresti proseguire come ti ho suggerito - o altrimenti dire "grazie mille ma intendo proseguire come voglio io!" così risparmiamo tempo tutti e due, o almeno sicuramente io?
Detto questo, povera la studentessa di ingegneria che stai "aiutando" ...
OK, quindi ammetti di avere scritto una cosa errata?
Non capisco cosa ci possa essere di sbagliato nell'assumere definizioni.
Esempio. Un libro di massa$m$ è poggiato su un tavolo. Quali condizioni deve soddisfare la forza di attrito $F_a$ per equilibrare una generica forza $F$ ?
Risposta. assumendo $F_a:= F_{a_max}=mu_s N$ la minorazione che cerco è
$F_a>= F$
Quindi fino a quando essa è verificata il libro non si muove. Ecco stesso discorso replicalo sul cono. Fino a quando il modulo della forza di attrito massimo è superiore alla somma dei moduli delle altre due (nell'ipotesi che l'attrito sia discorde rispetto alle componenti della forza peso e centrifuga) allora la massa non scivolera' sul cono. Ora almeno fino qui siamo d'accordo?
No. La forza di attrito statico non è mai pari in generale al modulo massimo della forza di attrito statico possibile. E non è una questione di definizione, così come tu ti ostini a ripetere.
Magari avrai scritto anche cose giuste nel messaggio, ma date le premesse errate e la tua testardaggine (o presunzione?) ritengono opportuno evitare di continuare la discussione.
Buona continuazione
Magari avrai scritto anche cose giuste nel messaggio, ma date le premesse errate e la tua testardaggine (o presunzione?) ritengono opportuno evitare di continuare la discussione.
Buona continuazione
No. La forza di attrito statico non è mai pari in generale al modulo massimo della forza di attrito statico possibile. E non è una questione di definizione, così come tu ti ostini a ripetere.
Faccio veramente fatica a comprendere la tua osservazione. Stai affermando che il modulo della forza di attrito è strettamente minore del modulo della forza di attrito massimo? E' questo che non ti piace? Stiamo facendo discettazioni riguardo il massimo e l'estremo superiore?
Ripeto per l'ultima volta e in maniera ancora più energica:
assumere la forza di attrito pari al valore massimo è una vaccata colossale per cui, se io fossi il tuo professore di Fisica o il professore della studentessa che segui, vi boccerei tutti e due seduta stante con salto di appello.
Anche perché, oltretutto, se davvero nel problema in esame (come sembra) la massa è sempre in equilibrio, quell'assunzione lì NON E' MAI VERIFICATA.
Ripeto che mi sto riferendo alla prima soluzione, e lì non stai maggiorando/minorando un bel niente. Hai usato come valore della forza di attrito il suo valore massimo e risolvi una equazione. E questo (e non solo) è completamente sbagliato. Punto e basta.
Parli di convenzioni: le convenzioni che si usano devono essere quelle adottate da tutti. Non si inventano a piacimento per risolvere i problemi. Perché altrimenti passa il messaggio che eg. se su un corpo agisce una forza di attrito con valore massimo pari a 7N, e una forza motrice pari a 5N, che la forza di attrito è proprio pari a 7N (ed è la tua formula che dice questo) invece che 5N! Stiamo scherzando?
Ripeto, se vuoi il mio aiuto ti prego di riscrivere in maniera formale e precisa (fra l'altro, ma mica eri tu mister formalità precisione e rigore matematico?) secondo i criteri che ti ho suggerito, altrimenti spera nell'aiuto di altre persone.
Cordiali saluti e buona fortuna
Risposta. assumendo \(F_a:=F_{a,max}=μ_sN\)
assumere la forza di attrito pari al valore massimo è una vaccata colossale per cui, se io fossi il tuo professore di Fisica o il professore della studentessa che segui, vi boccerei tutti e due seduta stante con salto di appello.
Anche perché, oltretutto, se davvero nel problema in esame (come sembra) la massa è sempre in equilibrio, quell'assunzione lì NON E' MAI VERIFICATA.
Ripeto che mi sto riferendo alla prima soluzione, e lì non stai maggiorando/minorando un bel niente. Hai usato come valore della forza di attrito il suo valore massimo e risolvi una equazione. E questo (e non solo) è completamente sbagliato. Punto e basta.
