Esercizio con corpi carichi
Buonasera 
Come ogni giorno siamo all'episodio serale de "l'esercizio di cui non sono sicura".
Testo:
Due fogli metallici sferici di spessore trascurabile, concentrici, aventi raggi R1= 2 cm e R2= 5 cm,sono collegati tra loro mediante un sottile filo conduttore. La loro carica totale è nulla. Una carica puntiforme $q=10^(−10)C$ posta al centro del sistema, ed una carica q0=q è posta in un punto B ad una distanza d= 25 cm dal foglio esterno. Calcolare la forza esercitata da q0 su ciascun foglio, e il lavoro che occorrerebbe compiere per portare q0 dal punto B ad un punto A distante x_0= 0.5 cm dal centro delle sfere.
Il secondo punto l'ho svolto correttamente, ma del primo (quello in grassetto) non sono sicura su come svolgerlo. Il problema, o almeno quello che credo tale, è che la carica q0 genera un campo sferico e la mia sfera carica ne risente in modi diversi (la parte di superficie della sfera più vicina a q0 avrà una forza più intensa essendo che il campo decresce come 1/r².
Ho pensato di ovviare al problema usando il terzo principio della dinamicae dire: se q0 attira lasfera carica q con una forza difficile da calcolare però q0 è a sua volta attirata da una forza uguale ma contraria. In questo caso è più semplice il calcolo perché la sfera esterna (foglio carico esterno) irradia un campo $E=1/(4piepsilon_0)q/(d+R_2)^2$ e la forza sarà $F=1/(4piepsilon_0)q^2/(d+R_2)^2$ repulsiva (e questa è identica alla forza cercata su q0); vi sembra un procedimento valido?
Mentre il foglio interno avrà campo $E=1/(4piepsilon_0)(-q)/(d+R_2)^2$ però qui c'è un MA, in teoria i due fogli sono come un conduttore e so che anche se il campo esterno variasse internamente avrei un effetto schermo (campo nullo). Quindi non dovrei avere forza sul foglio interno sferico.
Però c'è un assurdo perché il foglio interno non risentirebbe del campo q0, ma q0 risente del campo della sfera carica -q(sferainterna), ne sno certa perché q0 risente di un campo nullo poiché le cariche interne date dalle sole sfere è +q-q=0 ma questo violerebbe il III principio! Devo sempre avere due forze uguali e contrarie mentre io sto ammettendo che la carica q0 risenta del guscio interno ma che il guscio interno non ne risente della carica q0 (asimmetria fisicamente insensata).
Sbaglio o no? Boh
Grazie, come sempre!
Come ogni giorno siamo all'episodio serale de "l'esercizio di cui non sono sicura".
Testo:
Due fogli metallici sferici di spessore trascurabile, concentrici, aventi raggi R1= 2 cm e R2= 5 cm,sono collegati tra loro mediante un sottile filo conduttore. La loro carica totale è nulla. Una carica puntiforme $q=10^(−10)C$ posta al centro del sistema, ed una carica q0=q è posta in un punto B ad una distanza d= 25 cm dal foglio esterno. Calcolare la forza esercitata da q0 su ciascun foglio, e il lavoro che occorrerebbe compiere per portare q0 dal punto B ad un punto A distante x_0= 0.5 cm dal centro delle sfere.
Il secondo punto l'ho svolto correttamente, ma del primo (quello in grassetto) non sono sicura su come svolgerlo. Il problema, o almeno quello che credo tale, è che la carica q0 genera un campo sferico e la mia sfera carica ne risente in modi diversi (la parte di superficie della sfera più vicina a q0 avrà una forza più intensa essendo che il campo decresce come 1/r².
Ho pensato di ovviare al problema usando il terzo principio della dinamicae dire: se q0 attira lasfera carica q con una forza difficile da calcolare però q0 è a sua volta attirata da una forza uguale ma contraria. In questo caso è più semplice il calcolo perché la sfera esterna (foglio carico esterno) irradia un campo $E=1/(4piepsilon_0)q/(d+R_2)^2$ e la forza sarà $F=1/(4piepsilon_0)q^2/(d+R_2)^2$ repulsiva (e questa è identica alla forza cercata su q0); vi sembra un procedimento valido?
