Esercizio con gauss
Una carica statica e distribuita su una corona circolare di raggio interno $a$ e raggio esterno $b$ con densità di carica superficiale $sigma=k/r$ con $a
Applico gauss con un cilindro
Per $a
$E(r)=k(r-a)/(epsilon_(0)*r^2)$ e poi mi calcolo il potenziale Pero il problema è che dal mio svolgimento alla soluzione manca un 2 al denominatore e penso che il problema sia nel fatto che trascuro qualcosa con gauss ovvero dovrebbe essere
$E(r)=k(r-a)/(2*epsilon_(0)*r^2)$
Applico gauss con un cilindro
Per $a
$E(r)=k(r-a)/(epsilon_(0)*r^2)$ e poi mi calcolo il potenziale Pero il problema è che dal mio svolgimento alla soluzione manca un 2 al denominatore e penso che il problema sia nel fatto che trascuro qualcosa con gauss ovvero dovrebbe essere
$E(r)=k(r-a)/(2*epsilon_(0)*r^2)$
Risposte
Non capisco come applichi Gauss, visto che mancano superfici con uniformità di campo sulle quali calcolare facilmente il flusso.
E poi qua si chiede il potenziale al centro, non il campo.
Io farei così:
$${V_0} = \int\limits_a^b {\frac{{dq}}
{{4\pi {\varepsilon _0}r}}} = \int\limits_a^b {\frac{{2\pi \sigma }}
{{4\pi {\varepsilon _0}r}}dr} = \int\limits_a^b {\frac{k}
{{2{\varepsilon _0}{r^2}}}dr} = \left[ {\frac{k}
{{2{\varepsilon _0}r}}} \right]_b^a = \frac{k}
{{2{\varepsilon _0}}}\left[ {\frac{1}
{a} - \frac{1}
{b}} \right]$$
E poi qua si chiede il potenziale al centro, non il campo.
Io farei così:
$${V_0} = \int\limits_a^b {\frac{{dq}}
{{4\pi {\varepsilon _0}r}}} = \int\limits_a^b {\frac{{2\pi \sigma }}
{{4\pi {\varepsilon _0}r}}dr} = \int\limits_a^b {\frac{k}
{{2{\varepsilon _0}{r^2}}}dr} = \left[ {\frac{k}
{{2{\varepsilon _0}r}}} \right]_b^a = \frac{k}
{{2{\varepsilon _0}}}\left[ {\frac{1}
{a} - \frac{1}
{b}} \right]$$
@Falco5x: mi ritrovo con la tua osservazione iniziale, non col tuo calcolo, dimmi se e dove sbaglio.
Preso un elemento di superficie $dS$ della corona circolare a distanza $r$ dal centro, è: $dS=rdrdphi$, la carica infinitesima contenuta in esso è:
$dq=sigmadS=k/r*rdrdphi=kdrdphi$, ed il potenziale $dV$ nel centro dovuto a questa è:
$dV=1/(4pi epsilon)*(dq)/r=k/(4pi epsilon)(drdphi)/r$
integrando sulla corona hai:
$V_0=k/(4 pi epsilon)int_0^(2pi)dphi int_a^b(dr)/r=k/(4 pi epsilon)*2pi*"ln" b/a=k/(2epsilon)*"ln"b/a$.
O no?
Preso un elemento di superficie $dS$ della corona circolare a distanza $r$ dal centro, è: $dS=rdrdphi$, la carica infinitesima contenuta in esso è:
$dq=sigmadS=k/r*rdrdphi=kdrdphi$, ed il potenziale $dV$ nel centro dovuto a questa è:
$dV=1/(4pi epsilon)*(dq)/r=k/(4pi epsilon)(drdphi)/r$
integrando sulla corona hai:
$V_0=k/(4 pi epsilon)int_0^(2pi)dphi int_a^b(dr)/r=k/(4 pi epsilon)*2pi*"ln" b/a=k/(2epsilon)*"ln"b/a$.
O no?
