Esercizio con molla e moto circolare
Il seguente esercizio proviene da un corso di introduzione alla meccanica, ma non sono sicura di averlo impostato correttamente (a parte che la seconda frase mi sembra posta un po' male) ... Comunque:
"L'estremo di una molla è vincolato ad un punto fisso mentre all'altro estremo è attaccato un corpo soggetto al proprio peso; in queste condizioni la molla subisce un allungamento di 0,5 cm. Se invece si fa ruotare la molla con il peso attaccato attorno al suo estremo fisso in un piano orizzontale con un moto circolare uniforme con periodo T=0,266 s, la molla si allunga di 4 cm.
Calcolare la lunghezza della molla a riposo."
____________
Allora, io l'ho risolto così... è corretto?
Nel primo caso basta eguagliare la forza elastica alla forza peso e si ha: $k·\Delta x_1=mg$ $\Rightarrow$ $k=frac{mg}{\Delta x_1}$
In seguito... la molla dovrebbe disporsi come in questa figura, o no??
In tal caso basterebbe eguagliare la componente orizzontale della forza elastica alla forza centripeta?
Quindi così: $k·\Delta x_2 · sin(\alpha) = m · \omega ^2 · (l+ \Delta x_2) · sin(\alpha)$
$sin(\alpha)$ si semplifica, ponendo $k=frac{mg}{\Delta x_1}$ anche la $m$ se ne va e calcolando $\omega = frac{2 \pi}{T}$ trovo:
$l=frac{g frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}- \omega ^2 · \Delta x_2}{\omega ^2}$
È giusto?
Grazie anticipatamente!
"L'estremo di una molla è vincolato ad un punto fisso mentre all'altro estremo è attaccato un corpo soggetto al proprio peso; in queste condizioni la molla subisce un allungamento di 0,5 cm. Se invece si fa ruotare la molla con il peso attaccato attorno al suo estremo fisso in un piano orizzontale con un moto circolare uniforme con periodo T=0,266 s, la molla si allunga di 4 cm.
Calcolare la lunghezza della molla a riposo."
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Allora, io l'ho risolto così... è corretto?
Nel primo caso basta eguagliare la forza elastica alla forza peso e si ha: $k·\Delta x_1=mg$ $\Rightarrow$ $k=frac{mg}{\Delta x_1}$
In seguito... la molla dovrebbe disporsi come in questa figura, o no??
In tal caso basterebbe eguagliare la componente orizzontale della forza elastica alla forza centripeta?
Quindi così: $k·\Delta x_2 · sin(\alpha) = m · \omega ^2 · (l+ \Delta x_2) · sin(\alpha)$
$sin(\alpha)$ si semplifica, ponendo $k=frac{mg}{\Delta x_1}$ anche la $m$ se ne va e calcolando $\omega = frac{2 \pi}{T}$ trovo:
$l=frac{g frac{\Delta x_2}{\Delta x_1}- \omega ^2 · \Delta x_2}{\omega ^2}$
È giusto?
Grazie anticipatamente!
Risposte
Secondo me la figura è sbagliata.
Nel secondo caso sembra che il sistema massa-molla ruoti su di un piano orizzontale...
Nel secondo caso sembra che il sistema massa-molla ruoti su di un piano orizzontale...
Si dal testo sembrava così ma è fisicamente possibile?? Cioé, ci sta sempre la forza peso... Al limite l'angolo tende a 90°, ma non sarà mai 90°, sbaglio???
In tal caso comunque se $\alpha$ fosse 90° avrei $sin(\alpha)=1$ e quindi $sin(\alpha)$ sarebbe altrettanto ininfluente in quella formula come nel caso in cui viene semplificato... Quello che appunto mi chiedevo è quale delle due strade è concettualmente corretta?
In tal caso comunque se $\alpha$ fosse 90° avrei $sin(\alpha)=1$ e quindi $sin(\alpha)$ sarebbe altrettanto ininfluente in quella formula come nel caso in cui viene semplificato... Quello che appunto mi chiedevo è quale delle due strade è concettualmente corretta?
Credo tu abbia risolto un problema più complesso di quello richiesto. La soluzione al tuo problema comunque mi sembra corretta.
...potresti calcolare anche l'angolo $alpha$ incognito eguagliando la forza peso alla componente verticale della forza di richiamo della molla.
Nel secondo punto penso si intendesse che la massa fosse poggiata su un tavolo e che ruotasse senza attrito attorno ad un asse verticale.
In questo caso ovviamente la forza peso e bilanciato dal tavolo e andrebbe considerata solo la forza centripeta che è fornita dalla forza di richiamo della molla.
...potresti calcolare anche l'angolo $alpha$ incognito eguagliando la forza peso alla componente verticale della forza di richiamo della molla.
Nel secondo punto penso si intendesse che la massa fosse poggiata su un tavolo e che ruotasse senza attrito attorno ad un asse verticale.
In questo caso ovviamente la forza peso e bilanciato dal tavolo e andrebbe considerata solo la forza centripeta che è fornita dalla forza di richiamo della molla.
Mmm mi sa che è probabile... dovevo fregarmene del peso e considerare solo la forza centripeta. Vabbé dai...
Grazie mille ad entrambi!
Grazie mille ad entrambi!
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