Esercizio cinematica

[Raijin1]

Ciao a tutti avrei bisogno di un aiutino su questo problema:
Il motore di un'automobile può imprimerle un'accelerazione massima $a_1= 2m/s^2$ e l'impianto frenante può decelerarla al massimo con $a_2 = 4m/s^2$.
Calcolare il tempo minimo necessario perchè l'auto, partendo da ferma, arrivi in un punto distante $s = 500m$ dal punto di partenza con velocità nulla.



io ho calcolato che durante la fase di accelerazione, che dura un tempo $t_1$ la velocità è uguale a $v(t1) = a_1 t_1$
nella decelerazione avrò invece $v(t_2) = v(t1) + a_2 (t_2-t_1)$ che è uguale a $a_1 t_1+ a_2 (t_2-t_1)$
ma arrivo con velocità nulla, quindi devo imporre $v(t) = 0$ e trovo $t_2 - t_1 = -a_1/(a_2) t_1$

e fino a qui ci sono, poi dovrei trovare la legge del moto:
$x(t) = 1/2 a_1 (t_1)^2 + a_1 t_1 (t_2-t_1) + 1/2 a_2 (t_2 - t_1)$

a questo puntodevo trovare il tempo minimo necessario perchè l'auto arrivi con velocità nulla,il libro mi dice che devo fare sistema con la precedente relazione tra $t_1$ e $t_2$ ma non ho capito come fare, qualcuno può aiutarmi gentilmente?

[chiaraotta1]

Mi sembra che si potrebbe ragionare così ....
Se $t_1$ è il tempo impiegato a percorrere lo spazio $s_1$ con accelerazione costante $a_1$ e $t_2$ il tempo impiegato a percorrere lo spazio $s_2$ con decelerazione costante $-a_2$, allora si possono scrivere le equazioni
$s=s_1+s_2$,
$s_1=1/2*a_1*t_1^2$
$s_2=v_(0,2)*t_2-1/2*a_2*t_2^2$
$v_(0,2)=a_1*t_1$
$0=v_(0,2)-a_2*t_2$.
Dalle ultime due equazioni si ricava che
$a_1*t_1=a_2*t_2$
e, poiché $a_2=2*a_1$, allora $t_1=2*t_2$.
Quindi
$s=s_1+s_2=1/2*a_1*t_1^2+v_(0,2)*t_2-1/2*a_2*t_2^2=$
$1/2*a_1*(2*t_2)^2+a_1*2*t_2*t_2-1/2*2*a_1*t_2^2=$
$2*a_1*t_2^2+2*a_1t_2^2-a_1*t_2^2=3*a_1*t_2^2$
e
$t_2=sqrt(s/(3*a_1))$,
$t_1=2*sqrt(s/(3*a_1))$,
$t=t_1+t_2=3*sqrt(s/(3*a_1))=3*sqrt(500/(3*2))\ s=15*sqrt(10/3) \ s=27.4 \ s$.