Mentre il foglio interno avrà campo $E=1/(4piepsilon_0)(-q)/(d+R_2)^2$ però qui c'è un MA, in teoria i due fogli sono come un conduttore e so che anche se il campo esterno variasse internamente avrei un effetto schermo (campo nullo). Quindi non dovrei avere forza sul foglio interno sferico.
Però c'è un assurdo perché il foglio interno non risentirebbe del campo q0, ma q0 risente del campo della sfera carica -q(sferainterna), ne sno certa perché q0 risente di un campo nullo poiché le cariche interne date dalle sole sfere è +q-q=0 ma questo violerebbe il III principio! Devo sempre avere due forze uguali e contrarie mentre io sto ammettendo che la carica q0 risenta del guscio interno ma che il guscio interno non ne risente della carica q0 (asimmetria fisicamente insensata).
Sbaglio o no? Boh
Grazie, come sempre!
Risposte
"saltimbanca":
Il secondo punto l'ho svolto correttamente,
E cioè, come?
"saltimbanca":
Il problema è che la carica q0 genera un campo sferico e la mia sfera carica ne risente in modi diversi (la parte di superficie della sfera più vicina a q0 avrà una forza più intensa essendo che il campo decresce come 1/r².
Eh, già. Guarda però che la complicazione non nasce dalle diverse distanze ( infatti una sfera uniformemente carica agisce come se la carica fosse tutta nel centro) ma dalla distribuzione non uniforme delle cariche sulla sfera.
"saltimbanca":
Ho pensato di ovviare al problema usando il terzo principio della dinamica e dire: se q0 attira lasfera carica q con una forza difficile da calcolare però q0 è a sua volta attirata da una forza uguale ma contraria. In questo caso è più semplice il calcolo perché la sfera esterna (foglio carico esterno) irradia un campo $E=1/(4piepsilon_0)q/(d+R_2)^2$
Eh no. Il campo sarebbe quello se la carica fosse distribuita uniformemente. Ma, come abbiamo visto sopra, non è così. La presenza della carica esterna ridistribuisce la carica sul guscio esterno, per cui il problema resta difficile come prima.
"saltimbanca":
.... ma q0 risente del campo della sfera carica -q(sferainterna),
No, $q_0$ risente la forza dovuta alla carica indotta sul guscio esterno. Che vale $q$, è vero, ma non è la carica centrale.
"saltimbanca":
ne sono certa perché q0 risente di un campo nullo poiché le cariche interne date dalle sole sfere è +q-q=0 ma questo violerebbe il III principio! Devo sempre avere due forze uguali e contrarie mentre io sto ammettendo che la carica q0 risenta del guscio interno ma che il guscio interno non ne risente della carica q0 (asimmetria fisicamente insensata).
Questa non l'ho capita...
A me pare che i due gusci sono in realtà un unico conduttore, quindi che siano uniti da un filo sottile o che siano le due superfici di un guscio massiccio, è lo stesso. Per cui:
sul guscio interno si forma una carica -q, distribuita uniformemente;
nello spazio fra i due gusci il campo è nullo (sono allo stesso potenziale), quindi il guscio interno è soggetto solo all'attrazione della carica centrale (a somma zero), e non subisce forze dalla carica esterna;
sul guscio esterno c'è la carica q, ma distribuita in modo non uniforme: più densa dalla parte verso $q_0$;
questo guscio risente solo della forza dovuta a $q_0$, ma per trovarla si dovrebbe risolvere il solito problema di Laplace, a meno di trascurare l'interazione fre la sfera e $q_0$
Ok, ci sono molte più cose da capire di quanto credessi 
. A questo punto credo anche il secondo sia sbagliato ma abbia avuto solo un fattore fortuna che tornasse il numero. In attesa il prof. pubblichi la sua soluzione incomprensibile come la scorsa volta volevo parlare un po' con te. Andiamo per gradi e iniziamo dalprimo punto:
1)
Questo sì, ma io ero convinta che fosse vero a livello di campo che "produce" nello spazio che la sfera agisse come una carica puntiforme nel centro. E' quindi vero che anche una forza che si esplica su una sfera uniformemente carica è come se si esplicasse su una carica puntiforme nel centro? Questo non lo sapevo!
Per il fatto che la complicazione è dovuta alla non distribuzione omogenea ok, ho capito invece.
