Esercizio campo magnetico a simmetria cilindrica
Volevo chiedervi un aiuto per il punto b del seguente esercizio:
Un cilindro molto lungo (infinito) di raggio R e asse parallelo all’asse z di un sistema di coordinate cilindriche (r, φ, z) possiede una magnetizzazione non uniforme $ vec(M)=alphar^2 hat(u)_phi $, dove $ alpha $ è una costante.
a) Determinare le densità di corrente di magnetizzazione di superficie e di volume. Calcolare le correnti di magnetizzazione, di volume e di superficie e confrontarle. Commentare il risultato.
b) Determinare la direzione del campo di induzione magnetica B utilizzando
argomenti di simmetria e l’equazione del rotore di B.
Per quanto riguarda il punto a, si trova $ vec(J)_(ms)=-alphaR^2hat(u)_z $ (corrente di magnetizzazione di superficie) e $ vec(J)_(mv)=3alphaRhat(u)_z $ (corrente di magnetizzazione di volume), quindi, integrando, $ I_s=-alpha2piR^3 $ (corrente di superficie) e $ I_v=alpha2piR^3 $ corrente di volume; quindi la corrente totale è nulla.
Ma il mio problema sta nel punto b.
Credo, come in ogni problema a simmetria cilindrica, che il campo abbia solo direzione lungo $ hat(u)_phi $ (la direzione della coordinata angolare), così che le linee di campo sarebbero circonferenze concentriche all'asse z e giacenti nel piano perpendicolare all'asse z.
Se effettivamente è così, non riesco però a dimostrare che il campo magnetico non può avere una componente lungo z, riesco solo a trovare che la componente lungo z deve essere costante in tutto lo spazio.
Chiaramente $ vec(B) $ non può dipendre da z e dalla coordinata angolare $ phi $ in nessuna delle sue componenti, allora utilizzando l'equazione $ vec(grad) xx vec(B)=0 $ (valida esternamente al materiale) in coordinate cilindriche, ricavo $ (vec(grad) xx vec(B))_phi =-(partial B_z)/(partial r)=0 $, quindi la componente z del campo è costante in tutto lo spazio vuoto esterno al materiale. Non so come mostrare che è nulla.
Qualcuno ha idee a riguardo? Grazie in aticipo per l'aiuto
Un cilindro molto lungo (infinito) di raggio R e asse parallelo all’asse z di un sistema di coordinate cilindriche (r, φ, z) possiede una magnetizzazione non uniforme $ vec(M)=alphar^2 hat(u)_phi $, dove $ alpha $ è una costante.
a) Determinare le densità di corrente di magnetizzazione di superficie e di volume. Calcolare le correnti di magnetizzazione, di volume e di superficie e confrontarle. Commentare il risultato.
b) Determinare la direzione del campo di induzione magnetica B utilizzando
argomenti di simmetria e l’equazione del rotore di B.
Per quanto riguarda il punto a, si trova $ vec(J)_(ms)=-alphaR^2hat(u)_z $ (corrente di magnetizzazione di superficie) e $ vec(J)_(mv)=3alphaRhat(u)_z $ (corrente di magnetizzazione di volume), quindi, integrando, $ I_s=-alpha2piR^3 $ (corrente di superficie) e $ I_v=alpha2piR^3 $ corrente di volume; quindi la corrente totale è nulla.
Ma il mio problema sta nel punto b.
Credo, come in ogni problema a simmetria cilindrica, che il campo abbia solo direzione lungo $ hat(u)_phi $ (la direzione della coordinata angolare), così che le linee di campo sarebbero circonferenze concentriche all'asse z e giacenti nel piano perpendicolare all'asse z.
Se effettivamente è così, non riesco però a dimostrare che il campo magnetico non può avere una componente lungo z, riesco solo a trovare che la componente lungo z deve essere costante in tutto lo spazio.
