[esercizio cinematica] da controllare
Ecco il testo:
La distanza tra due caselli $A$ e $B$ di una autostrada rettilinea è $l$.
nell'istante in cui un'auto parte da $A$ con accelerazione $a_A$ (che si mantiene costante), per il casello $B$ transita nel verso
opposto una seconda auto con una velocità $v_B$ che si mantiene costante.
Le due auto procedono l'una verso l'altra e, quando si incrociano, quella partita da $A$ cambia il suo moto e procede verso $B$
con velocità costante (quella che aveva raggiunto a quell'istante), mentre l'altra prosegue senza cambiamenti il suo moto uniforme alla volta di $A$
Domanda:
Chi arriverà per prima al casello di destinazione e con quale vantaggio rispetto alla seconda?
svolgimento mio:
$A$: moto accelerato ; $a_A$ ; $t$
$B$: moto uniforme; $v_B$ ; $t$
a sistema:
$x(t)=(1/2)* a_A *t^2$ moto di $A$
$x(t)= v_B*t$ moto di $B$
trovo $t*$ quando si incontrano
$v_B*t =(1/2)* a_A *t^2$
da cui:
$t*=(2* v_B)/a_A$
dopo $t*$ A si muove di moto uniforme.
$a_A=(deltaV)/t*$
da cui:
$deltaV_A=a_A*t*= a_A* (2* v_B)/a_A= 2*V_b$
spazio percosa da $A$ fino a $t*$
$x(t)=(1/2)* a_A *t^2=(2*V_b)/a_A$
spazio percosa da $B$ fino a $t*$
$x(t)= v_B*t=(2*V_b)/a_A $
Dato che quando si incontrano a $t*$ entrambe stanno a metà percorso, e dopo $t*$ entrambe si muovono di moto uniforme
arriverà al casello di destinazione per prima l'auto che parte da $A$ perchè è più veloce: $deltaV_A= 2*V_b$
La distanza tra due caselli $A$ e $B$ di una autostrada rettilinea è $l$.
nell'istante in cui un'auto parte da $A$ con accelerazione $a_A$ (che si mantiene costante), per il casello $B$ transita nel verso
opposto una seconda auto con una velocità $v_B$ che si mantiene costante.
Le due auto procedono l'una verso l'altra e, quando si incrociano, quella partita da $A$ cambia il suo moto e procede verso $B$
con velocità costante (quella che aveva raggiunto a quell'istante), mentre l'altra prosegue senza cambiamenti il suo moto uniforme alla volta di $A$
Domanda:
Chi arriverà per prima al casello di destinazione e con quale vantaggio rispetto alla seconda?
svolgimento mio:
$A$: moto accelerato ; $a_A$ ; $t$
$B$: moto uniforme; $v_B$ ; $t$
a sistema:
$x(t)=(1/2)* a_A *t^2$ moto di $A$
$x(t)= v_B*t$ moto di $B$
trovo $t*$ quando si incontrano
$v_B*t =(1/2)* a_A *t^2$
da cui:
$t*=(2* v_B)/a_A$
dopo $t*$ A si muove di moto uniforme.
$a_A=(deltaV)/t*$
da cui:
$deltaV_A=a_A*t*= a_A* (2* v_B)/a_A= 2*V_b$
spazio percosa da $A$ fino a $t*$
$x(t)=(1/2)* a_A *t^2=(2*V_b)/a_A$
spazio percosa da $B$ fino a $t*$
$x(t)= v_B*t=(2*V_b)/a_A $
Dato che quando si incontrano a $t*$ entrambe stanno a metà percorso, e dopo $t*$ entrambe si muovono di moto uniforme
arriverà al casello di destinazione per prima l'auto che parte da $A$ perchè è più veloce: $deltaV_A= 2*V_b$
Risposte
Se le auto partono da punti differenti, quando la prima avrà percorso una distanza pari a [tex]x(t)[/tex] (posizione sul piano con origine centrata in A) l'altra avrà percorso una distanza pari a [tex]l-x(t)[/tex], no?
Alternativamente, se l'equazione dello spazio è [tex]x(t)=x_0+vt[/tex] per l'auto B questa dovrebbe diventare [tex]x(t)=l-v_Bt[/tex]
Alternativamente, se l'equazione dello spazio è [tex]x(t)=x_0+vt[/tex] per l'auto B questa dovrebbe diventare [tex]x(t)=l-v_Bt[/tex]
Credo di aver capito il tuo ragionamento.
dato che il percorso è A_____________________________B
preso origine per $A$ è come prendere origine per $B$
io ho trovato che entrambi si 'incrociano' a metà percorso.
per vedere chi raggiungeva il casello per prima, secondo me bastava mettere la velocità dell'uno in relazione all'altra.
Non so se vada bene, o è sbagliatissimo.
dato che il percorso è A_____________________________B
preso origine per $A$ è come prendere origine per $B$
io ho trovato che entrambi si 'incrociano' a metà percorso.
per vedere chi raggiungeva il casello per prima, secondo me bastava mettere la velocità dell'uno in relazione all'altra.
Non so se vada bene, o è sbagliatissimo.
