Esercizio cinematica in tre dimensioni

[Forab]

Ciao a tutti,tra gli esercizi di preparazione per l'esame di meccanica razionale vi è questo esercizio che non riesco a risolvere:

Determinare la equazioni del moto di un punto P che si muove nel riferimento $ Oxyz $ sapendo che
accelerazione e velocità soddisfano la seguente relazione
$ bar(a) (t)=alpha bar(v) (t)^^ hat(k) $
con $ alpha $ costante non nulla. (Il prodotto è vettoriale e k è il versore i3 per chi usasse notazioni diverse).

Le soluzioni sono: $ x(t)=Ccos(alpha t+vartheta ) + a1 $
$ y(t)=Csin(alpha t+vartheta ) + a2 $
$ z(t)= dot(z) (0)t+ z(0) $

Ho fatto esercizi simili però in due dimensioni, questo non so come farlo. Ho provato a vedere a ritroso partendo dalle soluzioni se trovavo un modo per farlo ma non riesco. Qualcuno potrebbe illuminarmi sulla risoluzione di questo esercizio? Grazie mille!

[quantunquemente]

ti do uno spunto
$alphavecv times hat(k) =alphav_yhat(i)-alphav_xhat(j)$

quindi hai $ { ( a_x=alphav_y ),( a_y=-alphav_x ),( a_z=0 ):} $

posto $X=v_x;Y=v_y$ devi risolvere il sistema di equazioni differenziali
$ { ( dot(X)=alphaY ),( dot(Y)=-alphaX ):} $

[Forab]

"quantunquemente":ti do uno spunto
$alphavecv times hat(k) =alphav_yhat(i)-alphav_xhat(j)$

quindi hai $ { ( a_x=alphav_y ),( a_y=-alphav_x ),( a_z=0 ):} $

posto $X=v_x;Y=v_y$ devi risolvere il sistema di equazioni differenziali
$ { ( dot(X)=alphaY ),( dot(Y)=-alphaX ):} $

In analisi non abbiamo fatto la risoluzione di sistemi di equazioni differenziali ora mi sto studiando internet come li si risolve. Un altro metodo c'è? Comunque grazie della risposta

[quantunquemente]

questo è un sistema molto semplice
da $Y=dotX/alpha$ si arriva all'equazione $ ddot(X)+alpha^2X=0 $