Esercizio con Potenziale all'infinito
Vorrei solo accertarmi se ho svolto bene il seguente esercizio.
"Una sfera isolante, uniformemente carica, ha raggio pari a $5 cm$. Determinare la densità di carica volumetrica distribuita sulla sfera se il potenziale di un punto $r_P$, distante $2 cm$ dal centro della sfera, è pari a $20 V$ (rispetto all'infinito)."
Ho quindi che $V = \int_{r_P}^{\infty} \vec E(r) * d \vec l = \int_{r_P}^{\infty} (\rho R^3)/(3 r^2 \epsilon_0) dr = (\rho R^3)/(3 \epsilon_0) \int_{r_P}^{\infty} 1/r^2 dr = (\rho R^3)/(3 \epsilon_0 r_P)$
e quindi $\rho = (3 \epsilon_0 r_P V)/R^3$
E' giusto il modo in cui l'ho risolto?
"Una sfera isolante, uniformemente carica, ha raggio pari a $5 cm$. Determinare la densità di carica volumetrica distribuita sulla sfera se il potenziale di un punto $r_P$, distante $2 cm$ dal centro della sfera, è pari a $20 V$ (rispetto all'infinito)."
Ho quindi che $V = \int_{r_P}^{\infty} \vec E(r) * d \vec l = \int_{r_P}^{\infty} (\rho R^3)/(3 r^2 \epsilon_0) dr = (\rho R^3)/(3 \epsilon_0) \int_{r_P}^{\infty} 1/r^2 dr = (\rho R^3)/(3 \epsilon_0 r_P)$
e quindi $\rho = (3 \epsilon_0 r_P V)/R^3$
E' giusto il modo in cui l'ho risolto?
Risposte
Direi di no, devi spezzare l'integrale in due parti, per l'interno e per l'esterno della sfera carica.
Cioè tra $r_P$ e $R$ e poi da $R$ ad $\infty$?
Si
A me viene $\rho = (V 3 \epsilon_0 r_P)/(R^2 (2 r_P - R))$. Sembra un po' incasinato però... quindi penso che ho sbagliato.
A vedere quella differenza a denominatore direi sia proprio sbagliato, per rp=R/2 si avrebbe una densità di carica infinita, per rp inferiore a quel valore negativa e per rp maggiore, positiva.
Se posti i due integrali con relative soluzioni sarà più facile trovare l'errore.
Se posti i due integrali con relative soluzioni sarà più facile trovare l'errore.
Ho notato un errore che aveo fatto riguardo ai segni e quindi ho cambiato. Però adesso mi viene uguale a prima che dividevo l'integrale in due parti:
$V = (\rho R^3)/(3 \epsilon_0)\int_{r_P}^{R} 1/r^2 dr + (\rho R^3)/(3 \epsilon_0) \int_{R}^{\infty} 1/r^2 dr = (\rho R^2)/(3 \epsilon_0) - (\rho R^3)/(3 \epsilon_0 r_P) - (\rho R^2)/(3 \epsilon_0) = - (\rho R^3)/(3 \epsilon_0 r_P)$
$V = (\rho R^3)/(3 \epsilon_0)\int_{r_P}^{R} 1/r^2 dr + (\rho R^3)/(3 \epsilon_0) \int_{R}^{\infty} 1/r^2 dr = (\rho R^2)/(3 \epsilon_0) - (\rho R^3)/(3 \epsilon_0 r_P) - (\rho R^2)/(3 \epsilon_0) = - (\rho R^3)/(3 \epsilon_0 r_P)$
La ragione per la quale l'integrale va spezzato è associata alla diversa funzione E(r) del campo elettrico interno ed esterno: internamente risulta proporzionale al generico raggio r, mentre esternamente risulta inversamente proporzionale al quadrato di r.
Oh! Quindi all'interno $E(r) = (\rho r)/(3 \epsilon)$, e quindi $V = -(\rho r_P^2)/(6 \epsilon_0)$, $\rho = (V 6 \epsilon_0)/r_P^2$. Giusto?
"Kernul":
...Quindi all'interno $E(r) = (\rho r)/(3 \epsilon)$,
Si
"Kernul":
... e quindi $V = -(\rho r_P^2)/(6 \epsilon_0)$, $\rho = (V 6 \epsilon_0)/r_P^2$. Giusto?
No
$V = (\rho)/(3 \epsilon_0) \int_{r_P}^{R} r dr + (\rho R^3)/(3 \epsilon_0) \int_{R}^{\infty} 1/r^2 dr = (\rho R^2)/(6 \epsilon_0) - (\rho r_P^2)/(6 \epsilon_0) + (\rho R^2)/(3 \epsilon_0)$. Fino a qui è corretto?
Okay, quindi poi mi viene $\rho = (V 6 \epsilon_0)/(3 R^2 - r_P^2)$. Avevo sbagliato DI NUOVO i segni. Grazie mille!
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