Esercizio carrucola con raggio e momento di inerzia
Ciao a tutti,
sto cercando di fare quest'esercizio trovato su internet:
Purtroppo non sono riuscito nemmeno a fare il primo punto e vorrei capire come fare.
Innanzitutto mi sono trovato le equazioni del moto delle masse:
$m_1g-T_1=m_1a$
$T_2-m_2g=m_2a$
e il momento della carrucola:
Considerando che $\tau=I\alpha$, allora
$I\alpha=(T_1-T_2)r$
ma $\alpha=a/r$ quindi $Ia/r=(T_1-T_2)r$
ora? che bisogna fare?
ho provato a capire il prossimo passaggio dalla soluzione sul sito da cui ho preso l'esercizio ma non sono riuscito a capire i passaggi..
potete spiegarmi come fare?
grazie mille!
sto cercando di fare quest'esercizio trovato su internet:
Ad una carrucola di raggio r\ e momento di inerzia I\ rispetto al piano verticale in cui giace la carrucola e passante per il suo centro sono sospese tramite un filo inestensibile due masse m_1\ ed m_2\ .
Calcolare:
a) l'accelerazione delle masse;
b) le tensioni dei fili;
c) il tempo impiegato dalla carrucola, partendo dal sistema fermo, a fare un giro.
(dati del problema I=1\ kgm^2\ , r=0.4\ m, m_1=3\ kg, m_2=2\ kg\ )
Purtroppo non sono riuscito nemmeno a fare il primo punto e vorrei capire come fare.
Innanzitutto mi sono trovato le equazioni del moto delle masse:
$m_1g-T_1=m_1a$
$T_2-m_2g=m_2a$
e il momento della carrucola:
Considerando che $\tau=I\alpha$, allora
$I\alpha=(T_1-T_2)r$
ma $\alpha=a/r$ quindi $Ia/r=(T_1-T_2)r$
ora? che bisogna fare?
ho provato a capire il prossimo passaggio dalla soluzione sul sito da cui ho preso l'esercizio ma non sono riuscito a capire i passaggi..
potete spiegarmi come fare?
grazie mille!
Risposte
E' semplicissimo, hai già fatto la parte più lunga del problema. Ti restano 3 equazioni in tre incognite, che sono $a, T_{1}, T_{2}$.Risolvi il sistema e hai trovato l'accelerazione e le tensioni. Ti riscrivo qui il sistema per chiarezza:
\begin{cases}
m_{1}g-T_{1}=m_{1}a\\
T_{2}-m_{2}g=m_{2}a\\
(T_{1}-T_{2})r=I\frac{a}{r}
\end{cases}
\begin{cases}
m_{1}g-T_{1}=m_{1}a\\
T_{2}-m_{2}g=m_{2}a\\
(T_{1}-T_{2})r=I\frac{a}{r}
\end{cases}
"okh":
E' semplicissimo, hai già fatto la parte più lunga del problema. Ti restano 3 equazioni in tre incognite, che sono $a, T_{1}, T_{2}$.Risolvi il sistema e hai trovato l'accelerazione e le tensioni. Ti riscrivo qui il sistema per chiarezza:
\begin{cases}
m_{1}g-T_{1}=m_{1}a\\
T_{2}-m_{2}g=m_{2}a\\
(T_{1}-T_{2})r=I\frac{a}{r}
\end{cases}
potresti gentilmente svolgere il sistema? non nego di essere una frana in materia, ma proprio non riesco :/
(va bene anche se non lo svolgi ma mi spieghi come fare)
ovviamente ti ringrazio per l'aiuto che mi stai dando!
Risolvere sistemi come questo è troppo importante, devi assolutamente imparare 
Prova a ricavare T1 dalla prima equazione, T2 dalla seconda equazione, e sostituire T1 e T2 della terza equazione con le espressioni di T1 e T2 che hai trovato. Dovresti ottenere una equazione con solo l'accelerazione come incognita.
Prova a ricavare T1 dalla prima equazione, T2 dalla seconda equazione, e sostituire T1 e T2 della terza equazione con le espressioni di T1 e T2 che hai trovato. Dovresti ottenere una equazione con solo l'accelerazione come incognita.
"okh":
Risolvere sistemi come questo è troppo importante, devi assolutamente imparare
Prova a ricavare T1 dalla prima equazione, T2 dalla seconda equazione, e sostituire T1 e T2 della terza equazione con le espressioni di T1 e T2 che hai trovato. Dovresti ottenere una equazione con solo l'accelerazione come incognita.
lo so, porpio per questo sono un attimino demoralizzato :/ non saper fare queste cose è grave
comunque:
$T_1=m_1g-m_1a$
$T_2=m_2a+m_2g$
$(m_1g-m_1a-m_2a+m_2g)r = Ia/r$
l'unica incognita è come avevi detto tu l'accelerazione.
ora:
$(m_1g-m_1a-m_2a-m_2g)r=Ia/r$
$((m_1g-m_1a-m_2a-m_2g)r^2)/I=a$
fin qui è fatta bene? ora dovrei "spostare" le i temini a che si trovano a sinistra, a destra :S
Perché? Prendendo per buono tutto quello che è stato scritto (non ho controllato ... 
