Esercizio Cinematica del punto
Salve a tutti, ho il seguente esercizio:
un punto P, inizialmente in quiete in posizione $P_0=(a,b)$ si muove lunga la parabola di equazione $Y^2=(b^2x)/a$, con x reale, e possiede una accelerazione tale che la sua componente lungo l'asse y valga $-k^2y$, con k costante. Determinare il moto e le sue caratteristiche.
io da questo ricavo
$y=\xi$
$x=(\xi^2a)/b^2$
che dovrebbe essere la traiettoria, giusto?
dopo di che dovrei derivare due volte rispetto al tempo e guagliare la componenete lungo l'asse y a quella data dal testo?
grazie anticipatamente
un punto P, inizialmente in quiete in posizione $P_0=(a,b)$ si muove lunga la parabola di equazione $Y^2=(b^2x)/a$, con x reale, e possiede una accelerazione tale che la sua componente lungo l'asse y valga $-k^2y$, con k costante. Determinare il moto e le sue caratteristiche.
io da questo ricavo
$y=\xi$
$x=(\xi^2a)/b^2$
che dovrebbe essere la traiettoria, giusto?
dopo di che dovrei derivare due volte rispetto al tempo e guagliare la componenete lungo l'asse y a quella data dal testo?
grazie anticipatamente
Risposte
La traiettoria è evidentemente la parabola data all'inizio, per cui non serve ricalcolarla. Per la legge del moto, dovresti risolvere l'eq. differenziale $ddot y = - k^2 y$ ecc. ecc. ...
supponiamo ,per semplicità,che $a,b,k > 0 $
l'equazione $ ddot(y) +k^2y=0$ ha come soluzione generale $y=Acos(kt+phi)$
$ dot(y)=-kAsen(kt+phi)$
imponendo le condizioni iniziali $y(0)=b; dot(y)(0)=0 $ ,la legge oraria di y è
$y=bcoskt$
quindi quella di x è
$x=acos^2kt$
il punto materiale oscilla lungo l'arco di parabola compreso tra i punti $P(a,b)$ e $P'(-a,-b)$
l'equazione $ ddot(y) +k^2y=0$ ha come soluzione generale $y=Acos(kt+phi)$
$ dot(y)=-kAsen(kt+phi)$
imponendo le condizioni iniziali $y(0)=b; dot(y)(0)=0 $ ,la legge oraria di y è
$y=bcoskt$
quindi quella di x è
$x=acos^2kt$
il punto materiale oscilla lungo l'arco di parabola compreso tra i punti $P(a,b)$ e $P'(-a,-b)$
ma y'(0)=0 da dove lo hai ricavato?
Il testo dice che il punto è inizialmente in quiete.
"Riccardo Desimini":
Il testo dice che il punto è inizialmente in quiete.
ok ma io quindi ho, dalla soluzione generica $y(t)=c_1cos(kt)+c_2sin(kt)$, derivando, $y'(t)=-kc_1sin(kt)+kc_2cos(kt)$, sfrutto ora le condizioni iniziali:
$c_1+c_2=b$
$-kc_1+kc_2=0$
dalle quali ottengo $c_1=c_2=b/2$, giusto?
in questo caso allora $y(t)=b/2(cos(kt)+sin(kt))$
non capisco dove sto sbagliando
Non mi torna come hai determinato le costanti.
A me sembra che da \( y(t) = c_1 \cos (kt) + c_2 \sin (kt) \), \( y'(t) = -k c_1 \sin (kt) + k c_2 \cos (kt) \) e le condizioni iniziali \( y(0) = b \) e \( y'(0) = 0 \) ottieni il sistema
\[ \cases{c_1 = b \\ k c_2 = 0} \]
da cui \( y(t) = b \cos (kt) \).
A me sembra che da \( y(t) = c_1 \cos (kt) + c_2 \sin (kt) \), \( y'(t) = -k c_1 \sin (kt) + k c_2 \cos (kt) \) e le condizioni iniziali \( y(0) = b \) e \( y'(0) = 0 \) ottieni il sistema
\[ \cases{c_1 = b \\ k c_2 = 0} \]
da cui \( y(t) = b \cos (kt) \).
ok scusa ho risolto, sono un pò arruginita di analisi 2 
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