Chiaramente $ vec(B) $ non può dipendre da z e dalla coordinata angolare $ phi $ in nessuna delle sue componenti, allora utilizzando l'equazione $ vec(grad) xx vec(B)=0 $ (valida esternamente al materiale) in coordinate cilindriche, ricavo $ (vec(grad) xx vec(B))_phi =-(partial B_z)/(partial r)=0 $, quindi la componente z del campo è costante in tutto lo spazio vuoto esterno al materiale. Non so come mostrare che è nulla.
Qualcuno ha idee a riguardo? Grazie in aticipo per l'aiuto
Risposte
Visto che il testo chiaramente sottintende la presenza nello spazio del solo cilindro, con magnetizzazione esclusivamente azimutale, non vedo come il campo magnetico possa avere altre componenti, e di conseguenza la domanda del punto b mi sembra quanto mai "strana"; mi sarei invece aspettato che fosse richiesto il modulo di detta componente di B dentro e fuori il cilindro.
In realtà non ho riportato tutto l'esercizio, ha questi altri due punti:
c)Determinare il campo di induzione magnetica B in tutto lo spazio.
d) Determinare l’intensità magnetica H in tutto lo spazio.
ma il mio problema sta proprio nel punto b. Penso che la questione principale sia dimostrarlo solo con argomenti di simmetria e l'equazione del rotore di B (se chiaramente usassi la legge di Biot-Savart la componente lungo z non esisterebbe) e in particolare il mio problema è che non riesco a mostrare che deve essere nulla la componente lungo z (all'interno del cilindro, mentre all'esterno del cilindro il campo dovrebbe essere nullo, dato che la corrente totale di magnetizzazione è nulla, tuttavia all'interno il campo non sarà nullo), ma riesco solo a mostrare che è costante... se mi potessi chiarire questo punto te ne sarei molto grato.
c)Determinare il campo di induzione magnetica B in tutto lo spazio.
d) Determinare l’intensità magnetica H in tutto lo spazio.
ma il mio problema sta proprio nel punto b. Penso che la questione principale sia dimostrarlo solo con argomenti di simmetria e l'equazione del rotore di B (se chiaramente usassi la legge di Biot-Savart la componente lungo z non esisterebbe) e in particolare il mio problema è che non riesco a mostrare che deve essere nulla la componente lungo z (all'interno del cilindro, mentre all'esterno del cilindro il campo dovrebbe essere nullo, dato che la corrente totale di magnetizzazione è nulla, tuttavia all'interno il campo non sarà nullo), ma riesco solo a mostrare che è costante... se mi potessi chiarire questo punto te ne sarei molto grato.
Quello che intendevo dirti è che, vista la mancanza di correnti di conduzione e la presenza di sole correnti amperiane, dalla relazione $\vec B=\mu_0(\vec H+\vec M)$, possiamo direttamente affermare che $\vec B=\mu_0 \vec M$, se poi vogliamo farla difficile e passare dal rotore del campo magnetico, andando a scrivere $\nabla \times \vec B=\mu_0 \vec J$, riutilizzando la densità di corrente già ottenuta attraverso la stessa strada, sviluppando il rotore nelle sue tre componenti e usando la simmetria assiale del sistema per affermare che le componenti non possono essere funzioni di $z$ e di $\phi$, ma solo di $r$ [nota]Andando ad uguagliare la sola componente lungo $z$ a $\mu_0J_{mv}$ internamente e a zero esternamente,[/nota], mi sembra un discorso assurdo.
Per quanto riguarda il tuo dubbio sul termine costante per il campo (premesso che non capisco perché tu abbia considerato solo la componente azimutale del rotore), direi che non possiamo che ipotizzarlo nullo, visto che altrimenti il problema sarebbe irrisolubile.
Per quanto riguarda il tuo dubbio sul termine costante per il campo (premesso che non capisco perché tu abbia considerato solo la componente azimutale del rotore), direi che non possiamo che ipotizzarlo nullo, visto che altrimenti il problema sarebbe irrisolubile.
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