Esercizio commutatori
Buon giorno a tutti, studiando meccanica quantistica sono capitato nel seguente problema: Si consideri una coppia di particelle in tre dimensioni, di spin $\frac{1}{2}$, la cui dinamica è descritta dall'hamiltoniana:
\begin{equation}
H_0=H_{CM}+H_r+H_s=\frac{\vec{P}^2}{2M}-e \vec{E}\cdot\vec{X}+\frac{\vec{p}^2}{2\mu}-\frac{e^2}{|\vec{x}|}+\lambda\vec{s_1}+\vec{s_2}
\end{equation}
Con $H_{CM}$ hamiltoniana del centro di massa, $H_{r}$ hamiltoniana relativa, $H_{s}$ hamiltoniana di spin.
$\vec{X}=\frac{m_1\vec{x_1}+m_2\vec{x_2}}{m_1+m_2}$ coordinata del centro di massa; $\vec{x}=\vec{x_1}-\vec{x_2}$ coordinata relativa.
$\vec{p}=\frac{m_2\vec{p_1}-m_1\vec{p_2}}{m_1+m_2}$ impulso relativo; $\vec{P}=\vec{p_1}+\vec{p_2}$ impulso del centro di massa.
$M=m_1+m_2$ massa totale; $\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ massa ridotta.
$\lambda \in R$, $E$ campo elettrico.
Mostrare le che le tre hamiltoniane commutano tra loro.
Soluzione:
Ho cominciato con quelle del centro di massa e quella relativa:
\begin{equation}
[H_{CM},H_r]=[\frac{{P^i}^2}{2M}-e E^iX^i,\frac{{p^j}^2}{2\mu}-\frac{e^2}{|x^j|}]=[\frac{{P^i}^2}{2M},\frac{{p^j}^2}{2\mu}]-[\frac{{P^i}^2}{2M},\frac{e^2}{|x^j|}]-[e E^iX^i,\frac{{p^j}^2}{2\mu}]+[e E^iX^i,\frac{e^2}{|x^j|}]
\end{equation}
Il primo e il quarto commutatore sono nulli per via dei commutatori canonici, il problema sono il secondo ed il terzo. Sviluppo il terzo:
\begin{equation}
-[e E^iX^i,\frac{{p^j}^2}{2\mu}]=[\frac{{p^j}^2}{2\mu},e E^iX^i]=p^j[\frac{p^j}{2\mu},e E^iX^i]+[\frac{p^j}{2\mu},e E^iX^i]p^j
\end{equation}
inserendo la definizione di $p$ e $X$ ottengo (considero solo il primo commutatore):
\begin{equation}
[\frac{m_2p_1^j-m_1p_2^j}{(m_1+m_2)\mu},\frac{(m_1x_1^i+m_2x_2^i)eE^i}{m_1+m_2}]
\end{equation}
Prima domanda le costanti si possono portar fuori dal commutatore? posso scrivere così:
\begin{equation}
\frac{e E^i}{2\mu M^2}[m_2p_1^j-m_1p_2^j,m_1x_1^i+m_2x_2^i]
\end{equation}
se si applico le regole di commutazione e ottengo, chiamo $C=\frac{e E^i}{2\mu M^2}$ per comodità,
\begin{equation}
C(m_2m_1[p_1^j,x_1^i]-m_1^2[p_2^j,x_1^i]+m_2^2[p_1^j,x_2^i]-m_2m_1[p_2^j,x_2^i])
\end{equation}
qui mi blocco, ho pensato che il secondo e il terzo dovrebbero essere zero perché il commutatore è relativo a due particelle differenti. Però non ne sono così sicuro.
Inoltre il libro riporta la seguente soluzione
\begin{equation}
C'([\frac{m_2p_1^j-m_1p_2^j}{m_1+m_2},\frac{m_1x_1^i+m_2x_2^i}{m_1+m_2}])=\frac{C'}{m_1+m_2}(m_2m_1[p_1^j,x_1^i]-m_2m_1[p_2^j,x_2^i])=\frac{C'}{m_1+m_2}(m_1m_2(-i\hbar)\delta^{ij}-m_2m_1\delta^{ij}(-i\hbar))=0
\end{equation}
Con $C'=\frac{e E^i}{2\mu}$, $C'$ non dovrebbe essere diviso per $(m_1+m_2)^2$?
inoltre dovrei calcolare anche $[H_s,H_{CM}]$ ma non ho trovato da nessuna parte i commutatori [spin, posizione], [spin, impulso], per risolvere ciò ho pensato che lo spin non può essere rappresentato nella base degli impulsi o delle posizione perché vivono in spazi diversi e quindi i loro commutatori sono nulli di conseguenza $[H_s,H_{CM}]=0$
Grazie in anticipo
\begin{equation}
H_0=H_{CM}+H_r+H_s=\frac{\vec{P}^2}{2M}-e \vec{E}\cdot\vec{X}+\frac{\vec{p}^2}{2\mu}-\frac{e^2}{|\vec{x}|}+\lambda\vec{s_1}+\vec{s_2}
\end{equation}
Con $H_{CM}$ hamiltoniana del centro di massa, $H_{r}$ hamiltoniana relativa, $H_{s}$ hamiltoniana di spin.
