Esercizio con differenza di potenziale
Un condensatore è costituito da un cilindro metallico di raggio $R_c = 10^-2 m$ lungo il cui asse è teso un filo di raggio $R_f = 10^-3 m$. Se tra il filo, carico positivamente, e il cilindro, carico negativamente, si applica una differenza di potenziale di $900$ Volt, qual è il campo elettrico misurato:
a) sulla superficie del filo;
b) sulla superficie interna del cilindro.
Io so che nel condensatore ho $\Delta V = \int_{R_f}^{R_c} \vec E(r) * d\vec l$, il quale mi da $Q/(4 \pi \epsilon_0)(1/R_f - 1/R_c)$.
Ora, quella $Q$ è la carica sul filo (cioè $h * \lambda$) oppure sulla superficie interna del cilindro (cioè $2 \pi R_c \sigma$)?
a) sulla superficie del filo;
b) sulla superficie interna del cilindro.
Io so che nel condensatore ho $\Delta V = \int_{R_f}^{R_c} \vec E(r) * d\vec l$, il quale mi da $Q/(4 \pi \epsilon_0)(1/R_f - 1/R_c)$.
Ora, quella $Q$ è la carica sul filo (cioè $h * \lambda$) oppure sulla superficie interna del cilindro (cioè $2 \pi R_c \sigma$)?
Risposte
Ti ricordo che anche il filo è un cilindro e che la carica su questo condensatore cilindrico sarà la stessa sulle due armature; non essendo specificata la lunghezza assiale del condensatore, è sottinteso che sia indefinito, ma è possibile analizzare il problema considerando una sezione di lunghezza unitaria.
Ma come può la carica essere uguale su entrambe se hanno due raggi diversi?
$Q = 2 \pi R_c \sigma$ o $Q = 2 \pi R_f \sigma$?
$Q = 2 \pi R_c \sigma$ o $Q = 2 \pi R_f \sigma$?
Ho detto carica, non densità di carica.
Oh! Scusami, ho letto male.
Comunque $\vec E(r)$ è il campo eletrico tra le due armature. Per calcolarmi il campo elettrico sulle entrambe le armature dovrei trovare prima la differenza di potenziale tra il centro ed $R_f$ e poi usare $\Delta V_f = \int_0^{R_f} \vec E(R_f) d\vec l$ per il filo? E per il cilindro invece sarebbe $\Delta V_c = \int_0^{R_c} \vec E(R_c) d\vec l$?
Comunque $\vec E(r)$ è il campo eletrico tra le due armature. Per calcolarmi il campo elettrico sulle entrambe le armature dovrei trovare prima la differenza di potenziale tra il centro ed $R_f$ e poi usare $\Delta V_f = \int_0^{R_f} \vec E(R_f) d\vec l$ per il filo? E per il cilindro invece sarebbe $\Delta V_c = \int_0^{R_c} \vec E(R_c) d\vec l$?
"Kernul":
... Comunque $\vec E(r)$ è il campo eletrico tra le due armature.
Ok, e ora sarei anche curioso di vederlo (correttamente) scritto per un generico raggio $R_f < r < R_c$, una volta indicata con $Q$ la carica per unità di lunghezza del condensatore.
"Kernul":
... Per calcolarmi il campo elettrico sulle entrambe le armature dovrei trovare prima la differenza di potenziale tra il centro ed $R_f$
Scusa ma non vedo come possa esistere differenza di potenziale fra il centro (del filo) e la sua superficie; la differenza di potenziale (data) esiste fra il cilindro (filo) conduttore interno e il cilindro esterno.
Come avevi scritto nel messaggio introduttivo integrando il campo elettrico fra Rf e Rc puoi determinare la relazione fra la carica Q e la tensione V, ovvero la capacità di questo condensatore cilindrico; dalla capacità e dalla tensione ricavi la carica e da questa i due campi elettrici: Ef sulla superficie esterna del filo interno e Ec sulla superficie interna del cilindro esterno.
Per scrivere il campo elettrico per un generico raggio dovrei usare il Teorema di Gauss, quindi verrebbe $E = Q/(2 \pi r \epsilon_0)$, giusto?
La capacità si ha come rapporto tra la carica e la tensione. $C = Q/(\Delta V)$. Però so che $\Delta V = Q/(4 \pi \epsilon_0) (1/R_f - 1/R_c)$ e quindi verrebbe
$C = Q/(Q/(4 \pi \epsilon_0) (1/R_f - 1/R_c)) = 1/(1/(4 \pi \epsilon_0) (1/R_f - 1/R_c)) = 4 \pi \epsilon_0 (R_f - R_c)$ e quindi mi trovo la capacità.
La carica $Q$ invece si ricava come $Q = C \Delta V$
A questo punto per calcolarmi i due campi elettrici devo usare $E = Q/(2 \pi r \epsilon_0)$ sostituendo $R_f$ ed $R_c$ con $r$, giusto?
La capacità si ha come rapporto tra la carica e la tensione. $C = Q/(\Delta V)$. Però so che $\Delta V = Q/(4 \pi \epsilon_0) (1/R_f - 1/R_c)$ e quindi verrebbe
$C = Q/(Q/(4 \pi \epsilon_0) (1/R_f - 1/R_c)) = 1/(1/(4 \pi \epsilon_0) (1/R_f - 1/R_c)) = 4 \pi \epsilon_0 (R_f - R_c)$ e quindi mi trovo la capacità.
La carica $Q$ invece si ricava come $Q = C \Delta V$
A questo punto per calcolarmi i due campi elettrici devo usare $E = Q/(2 \pi r \epsilon_0)$ sostituendo $R_f$ ed $R_c$ con $r$, giusto?
"Kernul":
Per scrivere il campo elettrico per un generico raggio dovrei usare il Teorema di Gauss, quindi verrebbe $E = Q/(2 \pi r \epsilon_0)$, giusto?
Giusto!
"Kernul":
La capacità si ha come rapporto tra la carica e la tensione. $C = Q/(\Delta V)$.
Giusto!
"Kernul":
Però so che $\Delta V = Q/(4 \pi \epsilon_0) (1/R_f - 1/R_c)$
Sbagliato!
Perché è sbagliato? Deve essere $2$ invece di $4$? Oppure è $(1/R_c - 1/R_f)$?
"Kernul":
Perché è sbagliato?
Tanto per cominciare perché è già dimensionalmente errata[nota]Visto che nel nostro caso [Q]=C/m.[/nota]
Mi spiegheresti come hai ricavato quella relazione per $\Delta V$ ?
Ho moltiplicato il campo elettrico fra le due armature $\vec E(r)$ per uno spostamento elementare $d\vec l$ fra esse e integrato lungo tale traiettoria e quindi l'integrale $\int_{R_f}^{R_c}$. E' giusto quindi dire che la differenza di potenziale è uguale al campo elettrico tra le due superfici per la distanza fra esse nel caso in cui il campo elettrico è costante? Cioè, posso scrivere $\Delta V = E * (R_c - R_f)$?
"Kernul":
... e quindi l'integrale $\int_{R_f}^{R_c}$.
E' proprio il risultato da te ottenuto per quell'integrale che non condivido.
Oh! Hai ragione. Il risultato è $Q/(2 \pi \epsilon_0) log (R_c / R_f)$. Avevo praticamente lasciato la frazione inalterata, chiedo scusa.
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