2)
Questa parte vorrei capirla bene, e vorrei capire se secondo te è sbagliato considerare così, ma soprattutto perché è sbagliato che non lo riesco a vedere.
Io ho tre corpi carichi: la carica centrale q poi una sfera a -q per via dell'induzione completa e una esterna di nuovo +q.
Per il principio di sovrapposizione (che idealmente applicherei anche a un corpo conduttore massiccio considerando tre corpi: la carica centrale, la superficie interna - come un corpo carico-e quella esterna anche essa carica: ognuna con un proprio campo) pensavo di considerare il campo in posizione di q0 dei tre corpi e sommarli. Cioè il campo in q0 è dato dal campo di q (puntino interno) + quello delle due sfere che la racchiudono. In effetti così facendo la somma dà proprio campo in q0, ma dici non essere corretto. Perché allora qui il principio di sovrapposizione dei campi non vale? I campi di ogni corpo si dovrebbe irradiare in tutto lo spazio.
D'altra parte il campo nullo nel conduttore cavo massiccio (così come nel nostro caso di due sfere superificialei connesse da un filo) è dovuto proprio al principio di sovrapposizione tra campo della distribuzione esterna e carica interna insomma il campo nel conduttore è nullo (cioè equipotenziale) perché la risultante di tutti i campi è nulla nel luogo dei punti tra le due superfici sferiche. Perché questa sovrapposizione non dovrebbe valere anche in q0?
3)
Cioè come? Posso chiederti come lo risolveresti questo primo punto con laplace?
. A questo punto credo anche il secondo sia sbagliato ma abbia avuto solo un fattore fortuna che tornasse il numero. In attesa il prof. pubblichi la sua soluzione incomprensibile come la scorsa volta volevo parlare un po' con te. Andiamo per gradi e iniziamo dalprimo punto:1)
( infatti una sfera uniformemente carica agisce come se la carica fosse tutta nel centro)
Questo sì, ma io ero convinta che fosse vero a livello di campo che "produce" nello spazio che la sfera agisse come una carica puntiforme nel centro. E' quindi vero che anche una forza che si esplica su una sfera uniformemente carica è come se si esplicasse su una carica puntiforme nel centro? Questo non lo sapevo!
Per il fatto che la complicazione è dovuta alla non distribuzione omogenea ok, ho capito invece.
2)
No, $q_0$ risente la forza dovuta alla carica indotta sul guscio esterno. Che vale $q$, è vero, ma non è la carica centrale.
[...]
A me pare che i due gusci sono in realtà un unico conduttore, quindi che siano uniti da un filo sottile o che siano le due superfici di un guscio massiccio, è lo stesso. Per cui:
sul guscio interno si forma una carica -q, distribuita uniformemente;
nello spazio fra i due gusci il campo è nullo (sono allo stesso potenziale), quindi il guscio interno è soggetto solo all'attrazione della carica centrale (a somma zero), e non subisce forze dalla carica esterna;
sul guscio esterno c'è la carica q, ma distribuita in modo non uniforme: più densa dalla parte verso $q_0$;
questo guscio risente solo della forza dovuta a $q_0$, ma per trovarla si dovrebbe risolvere il solito problema di Laplace, a meno di trascurare l'interazione fre la sfera e $q_0$
Questa parte vorrei capirla bene, e vorrei capire se secondo te è sbagliato considerare così, ma soprattutto perché è sbagliato che non lo riesco a vedere.
Io ho tre corpi carichi: la carica centrale q poi una sfera a -q per via dell'induzione completa e una esterna di nuovo +q.
Per il principio di sovrapposizione (che idealmente applicherei anche a un corpo conduttore massiccio considerando tre corpi: la carica centrale, la superficie interna - come un corpo carico-e quella esterna anche essa carica: ognuna con un proprio campo) pensavo di considerare il campo in posizione di q0 dei tre corpi e sommarli. Cioè il campo in q0 è dato dal campo di q (puntino interno) + quello delle due sfere che la racchiudono. In effetti così facendo la somma dà proprio campo in q0, ma dici non essere corretto. Perché allora qui il principio di sovrapposizione dei campi non vale? I campi di ogni corpo si dovrebbe irradiare in tutto lo spazio.
