Esercizio con Laplace

[Jussi]

Salve,
sto cercando di risolvere questo esercizio applicando Laplace.



Per $t< 0$ la soluzione è banale, per $0\leq t< 1$ ho proceduto in questo modo:

trasformazioni:

$Z_1(s)=R_s+sL$

$Z_2(s)=\frac{R_u\frac{1}{sC}}{R_u+\frac{1}{sC}}=\frac{\frac{R_u}{sC}}{\frac{1+sR_uC}{sC}}=\frac{R_u}{1+sR_uC}$

$E_s(s)=\frac{E}{s}$

applicazione al circuito:

$V(s)=E_s(s)\frac{Z_2(s)}{Z_1(s)+Z_2(s)}$

$V(s)=\frac{E}{s}\frac{\frac{R_u}{1+sR_uC}}{R_s+sL+\frac{R_u}{1+sR_uC}}=\frac{E}{s}\frac{\frac{R_u}{1+sR_uC}}{\frac{R_s+sR_uR_sC+sL+s^2R_uLC+Ru}{1+sR_uC}}$

$V(s)=\frac{E}{s}\frac{R_u}{R_s+sR_uR_sC+sL+s^2R_uLC+Ru}=\frac{E}{s}\frac{1}{s^2LC+s(R_sC+\frac{L}{R_u})+\frac{R_s}{R_u}+1}$

studio dell'equazione algebrica:

$V(s)=\frac{E}{s}\frac{1}{as^2+bs+c}$

$a=LC=2\cdot 10^{-9}\times 10\cdot 10^{-12}=20\cdot 10^{-21}$

$b=R_sC+\frac{L}{R_u}=50\times 10\cdot 10^{-12}+\frac{2\cdot 10^{-9}}{50}=540\cdot 10^{-12}$

$c=\frac{R_s}{R_u}+1=\frac{50}{50}+1=2$

$\lambda_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-540\cdot 10^{-12}\pm \sqrt{(540\cdot 10^{-12})-4\times 20\cdot 10^{-21}\times 2}}{2\times 20\cdot 10^{-21}}$

$\lambda_1=-4.430\cdot 10^9$

$\lambda_2=-22.57\cdot 10^9$

e fino a qui sembra tutto bene, anche perché i valori numerici coincidono sia con la soluzione contenuta nell'esercizio, sia con una simulazione Spice del circuito.

Per il calcolo dei coefficienti per l'antitrasformata ho poi proseguito in questo modo:

$V(s)=\frac{E}{s}\frac{1}{(s-\lambda_1)(s-\lambda_2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{(s-\lambda_1)}+\frac{C}{(s-\lambda_2)}$

$A=\frac{E}{\lambda_1 \lambda_2}=60.01\cdot 10^{-21}$

$B=\frac{E}{\lambda_1(\lambda_1 -\lambda_2)}=98.79\cdot 10^{-21}$

$C=\frac{E}{\lambda_2(\lambda_2 -\lambda_1)}=-19.39\cdot 10^{-21}$

ma qui non ci siamo e non ne vengo fuori.
Non riesco a trovare l'errore.

[RenzoDF]

Premesso che non vedo perché scomodare Laplace quando, determinati i due autovalori andando ad uguagliare a zero la somma delle due impedenze "viste" a destra e a sinistra da un "taglio" intermedio della rete, la v(t) poteva semplicemente essere ricavata via somma della risposta transitoria a quella a regime, via condizioni iniziali, ... direi che il tuo evidentissimo errore stia nella seguente relazione

"Jussi": ...
$V(s)=\frac{E}{s}\frac{1}{(s-\lambda_1)(s-\lambda_2)}$

[Jussi]

Salve Renzo,

ho scomodato Pietro Simone perché sto studiando proprio il suo metodo.
E' l'esercizio a essere scelto in funzione del metodo e non viceversa.

Per l'errore evidentissimo, io mi vergognavo già prima di chiedere aiuto, pensa un po' adesso... che non lo vedo ancora.

$\frac{1}{as^2+bs+c} \ne \frac{1}{(s-\lambda_1)(s-\lambda_2)}$

???

Mi sa che ho un mattone davanti agli occhi.

[Jussi]

Adesso mi prendo a calci da solo...

$V(s)=\frac{E}{s}\frac{1}{a(s-\lambda_1)(s-\lambda_2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{(s-\lambda_1)}+\frac{C}{(s-\lambda_2)}$

$A=\frac{E}{a\lambda_1 \lambda_2}=3.000$

$B=\frac{E}{a\lambda_1(\lambda_1 -\lambda_2)}=-3.733$

$C=\frac{E}{a\lambda_2(\lambda_2 -\lambda_1)}=732.7\cdot 10^{-3}$

Antitrasformando:

$v(t)=3.000-3.733 \cdot e^{-4.430\cdot 10^9}+732.7\cdot 10^{-3}\cdot e^{-22.57\cdot 10^9}$

Grazie Renzo per la svegliata.

[RenzoDF]

Se puoi, quando hai completato anche la seconda parte, postala per i lettori del forum. Grazie