Esercizio centro di massa

[lorenzo1234567]

Buonasera, oggi mi sono imbattuto nel seguente esercizio (già presente sul forum) ma di cui non sono riuscito a capire una formula.

Testo:
Un cane di massa m = 5 kg è fermo all’estremo di una zattera di massa M = 20 kg e dista d = 6 m dalla riva.
Esso cammina per l = 3 m (l , lunghezza della zattera) verso la riva e si ferma. Quanto dista il cane dalla riva?

Soluzione:
Centro di massa del sistema cane-zattera nella situazione iniziale (cane sul bordo destro della zattera, cioè nel punto più lontano dalla costa):
$ x_(CM) = (m*d+M*(d/2+l/2))/(m+M)=4,8 $ m

Poiché il centro di massa del sistema cane-zattera rimane invariato (data l'assenza di forze orizzontali) si ha:
$4,8 = (m*x+M*(x+l/2))/(m+M)=4,8 rArr x=3,6 $ m

Il sistema di riferimento direi che è la riva e mentre il cane si sposta verso sinistra la zattera si muove di una certa quantità verso destra.


Non mi sono però chiare 3 cose:
1) Se il cane si trova a $x=6=d$, cioè nella situazione iniziale, le due formule non combaciano! Infatti si ha, nella 1° formula, nel secondo addendo a numeratore, $ (d/2+l/2) $; nella 2° formula invece si ha, sempre al secondo addendo a numeratore, $(d+l/2)$. Come fa quindi ad essere consistente il risultato?
2) Provando a sostituire dei valori di $x$ in $x+l/2$ (secondo addendo al numeratore nella 2° formula) dovrei ottenere, per $x$ più piccole (quindi quando il cane si avvicina alla riva) dei valori di $x+l/2$ (posizione della zattera) più grandi, poichè per l'appunto si deve spostare verso destra. Non è tuttavia così, infatti si ottengono sempre dei valori via via più piccoli (matematicamente torna, perchè $l/2$ è una costante ed $x$ diminuisce). Perchè?
3) Come si è arrivati a dire che la posizione della zattera è $x+l/2$? Più che ci ragiono e provo a fare dei disegni (o dei conti numerici, come al punto 2), più non mi risulta corretta.

[Quinzio]

Non so come si fa a risolvere questi esercizi senza neanche un sistema di riferimento, che in questo caso e' semplicemente un asse soltanto. Senza un sistema minimo di riferimento, nasce solo confusione. Spero di fornire una soluzione piu' chiara.
Definiamo un po' di lettere:
$CM$: centro di massa
$C$: cane
$Z$: zattera
$R$: riva
$T$: totale
Il cane lo mettiamo nell'origine:
$CM_C(t_0) = 0$
e nell'estremo "minore" della zattera,
da cui segue che all'inizio il centro di massa della zattera:
$CM_Z(t_0) = CM_C(t_0) + l_Z / 2$
con la lunghezza della zattera $l_Z = 3$
Abbiamo anche la riva:
$R = 6$

Centro di massa totale all'inizio ($t_0$)
$CM_T(t_0) = (m\ CM_C(t_0) + M\ CM_Z(t_0) )/(m+M) = (m\ CM_C(t_0) + M\ (CM_C(t_0) + l_Z /2) )/(m+M)$

Alla fine ($t_1$), quando il cane e' nell'estremo maggiore della zattera, a "destra", quello che cambia e' che il $CM_Z$ e' a "sinistra" del cane, quindi (nota il cambio di segno)
$CM_Z(t_0) = CM_C(t_0) + l_Z / 2$
diventa
$CM_Z(t_1) = CM_C(t_1) - l_Z / 2$.

Quindi
$CM_T(t_1) = (m\ CM_C(t_1) + M\ (CM_C(t_1) - l_Z /2) )/(m+M)$.

Ma abbiamo detto che il centro di massa totale non si sposta, quindi $CM_T(t_0) = CM_T(t_1)$ e allora

$(m\ CM_C(t_0) + M\ (CM_C(t_0) + l_Z /2) )/(m+M) = (m\ CM_C(t_1) + M\ (CM_C(t_1) - l_Z /2) )/(m+M)$

Adesso abbiamo solo questa equazione da risolvere. L'unica incognita e' $CM_C(t_1)$, mentre $CM_C(t_0) = 0 $

Semplificando:

$ CM_C(t_1) = l_Z M/(m+M) $

$ CM_C(t_1) = 3 {20}/(25) = 2.4$

e quindi il cane dista dalla riva $R - CM_C(t_1) = 3.6$

[lorenzo1234567]

Ho capito, ti ringrazio.

Già che ci sono ti chiedo: c'è di solito un sistema di riferimento da prediligere per risolvere nel modo più semplice o più "logico" possibile gli esercizi di questo tipo?
Ad esempio, credo che nella soluzione del libro il sistema di riferimento fosse la riva, il che però mi rendeva visivamente più complicato capire quale fosse il centro di massa della zattera (tant'è che i miei dubbi erano legati solo a quello). Mettendo il cane nell'origine invece, anche se non immediatamente, è tutto più chiaro.