D'altra parte il campo nullo nel conduttore cavo massiccio (così come nel nostro caso di due sfere superificialei connesse da un filo) è dovuto proprio al principio di sovrapposizione tra campo della distribuzione esterna e carica interna insomma il campo nel conduttore è nullo (cioè equipotenziale) perché la risultante di tutti i campi è nulla nel luogo dei punti tra le due superfici sferiche. Perché questa sovrapposizione non dovrebbe valere anche in q0?
3)
ma per trovarla si dovrebbe risolvere il solito problema di Laplace
Cioè come? Posso chiederti come lo risolveresti questo primo punto con laplace?
Questa parte vorrei capirla bene, e vorrei capire se secondo te è sbagliato considerare così, ma soprattutto perché è sbagliato che non lo riesco a vedere.
Io ho tre corpi carichi: la carica centrale q poi una sfera a -q per via dell'induzione completa e una esterna di nuovo +q.
Per il principio di sovrapposizione (che idealmente applicherei anche a un corpo conduttore massiccio considerando tre corpi: la carica centrale, la superficie interna - come un corpo carico-e quella esterna anche essa carica: ognuna con un proprio campo) pensavo di considerare il campo in posizione di q0 dei tre corpi e sommarli. Cioè il campo in q0 è dato dal campo di q (puntino interno) + quello delle due sfere che la racchiudono. In effetti così facendo la somma dà proprio campo in q0, ma dici non essere corretto. Perché allora qui il principio di sovrapposizione dei campi non vale? I campi di ogni corpo si dovrebbe irradiare in tutto lo spazio.
D'altra parte il campo nullo nel conduttore cavo massiccio (così come nel nostro caso di due sfere superificialei connesse da un filo) è dovuto proprio al principio di sovrapposizione tra campo della distribuzione esterna e carica interna insomma il campo nel conduttore è nullo (cioè equipotenziale) perché la risultante di tutti i campi è nulla nel luogo dei punti tra le due superfici sferiche. Perché questa sovrapposizione non dovrebbe valere anche in q0?
Nel frattempo provo a rispondermi alla 2), dimmi se è corretto che ora mi sembra funzionare la mia spiegazione
:Prendiamo il nostro conduttore dato da due sup. sferiche e filo che le connette e carica q0 esterna.. La sfera interna in effetti è attratta da q0, tuttavia la risultante della forza su di essa è nulla proprio perché q0 induce una redistribuzione di cariche sulla superficie sferica esterna che genera un campo contrario il quale attira in modo opposto la sfera interna. Per questo vale il principio di sovrapposizione e infatti la forza netta è nulla, così come nullo è ilcampo tra i conduttori sferici sempre per sovrapposizione.
Su q0 identicamente avrò l'attrazione di tutti i campi dovuti alle cariche, ma al netto è solo come fosse dovuto alcampo dellacarica esterna (distribuita non omogeneamente) sulla sfera ri raggio maggiore.
Spero sia corretto
che dici?Se fosse corretto rimangono solo 1) e 3). speriamo
Grazie!
"saltimbanca":
Cioè il campo in q0 è dato dal campo di q (puntino interno) + quello delle due sfere che la racchiudono. In effetti così facendo la somma dà proprio campo in q0, ma dici non essere corretto.
Non dico che non è corretto. Dico che il puntino interno e la sfera interna si neutralizzano completamente, ed escono dal gioco. Certo, se ti va di fare conti inutili, li puoi anche considerare.
"saltimbanca":
Su q0 identicamente avrò l'attrazione di tutti i campi dovuti alle cariche, ma al netto è solo come fosse dovuto al campo della carica esterna (distribuita non omogeneamente) sulla sfera ri raggio maggiore.
Spero sia corretto
Per me va bene, ma di fatto, come si calcola?
"saltimbanca":
Se fosse corretto rimangono solo 1) e 3). speriamo
Veramente, quello detto sopra mi sembrava si riferisse al punto 1... E il punto 3 quale sarebbe?
Per me va bene, ma di fatto, come si calcola?
Ah non ne ho la più pallida idea
volevo solo capire qualitativamente il problema. E' complessissimo da calcolare temo. Quindi poi conviene fare come dici tu:Dico che il puntino interno e la sfera interna si neutralizzano completamente, ed escono dal gioco
Cioè così.
