Esercizio con ruota cilindrica su doppio piano inclinato
Consideriamo un sistema formato da un doppio piano inclinato. Un blocco di massa \(\displaystyle m_2 \) slitta verso il basso sul piano inclinato con angolo di inclinazione di 60 gradi. Il coefficiente d'attrito dinamico fra il blocco e il piano d'appoggio è uguale a \(\displaystyle \mu \). Una ruota cilindrica di massa \(\displaystyle m_1 \) e raggio \(\displaystyle R \) è posta su una superficie inclinata con angolo di inclinazione uguale a 30 gradi. Attorno alla ruota è avvolto un filo sottile e inestensibile, di massa trascurabile, che collega la ruota al corpo di massa \(\displaystyle m_2 \), tramite una carrucola ideale (di massa e attrito trascurabili). L'attrito statico tra la ruota e la superficie del piano inclinato è sufficiente a garantire che la ruota non slitti. Calcolare l'accelerazione del blocco. Ricordiamo che il momento d'inerzia della ruota rispetto all'asse di rotazione è uguale a $ 1/2m_1R^2 $ .
Io ho ragionato in questo modo.
Le tensioni agenti sul blocco e sulla ruota sono uguali, essendo la fune e la carrucola ideali, per cui
$ T_1=T_2=T $
Il momento delle forze agenti sulla ruota è
$ M=(T-A)R $
dove con \(\displaystyle A \) mi riferisco all'attrito statico tra la ruota e la superficie.
Tale momento è inoltre calcolabile come
$ M=I_z*\dot{\omega} $
ossia il prodotto tra il momento d'inerzia della ruota rispetto all'asse di rotazione e l'accelerazione angolare.
Ciò significa che:
$ R(T-A)=1/2m_1R^2*\dot\omega\iff T-A=1/2m_1a_c\iffT=A+1/4m_1a $
dove con \(\displaystyle a_c \) mi riferisco all'accelerazione del centro di massa della ruota, la quale è metà dell'accelerazione del blocco, essendo la fune collegata all'estremo della ruota.
Le equazioni del moto dei due corpi sono le seguenti
$ \frac{sqrt{3}}2m_2g-T-1/2m_2g\mu=m_2a_c=1/2m_2a $
$ T-1/2m_1g+A=m_1a $
dove ho dato il segno positivo all'attrito in quanto esso si oppone al rotolamento in senso orario della ruota dovuto alla tensione del filo.
Sostituendo l'espressione della tensione e risolvendo il sistema ottengo che
$ a=frac{\sqrt3m_2g-m_2g\mu-1/2m_1g}{m_2+5/4m_1} $
Qualcuno può spiegarmi dove sbaglio? Non ho la soluzione dell'esercizio, quindi non ho modo di verificare se il risultato che ottengo sia corretto o meno.
Io ho ragionato in questo modo.
Le tensioni agenti sul blocco e sulla ruota sono uguali, essendo la fune e la carrucola ideali, per cui
$ T_1=T_2=T $
Il momento delle forze agenti sulla ruota è
$ M=(T-A)R $
dove con \(\displaystyle A \) mi riferisco all'attrito statico tra la ruota e la superficie.
Tale momento è inoltre calcolabile come
$ M=I_z*\dot{\omega} $
ossia il prodotto tra il momento d'inerzia della ruota rispetto all'asse di rotazione e l'accelerazione angolare.
Ciò significa che:
$ R(T-A)=1/2m_1R^2*\dot\omega\iff T-A=1/2m_1a_c\iffT=A+1/4m_1a $
dove con \(\displaystyle a_c \) mi riferisco all'accelerazione del centro di massa della ruota, la quale è metà dell'accelerazione del blocco, essendo la fune collegata all'estremo della ruota.
Le equazioni del moto dei due corpi sono le seguenti
$ \frac{sqrt{3}}2m_2g-T-1/2m_2g\mu=m_2a_c=1/2m_2a $
$ T-1/2m_1g+A=m_1a $
dove ho dato il segno positivo all'attrito in quanto esso si oppone al rotolamento in senso orario della ruota dovuto alla tensione del filo.
Sostituendo l'espressione della tensione e risolvendo il sistema ottengo che
$ a=frac{\sqrt3m_2g-m_2g\mu-1/2m_1g}{m_2+5/4m_1} $
Qualcuno può spiegarmi dove sbaglio? Non ho la soluzione dell'esercizio, quindi non ho modo di verificare se il risultato che ottengo sia corretto o meno.
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