Hai perfettamente ragione, mi era sfuggito un "r" !
ragazzi avete perfettamente ragione ma io ho provato a fare il calcolo passando per il campo elettrico e non perche sono masochista e voglio complicarmi la vita ma ogni esercizio che faccio lo voglio risolvere in tutti i modi possibili per abituarmi a usare anche altri metodi..comunque quello che ho fatto e semplice gauss cosa dice
per $a
adesso il flusso è abbastanza semplice essendo un cilindro e per simmetria il campo elettrico e parallelo alla superficie superiore e inferiore del cilindro mentre su quella laterale il campo è ortogonale quindi
$int_(S)E(r)*ds=E(r)*[int_(0)^(2pi)int_(0)^(r)rdr*d\theta+int_(0)^(2pi)int_(0)^(r)rdr*d\theta]=E(r)[pir^2+pir^2]=E(r)2pir^2$ quindi non riesco a capire dove sbaglio
per $a
adesso il flusso è abbastanza semplice essendo un cilindro e per simmetria il campo elettrico e parallelo alla superficie superiore e inferiore del cilindro mentre su quella laterale il campo è ortogonale quindi
$int_(S)E(r)*ds=E(r)*[int_(0)^(2pi)int_(0)^(r)rdr*d\theta+int_(0)^(2pi)int_(0)^(r)rdr*d\theta]=E(r)[pir^2+pir^2]=E(r)2pir^2$ quindi non riesco a capire dove sbaglio
"alessandrof10":No.
adesso il flusso è abbastanza semplice
"alessandrof10":
non riesco a capire dove sbaglio
Qua:
"alessandrof10":
$ int_(S)E(r)*ds=E(r)*[int_(0)^(2pi)int_(0)^(r)rdr*d\theta+int_(0)^(2pi)int_(0)^(r)rdr*d\theta]$
Tirando fuori il campo elettrico (o, più esattamente, la sua componente lungo la normale al cilindro) dal calcolo dell'integrale, lo tratti come se fosse una costante, posizione assolutamente arbitraria in quanto hanno buona probabilità di essere corrette le seguenti osservazioni dettate da buon senso:
1) il modulo del campo elettrico non è costante su tutti i punti delle basi del cilindro (e perché dovrebbe esserlo?);
2) l'angolo che forma con la normale non è costante (idem come sopra), quindi - tra l'altro - non è per niente ovvio ed anzi è sbagliato ritenere nullo il flusso attraverso la superficie laterale del cilindro;
3) la componente normale del campo non è indipendente da quanto lontano dalla corona circolare ci si pone, altrimenti detto dall'altezza del cilindro (idem come sopra).
In buona sostanza, hai trattato il campo elettrico in questione come se fosse quello prodotto da una distribuzione di carica piana ed infinitamente estesa, ossia un campo uniforme.
allora con il punto 1 diciamo che ho capito perche essendo una distribuzione variabile con la distanza ovviamente il flusso sara diverso su ogni punto della superficie del cilindro se ci muoviamo dal centro verso esterno...
per il terzo punto diciamo che è una conseguenza del primo ovvero piu è alto il cilintro minore sara il flusso che l attraversa in quanto intensita varia...
mentre per il punto 2 non sono d accordo in quanto non capisco perche angolo dovrebbe variare ??
quindi mi stai dicendo che con gauss questo e un problema che non si puo risolvere in modo semplice ??
se vuoi puoi farmi vedere come impostare gli integrali ??
per il terzo punto diciamo che è una conseguenza del primo ovvero piu è alto il cilintro minore sara il flusso che l attraversa in quanto intensita varia...
mentre per il punto 2 non sono d accordo in quanto non capisco perche angolo dovrebbe variare ??
quindi mi stai dicendo che con gauss questo e un problema che non si puo risolvere in modo semplice ??
se vuoi puoi farmi vedere come impostare gli integrali ??
Guarda, nell'immagine (solo qualitativa) che segue ti mostro l'andamento che a mio avviso potrebbe intuitivamente avere il campo elettrico dovuto alla corona circolare. In rosso tratteggiato le linee di forza, in rosso continuo i vettori che rappresentano il campo (nell'ipotesi di carica positiva della corona) sui punti della superficie cilindrica. L'unica garanzia data dal buon senso è che, data l'invarianza per rotazione rispetto all'asse verticale centrale del sistema, la struttura del campo sarebbe la stessa in qualsiasi altra direzione rispetto a quella che ho fissato.