Parli di convenzioni: le convenzioni che si usano devono essere quelle adottate da tutti. Non si inventano a piacimento per risolvere i problemi. Perché altrimenti passa il messaggio che eg. se su un corpo agisce una forza di attrito con valore massimo pari a 7N, e una forza motrice pari a 5N, che la forza di attrito è proprio pari a 7N (ed è la tua formula che dice questo) invece che 5N! Stiamo scherzando?
Ripeto, se vuoi il mio aiuto ti prego di riscrivere in maniera formale e precisa (fra l'altro, ma mica eri tu mister formalità precisione e rigore matematico?) secondo i criteri che ti ho suggerito, altrimenti spera nell'aiuto di altre persone.
Cordiali saluti e buona fortuna
Forse non sei così attento alle cose che scrivo. Alcune finezze sono per matematici evidentemente. Non ho mai scritto che la forza di attrito coincide con la forza di attrito massimo. Ho scritto che per definizione ho battezzato il geroglifico $F_ a:= F_{a_max}$ è ti ho invitato ad interpretare così quel simbolo ovunque lo leggessi. Se preferisci battezzalo come $H:= F_{a_max}$. Veramente uno indica la luna e qui si guarda il dito.
Stiamo parlando del nulla. Comunque ho risolto ogni mio dubbio ora scrivo le conclusioni.
Stiamo parlando del nulla. Comunque ho risolto ogni mio dubbio ora scrivo le conclusioni.
Alcune finezze sono per matematici evidentemente.
Ecco, tienitele per te queste finezze.
Peccato che il geroglifico, così come lo chiami \(F_a\), poi nello scritto lo chiamavi ovunque Forza Di Attrito.
E meno male che, come dici tu, "Forse non sono stato così attento alle cose che hai scritto".
Invece di dire agli altri che "non hanno capito quello che ho scritto", "che uno indica la luna e qui si guarda il dito" fatti due domande e chiediti se davvero tu hai capito le cose.
Comunque lo dico e lo ripeto, con una definizione del genere un qualsiasi professore di Fisica ti boccia seduta stante. Come un buon fisico non si permette di introdurre definizioni alternative di concetti già esistenti in campo matematico, una qualunque persona che studia/si approccia alla fisica non deve introdurre definizioni alternative di concetti basilari di fisica classica. E oltretutto, devi evitare di contestare una persona che fa notare queste grosse lacune facendolo passare come se fosse lui (cioé io) a non avere capito una cippa.
In realtà non capisco nemmeno cosa a scrivi a fare su un forum, quando quello che vuoi è solo conferme (quindi completa assenza di ascolto dei suggerimenti che ricevi) su tuoi ragionamenti che si sono rivelati sempre errati.
A questo punto, attendo curioso la tua soluzione
\[ \mu_s |\vec N| \geq |\vec F_a| =| \vec F_{c_x} + \vec F_{p_x}| \]
Io penso che chi scrive una cosa del genere non ha minimamente compreso il ragionamento che si sta portando avanti in questa sede visto che non è assolutamente rilevante il valore della forza di attrito ma il valore massimo che essa può assumere al distacco.
Riepilogando, ci si domanda se per i valori forniti dal problema esista un valore critico per $x$ oltre il quale la forza di attrito massima, che possiamo battezzare con qualsiasi nome ad esempio $\vec Psi$ non sia più in grado di mantenere il cubetto ancorato alla superficie del cono.
posto $||\vecPsi||=\mu(mg\sin\theta+m \omega^2 r \cos\theta)$
vogliamo stabilire per quali valori di $r=x\sin\theta$ vale la seguente disuguaglianza
$ ||\vec \Psi||>= \abs{m \omega^2 r \sin\theta-mg \cos\theta}$
OSSERVAZIONE
_____________________________________________________________________________
La componente tangenziale(direzione della generatrice del cono) della forza centrifuga e della forza peso sono sempre discordi, pertanto la disequazione che avevo scritto
$ ||\vec \Psi||>= \abs{m \omega^2 r \sin\theta+mg \cos\theta}$ non ha alcun senso e a maggior ragione non ha alcun significato il valore di $x$ che mi ero calcolato e del quale cercavo di trovare interpretazione fisica.