) arrivato a questo punto non devi fare altro che sostituire i numeri alle lettere per trovare l'accelerazione ... tutto qui ...
Cordialmente, Alex
) arrivato a questo punto non devi fare altro che sostituire i numeri alle lettere per trovare l'accelerazione ... tutto qui ...Cordialmente, Alex
"axpgn":
Perché? Prendendo per buono tutto quello che è stato scritto (non ho controllato ...
Cordialmente, Alex
perché a sinsitra ho ancora dei termini che moltiplicano "a" (l'incognita da calcolare)...
Sorry, non me n'ero accorto (d'altronde l'ho detto che non ho controllato i conti ... ) ... ma non cambia niente ... porti tutto ciò che ha l'incognita da una parte e il resto dall'altra e poi dividi il tutto per il coefficiente dell'incognita (come si fa per una normale equazione di primo grado)
) ... ma non cambia niente ... porti tutto ciò che ha l'incognita da una parte e il resto dall'altra e poi dividi il tutto per il coefficiente dell'incognita (come si fa per una normale equazione di primo grado)
Prendiamo per buona questa $(m_1g-m_1a-m_2a+m_2g)r = Ia/r$ e proseguiamo ...
$(m_1g-m_1a-m_2a+m_2g)r^2 = Ia\ \ =>\ \ m_1gr^2-m_1ar^2-m_2ar^2+m_2gr^2 = Ia\ \ =>\ \ $
$m_1gr^2+m_2gr^2 = Ia+m_1ar^2+m_2ar^2\ \ =>\ \ m_1gr^2+m_2gr^2 = a(I+m_1r^2+m_2r^2)\ \ =>\ \ $
$a=(m_1gr^2+m_2gr^2)/(I+m_1r^2+m_2r^2)$
$(m_1g-m_1a-m_2a+m_2g)r^2 = Ia\ \ =>\ \ m_1gr^2-m_1ar^2-m_2ar^2+m_2gr^2 = Ia\ \ =>\ \ $
$m_1gr^2+m_2gr^2 = Ia+m_1ar^2+m_2ar^2\ \ =>\ \ m_1gr^2+m_2gr^2 = a(I+m_1r^2+m_2r^2)\ \ =>\ \ $
$a=(m_1gr^2+m_2gr^2)/(I+m_1r^2+m_2r^2)$
"axpgn":
Prendiamo per buona questa $(m_1g-m_1a-m_2a+m_2g)r = Ia/r$ e proseguiamo ...
$(m_1g-m_1a-m_2a+m_2g)r^2 = Ia\ \ =>\ \ m_1gr^2-m_1ar^2-m_2ar^2+m_2gr^2 = Ia\ \ =>\ \ $
$m_1gr^2+m_2gr^2 = Ia+m_1ar^2+m_2ar^2\ \ =>\ \ m_1gr^2+m_2gr^2 = a(I+m_1r^2+m_2r^2)\ \ =>\ \ $
$a=(m_1gr^2+m_2gr^2)/(I+m_1r^2+m_2r^2)$
con i passaggi mi trovo, ma non con il risultato (dovrebbe fare 0.87 ma mi viene 4.35)
Perché c'è un segno sbagliato in quella che ho preso per buona ... 
... A te trovarlo (l'hai scritto tu ) ...
... A te trovarlo (l'hai scritto tu ) ...
"axpgn":
Perché c'è un segno sbagliato in quella che ho preso per buona ...
Trovato!
In pratica non cambiavo i segni a T2 e quindi mi trovavo alcuni membri dell'espressione errati.
Scrivo la forumula giusta per chiunque voglia poi risolvere l'esercizio in questo modo:
abbiamo detto che:
$Ia/r=(T_1-T_2)R$
di conseguenza
$((m_1g-m_1a)-(m_2a+m_2g))r=Ia/r$
quindi
$(m_1g-m_1a-m_2a-m_2g)r=Ia/r$
$m_1gr^2-m_1ar^2-m_2ar^2-m_2gr=^2Ia$
$m_1gr^2-m_2gr^2=Ia+m1ar^2+m2ar^2$
$(m_1gr^2-m_2gr^2)/(I+m_1r^2+m_2r^2)=a$
e sostituendo i valori con quelli dati dal problema, otterremo $a=0.87m/s^2$
da qui ricavare le tensioni è facilissimo.
Il terzo punto me lo devo un attimino vedere xD
grazie mille per l'aiuto ragazzi!
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