Le leggi orarie sono:
[tex]x(t)=\frac{1}{2}at^2[/tex]
[tex]x(t)=l-v_Bt[/tex]
Si incontrano al tempo
[tex]l-v_Bt=\frac{1}{2}at^2[/tex]
[tex]t^2+2\frac{v_B}{a}t-\frac{2l}{a}=0[/tex]
[tex]t=-\frac{v_B}{a}\pm\frac{1}{a}\sqrt{v_B^2+2la}[/tex]
Per ovvie ragioni va scelta la soluzione positiva. Invece, i tuoi calcoli ti permettono di determinare quando essi si incontreranno supponendo che siano partiti nello stesso punto nella stessa direzione. Infatti, le tue equazioni sono valide anche per il caso banale [tex]t=0[/tex] che è la posizione iniziale di partenza.
[tex]x(t)=\frac{1}{2}at^2[/tex]
[tex]x(t)=l-v_Bt[/tex]
Si incontrano al tempo
[tex]l-v_Bt=\frac{1}{2}at^2[/tex]
[tex]t^2+2\frac{v_B}{a}t-\frac{2l}{a}=0[/tex]
[tex]t=-\frac{v_B}{a}\pm\frac{1}{a}\sqrt{v_B^2+2la}[/tex]
Per ovvie ragioni va scelta la soluzione positiva. Invece, i tuoi calcoli ti permettono di determinare quando essi si incontreranno supponendo che siano partiti nello stesso punto nella stessa direzione. Infatti, le tue equazioni sono valide anche per il caso banale [tex]t=0[/tex] che è la posizione iniziale di partenza.
Dunque il ragionamento che io ho fatto va bene solo quando partono dallo stesso punto con stessa direzione.
Per il $t*$ ovviamente si sceglie quello positivo, dunque:
$t*=-(1/a)*(v_b- sqrt((v_b)^2+2la))$
poi dopo dice che da quel $t*$ il moto di $A$ diventa rettilineo uniforme.
$V_A(t*)=(x(t*))/t*$
ma quel $x(t*)$ devo calcolarlo ancora con la formula $x(t*)=(1/2)*a*t^2$ ?
perchè in tal modo io avrei $v_a$ in relazione con $V_b$ cioè mi viene:
$V_a(t*)=(1/2)*(sqrt((V_b)^2+2*l*a_A)-V_b)$ ?
Per il $t*$ ovviamente si sceglie quello positivo, dunque:
$t*=-(1/a)*(v_b- sqrt((v_b)^2+2la))$
poi dopo dice che da quel $t*$ il moto di $A$ diventa rettilineo uniforme.
$V_A(t*)=(x(t*))/t*$
ma quel $x(t*)$ devo calcolarlo ancora con la formula $x(t*)=(1/2)*a*t^2$ ?
perchè in tal modo io avrei $v_a$ in relazione con $V_b$ cioè mi viene:
$V_a(t*)=(1/2)*(sqrt((V_b)^2+2*l*a_A)-V_b)$ ?
Chiamiamo [tex]t_0[/tex] l'istante appena calcolato. Questo tempo alla fine ti serve solo per l'auto A, mentre per la B puoi subito dire che essa percorrerà la distanza pari ad [tex]l[/tex] in un tempo
[tex]t_B=\frac{l}{v_B}[/tex]
Per la A, partendo dalla legge oraria scritta in precedenza, devi calcolare la distanza percorsa fino a [tex]t_0[/tex] chiamiamola [tex]x_a(t_0)=x_0[/tex].
La velocità, chiamiamola [tex]v_0[/tex], in questo punto è:
[tex]v_0=at_0[/tex]
Sempre per questa auto la successiva legge oraria (moto rettilineo costante) sarà:
[tex]x(t)=x_0+v_0t[/tex]
da cui ponendo [tex]x(t)=l[/tex] ottieni il tempo [tex]t_A'[/tex] che ci mette a percorrere la distanza residua. Il tempo di percorrenza per l'auto A sarà dunque [tex]t_A=t_A'+t_0[/tex] che confrontato con [tex]t_B[/tex] ti permette di capire chi è arrivato prima. Lascio a te la seconda parte dell'esercizio.
[tex]t_B=\frac{l}{v_B}[/tex]
Per la A, partendo dalla legge oraria scritta in precedenza, devi calcolare la distanza percorsa fino a [tex]t_0[/tex] chiamiamola [tex]x_a(t_0)=x_0[/tex].
La velocità, chiamiamola [tex]v_0[/tex], in questo punto è:
[tex]v_0=at_0[/tex]
Sempre per questa auto la successiva legge oraria (moto rettilineo costante) sarà:
[tex]x(t)=x_0+v_0t[/tex]
da cui ponendo [tex]x(t)=l[/tex] ottieni il tempo [tex]t_A'[/tex] che ci mette a percorrere la distanza residua. Il tempo di percorrenza per l'auto A sarà dunque [tex]t_A=t_A'+t_0[/tex] che confrontato con [tex]t_B[/tex] ti permette di capire chi è arrivato prima. Lascio a te la seconda parte dell'esercizio.
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