Esercizio cinematica complesso...
Un’auto parte da ferma e deve percorrere una distanza $ d=1 $ km nel tempo
minimo possibile arrivando da fermo. La sua accelerazione massima è $ a1 =
2.5 m/s2$ e la decelerazione massima è $ a2 = −3.8m/s2 $ . Il moto è rettilineo,
determinare il tempo ottenuto.
Allora:
Per percorrere il tragitto nel minor tempo possibile conviene dall'inizio accelerare e decelerare verso la fine al
massimo e uniformemente . Dopo un tempo $ t1 $ di massima accelerazione la velocità vale
$ v1 = a1 t1 $ . Dopo il secondo periodo di massima decelerazione la velocità si deve annullare,
quindi $ v2=v1+a2(t2 − t1)=0 $
Ora bisogna porre $ v2=0 $ dato che la velocità finale deve essere nulla perché si ferma.
Ora non so bene cosa fare, credo che bisogna integrare l'equazione ottenuta sostituendo e porre la distanza uguale a $ x=1000m $ in modo da ottenere il tempo ma non mi trovo con i calcoli.
minimo possibile arrivando da fermo. La sua accelerazione massima è $ a1 =
2.5 m/s2$ e la decelerazione massima è $ a2 = −3.8m/s2 $ . Il moto è rettilineo,
determinare il tempo ottenuto.
Allora:
Per percorrere il tragitto nel minor tempo possibile conviene dall'inizio accelerare e decelerare verso la fine al
massimo e uniformemente . Dopo un tempo $ t1 $ di massima accelerazione la velocità vale
$ v1 = a1 t1 $ . Dopo il secondo periodo di massima decelerazione la velocità si deve annullare,
quindi $ v2=v1+a2(t2 − t1)=0 $
Ora bisogna porre $ v2=0 $ dato che la velocità finale deve essere nulla perché si ferma.
Ora non so bene cosa fare, credo che bisogna integrare l'equazione ottenuta sostituendo e porre la distanza uguale a $ x=1000m $ in modo da ottenere il tempo ma non mi trovo con i calcoli.
Risposte
Il ragionamento generale ve bene.
Con i calcoli si fa così...
chiami $t_1$ il tempo passato ad accelerare e $t_2$ il tempo passato a decelerare.
$a_2$ la prendo con segno positivo.
La distanza percorsa durante $t_1$ è $1/2 a_1 t_1^2$ e quella durante $t_2$ è $1/2 a_2 t_2^2$.
La somma deve ovviamente dare 1000 m.
Quindi $1/2 (a_1 t_1^2+a_2 t_2^2) = 1000$
L'altra equazione che ci serve la prendiamo guardando la velocità, siccome $a_1 t_1 = a_2 t_2$ e quindi $t_1 = a_2/a_1 t_2$.
A questo punto puoi sostituire $t_1$ nella equazione della distanza, e trovare i due tempi.
Con i calcoli si fa così...
chiami $t_1$ il tempo passato ad accelerare e $t_2$ il tempo passato a decelerare.
$a_2$ la prendo con segno positivo.
La distanza percorsa durante $t_1$ è $1/2 a_1 t_1^2$ e quella durante $t_2$ è $1/2 a_2 t_2^2$.
La somma deve ovviamente dare 1000 m.
Quindi $1/2 (a_1 t_1^2+a_2 t_2^2) = 1000$
L'altra equazione che ci serve la prendiamo guardando la velocità, siccome $a_1 t_1 = a_2 t_2$ e quindi $t_1 = a_2/a_1 t_2$.
A questo punto puoi sostituire $t_1$ nella equazione della distanza, e trovare i due tempi.
Non capisco perché $ a1t1=a2t2 $
@ quinzio
la distanza percorsa nella fase di decelerazione non è quella che dici. Non hai tenuto conto che la velocità iniziale della fase di decelerazione non è nulla.
