Esercizio con il pendolo semplice
Un pendolo è composto da un sottile filo inestensibile di lunghezza $L = 30 cm$ e di massa trascurabile, con un carico di rottura $T = 5 N$, e da una piccola sfera di massa $m = 300 g$ sospesa al filo. L'estremità superiore del filo P è fissata ad altezza $h = 3L$ dal suolo. La sferetta viene lasciata da ferma quando il filo è inclinato di un angolo $\theta = \pi/3$ rispetto alla verticale. Determinare:
a) l'angolo $\phi$ (rispetto alla verticale) di cui è inclinato il filo quando esso si spezza;
b) l'altezza massima dal suolo raggiunta dalla sfera se essa urta elasticamente sul pavimento;
c) la distanza fra il piede della verticale da P e il punto in cui la sfera tocca il suolo per la prima volta.
Dal diagramma delle forze si ricava $T = mv^2/L+mgcos\theta$. Nel momento in cui il filo si spezza il bilancio energetico risulta il seguente $1/2mv_1^2+mgl(1-cos\phi)=mgl(1-cos\theta)$. Mettendo a sistema le due equazioni ho determinato $\phi$. Per il secondo punto ho impostato la conservazione dell’energia per ricavare dapprima la velocità di impatto con il suolo; quindi ho posto: $1/2mv_1^2+mgh'=1/2mv_2^2$ con $h'=3L-L(1-cos\phi)$. Successivamente ho posto $1/2mv_2^2=mgh_(max)$ risolvendo il secondo punto. Tutto questo vi sembra giusto?
Il terzo punto invece penso che possa essere risolto facilmente con un po’ di goniometria, no? Però non riesco ad impostare l’equazione giusta :/
a) l'angolo $\phi$ (rispetto alla verticale) di cui è inclinato il filo quando esso si spezza;
b) l'altezza massima dal suolo raggiunta dalla sfera se essa urta elasticamente sul pavimento;
c) la distanza fra il piede della verticale da P e il punto in cui la sfera tocca il suolo per la prima volta.
Dal diagramma delle forze si ricava $T = mv^2/L+mgcos\theta$. Nel momento in cui il filo si spezza il bilancio energetico risulta il seguente $1/2mv_1^2+mgl(1-cos\phi)=mgl(1-cos\theta)$. Mettendo a sistema le due equazioni ho determinato $\phi$. Per il secondo punto ho impostato la conservazione dell’energia per ricavare dapprima la velocità di impatto con il suolo; quindi ho posto: $1/2mv_1^2+mgh'=1/2mv_2^2$ con $h'=3L-L(1-cos\phi)$. Successivamente ho posto $1/2mv_2^2=mgh_(max)$ risolvendo il secondo punto. Tutto questo vi sembra giusto?
Il terzo punto invece penso che possa essere risolto facilmente con un po’ di goniometria, no? Però non riesco ad impostare l’equazione giusta :/
Risposte
"m.e._liberti":
Per il secondo punto ho impostato la conservazione dell’energia per ricavare dapprima la velocità di impatto con il suolo; quindi ho posto: $1/2mv_1^2+mgh'=1/2mv_2^2$ con $h'=3L-L(1-cos\phi)$. Successivamente ho posto $1/2mv_2^2=mgh_(max)$ risolvendo il secondo punto. Tutto questo vi sembra giusto?
Non ho capito bene i calcoli, ma mi pare che non sia così semplice. Quando il filo si rompe, la sfera ha una certa velocità orizzontale e questa resta costante, e non contribuisce alla risalita della sfera. Di certo l'angolo $Phi$ che hai trovato deve entrare nel conto.
"mgrau":
[quote="m.e._liberti"] Per il secondo punto ho impostato la conservazione dell’energia per ricavare dapprima la velocità di impatto con il suolo; quindi ho posto: $1/2mv_1^2+mgh'=1/2mv_2^2$ con $h'=3L-L(1-cos\phi)$. Successivamente ho posto $1/2mv_2^2=mgh_(max)$ risolvendo il secondo punto. Tutto questo vi sembra giusto?
Non ho capito bene i calcoli, ma mi pare che non sia così semplice. Quando il filo si rompe, la sfera ha una certa velocità orizzontale e questa resta costante, e non contribuisce alla risalita della sfera. Di certo l'angolo $Phi$ che hai trovato deve entrare nel conto.[/quote]
Quindi in realtà quella $v_1$ dovrebbe essere $Vcos\phi$? Per porre il giusto bilancio energetico è necessario che io ricavi il modulo di questa $V$?
