Esercizio Condensatori

[Allee1]

Vi scrivo per un aiuto con questo esercizio
Tre condensatori di capacità C[size=50]A[/size]=C, C[size=50]B[/size]=2C e C[size=50]C[/size]=3C rispettivamente sono disposti come in figura. L'elettrodo (A) del condensatore di capacità C[size=50]A[/size] è tenuto a potenziale V[size=50]1[/size]=20V, mentre l'elettrodo (B) del condensatore di capacità C[size=50]B[/size] è tenuto a potenziale V[size=50]2[/size]=80V.
Qual è il potenziale V[size=50]3[/size] dell'elettrodo (C) del condensatore di capacità C[size=50]C[/size]?



Questo è uno degli esercizi svolti presenti sul mio libro di testo, che lo svolge in questo modo:

Detta Q[size=50]A[/size] la carica su C[size=50]A[/size] e Q[size=50]B[/size] la carica su C[size=50]B[/size] si ha
$ V1-V3= (QA)/(CA) $
$V2-V3= (QB)/(CB)$
Sul condensatore C[size=50]C[/size] la carica è (Q[size=50]A[/size]+Q[size=50]B[/size]) per cui:
$ V3-0=(QA+QB)/(Cc) $
Q[size=50]A[/size]C[size=50]A[/size](V[size=50]1[/size]-V[size=50]3[/size])
Q[size=50]B[/size]=C[size=50]B[/size](V[size=50]2[/size]-V[size=50]3[/size])
Dunque:
C[size=50]C[/size]V[size=50]3[/size]=Q[size=50]A[/size]+Q[size=50]B[/size]=C[size=50]A[/size](V[size=50]1[/size]-V[size=50]3[/size])=C[size=50]B[/size](V[size=50]2[/size]-V[size=50]3[/size])
Da cui:
$V3=(CA*V1+CB*V2)/(CA+CB+Cc)$

La mia domanda è perchè nella penultima formula pone quella catena di uguaglianze invece di sommare i membri?
Infine per trovare V[size=50]3[/size] posso sommare singolarmente le tre tensioni relative ai tre condensatori?
Grazie in anticipo a chi risponderà, sto da una giornata su questo esercizio

[Studente Anonimo]

Scrivendo meglio, si capisce meglio:

\[\left\{\begin{matrix} Q_A=C_A(V_1-V_3)\\ Q_B=C_B(V_2-V_3)\\ Q_C=C_C(V_3-0)\\ Q_A+Q_B=Q_C \end{matrix}\right.\].

Le incognite sono $(V_3,Q_A,Q_B,Q_C)$. Sostituendo le prime tre equazioni nella quarta, si ottiene facilmente:

\[V_3=\frac{C_AV_1+C_BV_2}{C_A+C_B+C_C}\].

[RenzoDF]

Per la soluzione poteva essere applicato Millman capacitivo, anche se, a voler essere pignoli, il potenziale $V_3$, in generale, sarà da ritenersi indeterminato in quanto dipende dalla "storia" di quei tre condensatori.

[Allee1]

In effetti è molto meglio! Ho capito più così che con la spiegazione del libro, in effetti ero preso dal capire invece di svolgere semplicemente i calcoli, visto che tutte le informazioni che mi servivano c'erano già. Grazie mille!