_____________________________________________________________________________
ora inserendo i valori assegnati dal problema troviamo
$1,9 >= \frac{\abs{10^2 r \sin 30°-9,81\cos 30°}}{10^2 r \cos 30°+9,81\sin 30°}$
la disequazione è verificata per qualsiasi $r>0$ ed andrebbe risolta algebricamente per verificarlo. Pertanto per qualsiasi valore di $r$ ovverosia di $x$ il cubetto non si muove.
Volendo eventualmente trovare un valore di $x$ per il quale si verifichi il distacco cioè per il quale $|| \vec \Psi|| = \abs{10^2 r \sin 30°-9,81\cos 30°}$ bisognerebbe studiare il segno del modulo che equivale ai seguenti 2 casi
1° CASO
il modulo della componente tangenziale della forza peso è maggiore del modulo della componente tangenziale della forza centrifuga.In questo caso $\vec \Psi$ è diretto verso l'alto
$x\sin\theta<= \frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin\theta}$
cioè $x<= 0,34 m$
pertanto
$$\begin{cases} x\leq 0,34 \\ g\cos\theta -\omega^2 r \sin\theta=\mu_s(g\sin\theta+\omega^2 r \cos\theta) \end{cases}$$
sostituendo i dati otteniamo una soluzione negativa, che non è accettabile in quanto assumiamo $x>0$ quindi il distacco non avviene mai almeno nell'intervallo $[0, 0.34]$
2° CASO
il modulo della componente tangenziale della forza peso è minore del modulo della componente tangenziale della forza centrifuga.In questo caso $\vec \Psi$ è diretto verso il basso
$x\sin\theta> \frac{g\cos\theta}{\omega^2\sin\theta}$
cioè $x> 0,34 m$
pertanto
$$\begin{cases} x> 0,34 \\ -g\cos\theta +\omega^2 r \sin\theta=\mu_s(g\sin\theta+\omega^2 r \cos\theta) \end{cases}$$
risolvere questo caso è esattamente equivalente a risolvere il sistema che avevo inserito nel primo messaggio cioè
$$ \begin{cases} R \mu_s \sin \theta + R \cos \theta= m \omega^2 x \sin \theta \\
R\sin \theta - R\cos \theta \mu_s=mg \end{cases}$$
che mi dava come soluzione
$$ x= \frac{g(\mu_s \sin \theta + \cos \theta)}{(\sin \theta - \mu_s \cos\theta )\omega^2 \sin \theta}$$
essendo la soluzione negativa anch'essa non è accettabile e deduco che nell'intervallo $[0.34 , +\infty)$ non vi è mai distacco .
unendo le soluzioni di entrambi i casi ritrovo la soluzione della disequazione col modulo, ovverosia non vi è mai una configurazione in cui la forza di attrito massima venga eguagliata in modulo producendo il distacco del cubetto.
Pertanto l'intervallo cercato è $ x \in [0, L]$ dove con $L$ si è indicata la lunghezza del cono.
Forse la si può mettere in modo più semplice. Qui abbiamo una forza peso verticale (costante) e una forza centrifuga orizzontale (variabile con la posizione). Con quei valori di $mu_s$ e $theta$ nè l'una nè l'altra forza riescono a muovere il blocchetto: sono interne al cono d'attrito. Quindi, nemmeno una somma delle due lo farà: il blocchetto resta sempre fermo, in qualsiasi posizione (e anche per qualsdiasi velocità di rotazione)
"mgrau":
Forse la si può mettere in modo più semplice. Qui abbiamo una forza peso verticale (costante) e una forza centrifuga orizzontale (variabile con la posizione). Con quei valori di $ mu_s $ e $ theta $ nè l'una nè l'altra forza riescono a muovere il blocchetto: sono interne al cono d'attrito. Quindi, nemmeno una somma delle due lo farà: il blocchetto resta sempre fermo, in qualsiasi posizione (e anche per qualsdiasi velocità di rotazione)
Esattamente.
Però per formalizzare rigorosamente il tutto credo che quei calcoli vadano eseguiti.
Grazie per i suggerimenti
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