Volevo solo capire la fisica se era corretta. Nel senso che spesso più che la soluzione in sé sfrutto gli esercizi anche per capire se ho inteso la teoria. Poi, capiti gli errori, mi cimento nella soluzione vera e propria. Ora sono in fase di comprensione diciamo
Veramente, quello detto sopra mi sembrava si riferisse al punto 1... E il punto 3 quale sarebbe?
Hai ragione sono stata poco chiara, intendevo i punti con cui ho numerato le domande. La domanda due era quella a cui ho risposto con l'ultimo post mentre rimanevano aperte:
1)
[quote]( infatti una sfera uniformemente carica agisce come se la carica fosse tutta nel centro)
Questo sì, ma io ero convinta che fosse vero a livello di campo che "produce" nello spazio che la sfera agisse come una carica puntiforme nel centro. E' quindi vero che anche una forza che si esplica su una sfera uniformemente carica è come se si esplicasse su una carica puntiforme nel centro? Questo non lo sapevo!
Per il fatto che la complicazione è dovuta alla non distribuzione omogenea ok, ho capito invece.
2)
No, $q_0$ risente la forza dovuta alla carica indotta sul guscio esterno. Che vale $q$, è vero, ma non è la carica centrale.
[...]
A me pare che i due gusci sono in realtà un unico conduttore, quindi che siano uniti da un filo sottile o che siano le due superfici di un guscio massiccio, è lo stesso. Per cui:
sul guscio interno si forma una carica -q, distribuita uniformemente;
nello spazio fra i due gusci il campo è nullo (sono allo stesso potenziale), quindi il guscio interno è soggetto solo all'attrazione della carica centrale (a somma zero), e non subisce forze dalla carica esterna;
sul guscio esterno c'è la carica q, ma distribuita in modo non uniforme: più densa dalla parte verso $q_0$;
questo guscio risente solo della forza dovuta a $q_0$, ma per trovarla si dovrebbe risolvere il solito problema di Laplace, a meno di trascurare l'interazione fre la sfera e $q_0$
Questa parte vorrei capirla bene, e vorrei capire se secondo te è sbagliato considerare così, ma soprattutto perché è sbagliato che non lo riesco a vedere.
Io ho tre corpi carichi: la carica centrale q poi una sfera a -q per via dell'induzione completa e una esterna di nuovo +q.
Per il principio di sovrapposizione (che idealmente applicherei anche a un corpo conduttore massiccio considerando tre corpi: la carica centrale, la superficie interna - come un corpo carico-e quella esterna anche essa carica: ognuna con un proprio campo) pensavo di considerare il campo in posizione di q0 dei tre corpi e sommarli. Cioè il campo in q0 è dato dal campo di q (puntino interno) + quello delle due sfere che la racchiudono. In effetti così facendo la somma dà proprio campo in q0, ma dici non essere corretto. Perché allora qui il principio di sovrapposizione dei campi non vale? I campi di ogni corpo si dovrebbe irradiare in tutto lo spazio.
D'altra parte il campo nullo nel conduttore cavo massiccio (così come nel nostro caso di due sfere superificialei connesse da un filo) è dovuto proprio al principio di sovrapposizione tra campo della distribuzione esterna e carica interna insomma il campo nel conduttore è nullo (cioè equipotenziale) perché la risultante di tutti i campi è nulla nel luogo dei punti tra le due superfici sferiche. Perché questa sovrapposizione non dovrebbe valere anche in q0?
3)
ma per trovarla si dovrebbe risolvere il solito problema di Laplace
Cioè come? Posso chiederti come lo risolveresti questo primo punto con laplace?
[/quote]Della 2) ne abbiamo parlato sopra.
La 1) e 3), intendevo dei numerini a fianco del penultimo post (che ho quotato qui sopra)
, scusa.VOlevo di fatto capire se il 1) fosse corretto e 2) come risolveresti con laplace il quesito del prof?
Ho perso completamente la bussola riguardo a cosa sono 1), 2) e 3), fra i vari "quote" uno dentro l'altro.
In attesa di un "testo unico" rispondo a quel che ho capito.
- non so assolutamente risolvere il problema: trovare la forza fra una carica puntiforme e una sfera conduttrice. Non mi pare realistico risolverlo a mano. Questo è il 3) ? Mah!