$\vec{X}=\frac{m_1\vec{x_1}+m_2\vec{x_2}}{m_1+m_2}$ coordinata del centro di massa; $\vec{x}=\vec{x_1}-\vec{x_2}$ coordinata relativa.
$\vec{p}=\frac{m_2\vec{p_1}-m_1\vec{p_2}}{m_1+m_2}$ impulso relativo; $\vec{P}=\vec{p_1}+\vec{p_2}$ impulso del centro di massa.
$M=m_1+m_2$ massa totale; $\mu=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}$ massa ridotta.
$\lambda \in R$, $E$ campo elettrico.
Mostrare le che le tre hamiltoniane commutano tra loro.
Soluzione:
Ho cominciato con quelle del centro di massa e quella relativa:
\begin{equation}
[H_{CM},H_r]=[\frac{{P^i}^2}{2M}-e E^iX^i,\frac{{p^j}^2}{2\mu}-\frac{e^2}{|x^j|}]=[\frac{{P^i}^2}{2M},\frac{{p^j}^2}{2\mu}]-[\frac{{P^i}^2}{2M},\frac{e^2}{|x^j|}]-[e E^iX^i,\frac{{p^j}^2}{2\mu}]+[e E^iX^i,\frac{e^2}{|x^j|}]
\end{equation}
Il primo e il quarto commutatore sono nulli per via dei commutatori canonici, il problema sono il secondo ed il terzo. Sviluppo il terzo:
\begin{equation}
-[e E^iX^i,\frac{{p^j}^2}{2\mu}]=[\frac{{p^j}^2}{2\mu},e E^iX^i]=p^j[\frac{p^j}{2\mu},e E^iX^i]+[\frac{p^j}{2\mu},e E^iX^i]p^j
\end{equation}
inserendo la definizione di $p$ e $X$ ottengo (considero solo il primo commutatore):
\begin{equation}
[\frac{m_2p_1^j-m_1p_2^j}{(m_1+m_2)\mu},\frac{(m_1x_1^i+m_2x_2^i)eE^i}{m_1+m_2}]
\end{equation}
Prima domanda le costanti si possono portar fuori dal commutatore? posso scrivere così:
\begin{equation}
\frac{e E^i}{2\mu M^2}[m_2p_1^j-m_1p_2^j,m_1x_1^i+m_2x_2^i]
\end{equation}
se si applico le regole di commutazione e ottengo, chiamo $C=\frac{e E^i}{2\mu M^2}$ per comodità,
\begin{equation}
C(m_2m_1[p_1^j,x_1^i]-m_1^2[p_2^j,x_1^i]+m_2^2[p_1^j,x_2^i]-m_2m_1[p_2^j,x_2^i])
\end{equation}
qui mi blocco, ho pensato che il secondo e il terzo dovrebbero essere zero perché il commutatore è relativo a due particelle differenti. Però non ne sono così sicuro.
Inoltre il libro riporta la seguente soluzione
\begin{equation}
C'([\frac{m_2p_1^j-m_1p_2^j}{m_1+m_2},\frac{m_1x_1^i+m_2x_2^i}{m_1+m_2}])=\frac{C'}{m_1+m_2}(m_2m_1[p_1^j,x_1^i]-m_2m_1[p_2^j,x_2^i])=\frac{C'}{m_1+m_2}(m_1m_2(-i\hbar)\delta^{ij}-m_2m_1\delta^{ij}(-i\hbar))=0
\end{equation}
Con $C'=\frac{e E^i}{2\mu}$, $C'$ non dovrebbe essere diviso per $(m_1+m_2)^2$?
inoltre dovrei calcolare anche $[H_s,H_{CM}]$ ma non ho trovato da nessuna parte i commutatori [spin, posizione], [spin, impulso], per risolvere ciò ho pensato che lo spin non può essere rappresentato nella base degli impulsi o delle posizione perché vivono in spazi diversi e quindi i loro commutatori sono nulli di conseguenza $[H_s,H_{CM}]=0$
Grazie in anticipo
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