Con la notazione di quinzio, si ha (con $a_2$ indico il modulo della accelerazione negativa):
\(\displaystyle v(t)=a_1t \) in fase di accelerazione ($t\in [0,t_1]$)
\(\displaystyle v(t)=a_1t_1-a_2t \) in fase di decelerazione ($t\in [0,t_2]$)
La distanza totale si calcola come
\(\displaystyle d=d_1+d_2=\int_0^{t_1} a_1tdt + \int_0^{t_2} (a_1t_1-a_2t)dt \)
La relazione tra $t_1$ e $t_2$ si ottiene imponendo che la velocità finale sia nulla e cioè (usando l'espressione per la velocità in fase di decelerazione)
\(\displaystyle a_1t_1-a_2t_2=0\)
Ora basta fare i conti.
la distanza percorsa nella fase di decelerazione non è quella che dici. Non hai tenuto conto che la velocità iniziale della fase di decelerazione non è nulla.
Con la notazione di quinzio, si ha (con $a_2$ indico il modulo della accelerazione negativa):
\(\displaystyle v(t)=a_1t \) in fase di accelerazione ($t\in [0,t_1]$)
\(\displaystyle v(t)=a_1t_1-a_2t \) in fase di decelerazione ($t\in [0,t_2]$)
La distanza totale si calcola come
\(\displaystyle d=d_1+d_2=\int_0^{t_1} a_1tdt + \int_0^{t_2} (a_1t_1-a_2t)dt \)
La relazione tra $t_1$ e $t_2$ si ottiene imponendo che la velocità finale sia nulla e cioè (usando l'espressione per la velocità in fase di decelerazione)
\(\displaystyle a_1t_1-a_2t_2=0\)
Ora basta fare i conti.
@ mathbells
accetto volentieri ogni commento, anche se in questo caso direi che la formula che ho proposto è corretta, Capisco che può trarre in inganno.
Infatti la distanza da me proposta per l'ultimo tratto è (senza pedici):
$s=1/2 at^2$ cioè un arco di parabola con concavità verso l'alto.
La correzione che suggerisci è $s=vt-1/2at^2$, ma dovendo essere $v=at$ risulta $s=at^2-1/2at^2= 1/2at^2$, cioè la stessa distanza, la stessa parabola (traslata, ribaltata, ecc).
accetto volentieri ogni commento, anche se in questo caso direi che la formula che ho proposto è corretta, Capisco che può trarre in inganno.
Infatti la distanza da me proposta per l'ultimo tratto è (senza pedici):
$s=1/2 at^2$ cioè un arco di parabola con concavità verso l'alto.
La correzione che suggerisci è $s=vt-1/2at^2$, ma dovendo essere $v=at$ risulta $s=at^2-1/2at^2= 1/2at^2$, cioè la stessa distanza, la stessa parabola (traslata, ribaltata, ecc).
Mi sono perso non capisco più nulla, ho fatto uno schema riassuntivo con una tabella:
P.S. non so perché è stata ruotata sul pc è nel verso giusto cmq basta scaricarla e ruotarla si capisce...
Ed ho dimenticato il pedice "2" alla formula finale dello spazio.
E adesso mi rendo conto che ho sbagliato a scrivere v1 che è uguale a $ v1=v0+a0(t) $
La riposto con tutte corretta.
Ed ho dimenticato il pedice "2" alla formula finale dello spazio.
E adesso mi rendo conto che ho sbagliato a scrivere v1 che è uguale a $ v1=v0+a0(t) $
La riposto con tutte corretta.
Ecco: 
Ufff.. va comunque scaricata perché si vede tagliata...
Ufff.. va comunque scaricata perché si vede tagliata...
Quando la inserisci c'è il tab per il ridimensionamento.
"Quinzio":
accetto volentieri ogni commento, anche se in questo caso direi che la formula che ho proposto è corretta
Hai ragione, a conti fatti viene la stessa cosa. Tuttavia, date le difficoltà di criddj a seguire il filo, forse la mia proposta è meno criptica della tua
@criddj
tieni presente che con $t_1$ e $t_2$ non abbiamo indicato istanti, ma intervalli di tempo. Nel caso di $t_1$ le due cose coincidono ma per $t_2$ no. Dalle immagini che hai postato mi pare che tu con $t_2$ indichi l'istante finale in cui il corpo arriva a destinazione, mentre nelle nostre formule sarebbe
\(\displaystyle t_{finale}=t_1+t_2 \)
Riguarda i nostri post in questa chiave e vedrai che ti si chiariranno le idee.
Mi trovo 19,16s per t1
Ma non so se è giusto...
Voi avete svolto i calcoli?
Ma non so se è giusto...
Voi avete svolto i calcoli?
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