Non ci sono motivi per sostenere che il campo abbia lo stesso modulo in tutti i punti della superficie cilindrica, né che l'angolo che forma con la normale alla medesima sia costante, nè che non dipenda dalla distanza $z$ dal piano che contiene la corona. Sono funzioni incognite di tre coordinate sia il modulo del campo sia l'angolo rispetto alla normale. Credo che sarebbe difficile - ammesso che sia fattibile - calcolarne il flusso (secondo la definizione, ovviamente, non sfruttando il teorema di Gauss) conoscendone l'espressione esplicita, mentre è mia opinione che sia impossibile ricavare quest'ultima nel caso, qual è quello del problema, in cui sia incognita.
Senza contare, inoltre, che l'esercizio ti chiede di trovare il potenziale in un punto, passare attraverso il calcolo del campo elettrico in una regione estesa di spazio per raggiungere l'obiettivo mi pare che sia un'operazione che è riduttivo definire masochistica.
Salvo miei errori, ovviamente.
Non ci sono motivi per sostenere che il campo abbia lo stesso modulo in tutti i punti della superficie cilindrica, né che l'angolo che forma con la normale alla medesima sia costante, nè che non dipenda dalla distanza $z$ dal piano che contiene la corona. Sono funzioni incognite di tre coordinate sia il modulo del campo sia l'angolo rispetto alla normale. Credo che sarebbe difficile - ammesso che sia fattibile - calcolarne il flusso (secondo la definizione, ovviamente, non sfruttando il teorema di Gauss) conoscendone l'espressione esplicita, mentre è mia opinione che sia impossibile ricavare quest'ultima nel caso, qual è quello del problema, in cui sia incognita.
Senza contare, inoltre, che l'esercizio ti chiede di trovare il potenziale in un punto, passare attraverso il calcolo del campo elettrico in una regione estesa di spazio per raggiungere l'obiettivo mi pare che sia un'operazione che è riduttivo definire masochistica.
Salvo miei errori, ovviamente.
diciamo che mi hai convinto... ma se nel testo mi dicevano che il campo era uniforme allora tutte le linee erano per verticali ?? e poi il termine uniforme è inteso per la direzione e il verso o anche per il modulo ??? mi spiego meglio è possibile avere un campo uniforme per direzione e verso ma con modulo variabile in base alla distanza ??? ... per finire questo esercizio con gauss si risolve stupidamente prendendo come superficie una sfera perche cosi ammesso che è vero quello che dici allora in ogni punto della sfera il campo è parallelo alla superficie e quindi posso portare fuori il campo elettrico e integro su tutta la superficie e cosi torna anche il risultato...giusto ??
"alessandrof10":
... ma io ho provato a fare il calcolo passando per il campo elettrico e non perche sono masochista e voglio complicarmi la vita ma ogni esercizio che faccio lo voglio risolvere in tutti i modi possibili per abituarmi a usare anche altri metodi..
Se proprio vuoi passare per il campo elettrico puoi andare a calcolarti il campo su un generico punto P dell'asse della corona circolare e poi integrare detto campo dal centro della corona all'infinito.
BTW A pensarci bene comunque, se quello postato fosse il testo originale, la risposta alla richiesta del problema poteva essere diretta: ... "il potenziale è indeterminato" ... o meglio ancora "il potenziale è assunto pari a zero"
Giusto per curiosità ha provato a simulare il problema via analisi agli elementi finiti [nota]Usando FEMM, software freeware di David Meeker -> http://www.femm.info/wiki/HomePage[/nota] al fine di avere una più precisa idea sulla configurazione del campo; ecco il risultato, ovviamente qualitativo mancando nel problema i valori numerici dei dati
RenzoDF sei sempre un mito ... 
Non riesco a capire il grafico. Mi aspettavo delle simmetrie che non vedo... 
"Falco5x":
... Mi aspettavo delle simmetrie che non vedo...
Quali?
Com'è messa la corona circolare?
"Falco5x":
Com'è messa la corona circolare?
Con l'asse coincidente con il bordo sinistro dell'immagine.
Ah ok, adesso mi è chiaro.
"Falco5x":
... adesso mi è chiaro.
Ho dovuto impostare il problema a simmetria assiale.
Mi aspettavo una domanda, ma diversa
... quale?
Vorrei solo sapere se hai impostato la densità in modo inversamente proporzionale al raggio.
"Falco5x":
Vorrei solo sapere se hai impostato la densità in modo inversamente proporzionale al raggio.
Quella è la risposta.
La domanda stava nell'immagine.
... ovvero, la domanda che mi aspettavo era: "perché lo spessore della corona non è costante" 
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