O invece si instaura il moto del proiettile e la richiesta del punto c non è altro che la gittata (?)
Vedo troppi simboli, che faccio fatica a capire cosa rappresentano... Vedrei come strada più semplice questa: nel punto di rottura, conosci l'angolo $Phi$ e il modulo della velocità. Trovi l'energia cinetica, a questa sottrai la parte che compete alla componente orizzontale della velocità. Quella che resta ti dice, uguagliandola a $mgh$, a quale altezza, al di sopra del punto di rottura, rimbalzerà la palla
"mgrau":
Vedo troppi simboli, che faccio fatica a capire cosa rappresentano... Vedrei come strada più semplice questa: nel punto di rottura, conosci l'angolo $Phi$ e il modulo della velocità. Trovi l'energia cinetica, a questa sottrai la parte che compete alla componente orizzontale della velocità. Quella che resta ti dice, uguagliandola a $mgh$, a quale altezza, al di sopra del punto di rottura, rimbalzerà la palla
Cerco di formalizzare meglio. Nel punto di rottura l’energia meccanica è $E_i=1/2mv_1^2+mgh_1$ dove $h_1=3L-L(1-cos\phi)$. Quella $v_1$ è la velocità che la sferetta ha nell’instante in cui il filo si spezza o è la componente verticale di tale velocità?
"m.e._liberti":
Nel punto di rottura l’energia meccanica è $E_i=1/2mv_1^2+mgh_1$ dove $h_1=3L-L(1-cos\phi)$.
A me sembra che sia $h_1=3L-Lcos\phi$
"m.e._liberti":
Quella $v_1$ è la velocità che la sferetta ha nell’istante in cui il filo si spezza o è la componente verticale di tale velocità?
La prima che hai detto. Poi da $1/2mv_1^2$ devi togliere $1/2m(v_1cosPhi)^2$ se vuoi sapere a che altezza rimbalza. Per es., se $Phi =0$, ossia se la palla si muove in orizzontale, non ti rimane niente, come energia cinetica utile al rimbalzo.
"mgrau":
La prima che hai detto. Poi da $1/2mv_1^2$ devi togliere $1/2m(v_1cosPhi)^2$ se vuoi sapere a che altezza rimbalza. Per es., se $Phi =0$, ossia se la palla si muove in orizzontale, non ti rimane niente, come energia cinetica utile al rimbalzo.
Okay, credo di aver capito allora. $1/2m(v_1cosPhi)^2$ sarebbe l’energia cinetica di impatto, quando tocca il pavimento, giusto?
No, è l'energia cinetica dovuta al moto orizzontale. Siccome la velocità orizzontale non si inverte nel rimbalzo, al contrario di quella verticale ($1/2m(v_1sinPhi)^2$), questa non si converte in energia potenziale
"mgrau":
No, è l'energia cinetica dovuta al moto orizzontale. Siccome la velocità orizzontale non si inverte nel rimbalzo, al contrario di quella verticale ($1/2m(v_1sinPhi)^2$), questa non si converte in energia potenziale
Posso porre allora $1/2m(v_1sinPhi)^2=mgh_(max)$?
"m.e._liberti":
Posso porre allora $1/2m(v_1sinPhi)^2=mgh_(max)$?
Ancora no...
La $h_(max)$ che trovi così è la salita al di sopra del punto in cui il filo si rompe...E' un po' come se lanciassi una palla verso il basso con una certa velocità $v$: la palla rimbalzerà fino all'altezza di lancio, ma lì avrà ancora la velocità $v$, e risalirà ancora di $v^2/(2g)$
"mgrau":
[quote="m.e._liberti"]
Posso porre allora $1/2m(v_1sinPhi)^2=mgh_(max)$?
Ancora no...
La $h_(max)$ che trovi così è la salita al di sopra del punto in cui il filo si rompe...E' un po' come se lanciassi una palla verso il basso con una certa velocità $v$: la palla rimbalzerà fino all'altezza di lancio, ma lì avrà ancora la velocità $v$, e risalirà ancora di $v^2/(2g)$[/quote]
Qual è allora il bilancio energetico che devo porre per ricavare $h_max$? Mi dispiace, ma non riesco ad arrivarci
Ricominciamo dall'inizio. Prendiamo come zero il pavimento, il filo è appeso $3L$ sopra. Il filo lungo $L$ è inclinato di $theta $ sulla verticale. L'altezza della sfera è $h_0 = 3L - Lcostheta$.
