Esercizio campo elettrico massimo
Stavo svolgendo il seguente esercizio:
Due cariche puntiformi positive uguali sono separate da una distanza $2a$. Sul piano ortogonale alla congiungente le due cariche e passante per il centro $C$ della congiungente stessa, determinare il luogo dei punti in cui il campo è massimo.
Calcolo separatemente per la legge della sovrapposizione i campi in un generico punto $P$ del piano ortogonale, avendo quindi $E_1$ ed $E_2$ in modulo. Chiamando $x$ la distance dal centro $C$ al punto $P$, ho che quindi $E_1 = E_2 = 1/(4 \pi \epsilon_0) q/(a^2 + x^2)$. Ora, per sapere il campo totale sul piano ortogonale, devo sommare i moduli dei due campi lungo il piano ortogonale. (quindi devo moltiplicare i moduli per $sin \theta$, dove $\theta$ è l'angolo compreso fra il vettore che unisce il punto in cui la carica si trova e la distanza dal centro)
A questo punto ho:
$E_0 = E_1 sin \theta + E_2 sin \theta = 2/(4 \pi \epsilon_0) q/(a^2 + x^2) sin \theta$
Sapendo che $sin \theta = x/sqrt(a^2 + x^2)$ abbiamo:
$q/(2 \pi \epsilon_0) x/(a^2 + x^2)^(3/2)$
Ora, per sapere dove il campo è massimo, devo derivare rispetto ad $x$ e poi uguagliare a $0$ quello che mi viene. Il problema è che non penso di aver fatto bene la derivata. E' corretta questa?
$q/(2 \pi \epsilon_0)((a^2 + x^2)^(3/2) - x (2x)^(3/2))/(a^2 + x^2)^3$
Perché mi sembra molto strano il modo in cui mi è venuta. Se l'ho sbagliata, potreste scrivermi tutti i passaggi? Penso che con tutte queste incognite mi sto solo confondendo.
Due cariche puntiformi positive uguali sono separate da una distanza $2a$. Sul piano ortogonale alla congiungente le due cariche e passante per il centro $C$ della congiungente stessa, determinare il luogo dei punti in cui il campo è massimo.
Calcolo separatemente per la legge della sovrapposizione i campi in un generico punto $P$ del piano ortogonale, avendo quindi $E_1$ ed $E_2$ in modulo. Chiamando $x$ la distance dal centro $C$ al punto $P$, ho che quindi $E_1 = E_2 = 1/(4 \pi \epsilon_0) q/(a^2 + x^2)$. Ora, per sapere il campo totale sul piano ortogonale, devo sommare i moduli dei due campi lungo il piano ortogonale. (quindi devo moltiplicare i moduli per $sin \theta$, dove $\theta$ è l'angolo compreso fra il vettore che unisce il punto in cui la carica si trova e la distanza dal centro)
A questo punto ho:
$E_0 = E_1 sin \theta + E_2 sin \theta = 2/(4 \pi \epsilon_0) q/(a^2 + x^2) sin \theta$
Sapendo che $sin \theta = x/sqrt(a^2 + x^2)$ abbiamo:
$q/(2 \pi \epsilon_0) x/(a^2 + x^2)^(3/2)$
Ora, per sapere dove il campo è massimo, devo derivare rispetto ad $x$ e poi uguagliare a $0$ quello che mi viene. Il problema è che non penso di aver fatto bene la derivata. E' corretta questa?
$q/(2 \pi \epsilon_0)((a^2 + x^2)^(3/2) - x (2x)^(3/2))/(a^2 + x^2)^3$
Perché mi sembra molto strano il modo in cui mi è venuta. Se l'ho sbagliata, potreste scrivermi tutti i passaggi? Penso che con tutte queste incognite mi sto solo confondendo.
Risposte
"Kernul":
E' corretta questa?
No, il secondo termine a numeratore sarà
$-x \frac{3}{2} (a^2+x^2)^{1/2} 2x $
e di conseguenza
$2kq\frac {a^2-2x^2}{(a^2+x^2)^{5/2}}$
.
Oh capisco.
Mi viene poi:
$q/(2 \pi \epsilon_0) ((a^2 + x^2)^(3/2) - (a^2 + x^2)^1/2 3x^2)/((a^2 + x^2)^3)$
Come hai fatto ad arrivare a quello che hai tu?
Mi viene poi:
$q/(2 \pi \epsilon_0) ((a^2 + x^2)^(3/2) - (a^2 + x^2)^1/2 3x^2)/((a^2 + x^2)^3)$
Come hai fatto ad arrivare a quello che hai tu?
No, non ci siamo, il secondo termine a numeratore della derivata è ancora errato, dai un occhio a quello che ti avevo postato, sono uguali ?
Una volta corretto quel termine, per ottenere la seconda espressione postata (della derivata completa), basta dividere numeratore e denominatore per $(a^2+x^2)^{1/2}$.
Una volta corretto quel termine, per ottenere la seconda espressione postata (della derivata completa), basta dividere numeratore e denominatore per $(a^2+x^2)^{1/2}$.
Oh scusa! Un errore di battitura! Volevo scrivere $(a^2 + x^2)^(1/2) 3x^2$.
Dividendo per $(a^2 + x^2)^(1/2)$ ho poi:
$q/(2 \pi \epsilon_0) (a^2 - 2x^2)/((a^2 + x^2)^(5/2))$
Poi, ponendo questo ugualle a $0$ mi trovo un massimo ugualle a $a/sqrt(2)$. Siccome il campo è $0$ per $x = 0$ e per $x \to \infty$ significa che esso è un massimo, giusto?
Dividendo per $(a^2 + x^2)^(1/2)$ ho poi:
$q/(2 \pi \epsilon_0) (a^2 - 2x^2)/((a^2 + x^2)^(5/2))$
Poi, ponendo questo ugualle a $0$ mi trovo un massimo ugualle a $a/sqrt(2)$. Siccome il campo è $0$ per $x = 0$ e per $x \to \infty$ significa che esso è un massimo, giusto?
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