- una sfera uniforme si comporta a tutti (quasi...) gli effetti come il suo centro? Sì, quando ci sono forze che vanno come $r^-2$.
E questo è 1)? Mah!
E 2)? E' la questione che, ai fini della forze su $q_0$, la carica centrale e sul guscio interno non contano? E la supposta contraddizione col principio di sovrapposizione? Non ho capito...
In attesa di un "testo unico" rispondo a quel che ho capito.
- non so assolutamente risolvere il problema: trovare la forza fra una carica puntiforme e una sfera conduttrice. Non mi pare realistico risolverlo a mano. Questo è il 3) ? Mah!
- una sfera uniforme si comporta a tutti (quasi...) gli effetti come il suo centro? Sì, quando ci sono forze che vanno come $r^-2$.
E questo è 1)? Mah!
E 2)? E' la questione che, ai fini della forze su $q_0$, la carica centrale e sul guscio interno non contano? E la supposta contraddizione col principio di sovrapposizione? Non ho capito...
Lo so, hai ragione, ho fatto un pasticcio perché mi sono venute molte domande e sono stata poco chiara. Ti prego di scusarmi, posso solo dirti che la prossima volta starò più attenta a essere più comprensibile. Ma ormai qui il danno è fatto 
In ogni caso sì, hai capito bene i punti (riferendomi al tuo ultimo post):
1) ho compreso ora, in effetti ero convinta che valesse solo per il campo creato dalla sfera
2) Inizialmente pensavo ci fosse una contraddizione ma poi mi sono auto-risposta così:
Mi hai detto che era giusto ma poco comodo. La cosa migliore è comedici tu dimenticarsi del conduttore interno e della carica contenuta e svolgere i calcoli solo considerando il foglio sferico esterno.
3) esatto, era sul come risolvere l'esercizio. La mia idea a questo punto è considerarla approssimativamente una sfera uniforme in distribuzione (anche se non lo è come dicevi). Altrimenti come fare?
In ogni caso sì, hai capito bene i punti (riferendomi al tuo ultimo post):
1) ho compreso ora, in effetti ero convinta che valesse solo per il campo creato dalla sfera
2) Inizialmente pensavo ci fosse una contraddizione ma poi mi sono auto-risposta così:
Prendiamo il nostro conduttore dato da due sup. sferiche e filo che le connette e carica q0 esterna.. La sfera interna in effetti è attratta da q0, tuttavia la risultante della forza su di essa è nulla proprio perché q0 induce una redistribuzione di cariche sulla superficie sferica esterna che genera un campo contrario il quale attira in modo opposto la sfera interna. Per questo vale il principio di sovrapposizione e infatti la forza netta è nulla, così come nullo è ilcampo tra i conduttori sferici sempre per sovrapposizione.
Su q0 identicamente avrò l'attrazione di tutti i campi dovuti alle cariche, ma al netto è solo come fosse dovuto al campo della carica esterna (distribuita non omogeneamente) sulla sfera ri raggio maggiore.
Mi hai detto che era giusto ma poco comodo. La cosa migliore è comedici tu dimenticarsi del conduttore interno e della carica contenuta e svolgere i calcoli solo considerando il foglio sferico esterno.
3) esatto, era sul come risolvere l'esercizio. La mia idea a questo punto è considerarla approssimativamente una sfera uniforme in distribuzione (anche se non lo è come dicevi). Altrimenti come fare?
"saltimbanca":
Mi hai detto che era giusto ma poco comodo. La cosa migliore è come dici tu dimenticarsi del conduttore interno e della carica contenuta e svolgere i calcoli solo considerando il foglio sferico esterno.
Non è "poco comodo". E' inutile. D'altra parte, volendo considerare anche le cariche interne, questo costa davvero poca fatica, visto che - queste sì - sono distribuzioni sferiche.
"saltimbanca":
3) esatto, era sul come risolvere l'esercizio. La mia idea a questo punto è considerarla approssimativamente una sfera uniforme in distribuzione (anche se non lo è come dicevi). Altrimenti come fare?
Suppongo che l'autore dell'esercizio la intendesse così. Altrimenti, tocca rivolgersi a qualche software di simulazione
Ok perfetto, allora direi che mi torna tutto ora
Grazie mille!
Grazie mille!
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