Mi pare che non hai problemi a trovare l'angolo $Phi$ dove il filo si rompe. L'altezza della sfera è ora $h_1 = 3L - LcosPhi$. La sua discesa è stata di $h_0 - h_1$, la sua velocità è $v_1 = sqrt(2g(h_0 - h_1))$. La componente verticale è $v_(1y) = v_1sintheta$ (in giù), quella orizzontale $v_(1x) = v_1costheta$.
La palla cade sul pavimento, rimbalza e ritorna all'altezza $h_1$. A questo punto la sua velocità verticale è la stessa di prima, ma in su. Quella orizzontale, la stessa. Con quella velocità verticale, a che altezza arriva? Un oggetto con velocità verticale $v$ verso l'alto arriva ad una altezza $v^2/(2g)$. Quindi, la palla, che già si trova in $h_1$, risalirà fino a $h_1 + v_(1y)^2/(2g)$
Spero che non ti turbi il fatto che non ti ho messo bilanci energetici, ma alla fine sono impliciti in quanto detto
Mi pare che non hai problemi a trovare l'angolo $Phi$ dove il filo si rompe. L'altezza della sfera è ora $h_1 = 3L - LcosPhi$. La sua discesa è stata di $h_0 - h_1$, la sua velocità è $v_1 = sqrt(2g(h_0 - h_1))$. La componente verticale è $v_(1y) = v_1sintheta$ (in giù), quella orizzontale $v_(1x) = v_1costheta$.
La palla cade sul pavimento, rimbalza e ritorna all'altezza $h_1$. A questo punto la sua velocità verticale è la stessa di prima, ma in su. Quella orizzontale, la stessa. Con quella velocità verticale, a che altezza arriva? Un oggetto con velocità verticale $v$ verso l'alto arriva ad una altezza $v^2/(2g)$. Quindi, la palla, che già si trova in $h_1$, risalirà fino a $h_1 + v_(1y)^2/(2g)$
Spero che non ti turbi il fatto che non ti ho messo bilanci energetici, ma alla fine sono impliciti in quanto detto
"mgrau":
Ricominciamo dall'inizio. Prendiamo come zero il pavimento, il filo è appeso $3L$ sopra. Il filo lungo $L$ è inclinato di $theta $ sulla verticale. L'altezza della sfera è $h_0 = 3L - Lcostheta$.
Mi pare che non hai problemi a trovare l'angolo $Phi$ dove il filo si rompe. L'altezza della sfera è ora $h_1 = 3L - LcosPhi$. La sua discesa è stata di $h_0 - h_1$, la sua velocità è $v_1 = sqrt(2g(h_0 - h_1))$. La componente verticale è $v_(1y) = v_1sintheta$ (in giù), quella orizzontale $v_(1x) = v_1costheta$.
La palla cade sul pavimento, rimbalza e ritorna all'altezza $h_1$. A questo punto la sua velocità verticale è la stessa di prima, ma in su. Quella orizzontale, la stessa. Con quella velocità verticale, a che altezza arriva? Un oggetto con velocità verticale $v$ verso l'alto arriva ad una altezza $v^2/(2g)$. Quindi, la palla, che già si trova in $h_1$, risalirà fino a $h_1 + v_(1y)^2/(2g)$
Spero che non ti turbi il fatto che non ti ho messo bilanci energetici, ma alla fine sono impliciti in quanto detto
Mi sembra che mi sia tutto chiaro adesso, ti ringrazio. Per il punto c devo sicuramente considerare $v_(1x)$, giusto? Ma in che modo ricavo quella distanza? Utilizzo le equazioni del moto o c’è un modo più semplice?
"m.e._liberti":
Per il punto c devo sicuramente considerare $v_(1x)$, giusto? Ma in che modo ricavo quella distanza? Utilizzo le equazioni del moto o c’è un modo più semplice?
Beh, sai dove si trova la sfera quando il filo si rompe, sai che velocità ha, devi trovare quanto tempo ci mette a toccare terra (qui ti serve l'altezza e la velocità verticale), moltiplicare questo tempo per la velocità orizzontale, e poi tener conto della posizione x iniziale
D’accordo, grazie mille!
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