Esercizio campo elettrico
Ciao ragazzi! Sto svolgendo un esercizio di fisica 2 che recita così:
"Carica elettrostatica è uniformemente distribuita con densità l su una figura geometrica
costituita da 3/4 di un anello circolare sottile di raggio R e dalla diagonale del quadrato di lato
R. Determinare il campo elettrico nel centro dell’anello."
Dato che mi si richiede il campo al centro della distribuzione, posso concludere che i contributi derivanti dal quarto di circonferenza del secondo e quarto quadrante si annullano per simmetria, quindi devo considerare unicamente il campo del quarto di circonferenza del terzo quadrante, cui sovrappongo il campo della diagonale del quadrato.
Ho provato a calcolare il campo totale, ma il mio risultato non combacia con quello del prof, secondo cui dovrebbe essere:
$E [ (k \lambda)/R (1-sqrt(2)) ; (k \lambda)/R (1-sqrt(2))] $
Per calcolare il campo nel quarto di circonferenza io ho pensato di integrare tra $\pi R$ e $2\pi R $ un contributo infinitesimo di campo, cioè $(k \lambda dl)/R^2$, il che da come risultato $(\pi k \lambda)/R$. Per quanto riguarda la diagonale, ho pensato semplicemente che il campo sia $E = (k \lambda R sqrt(2))/R^2 $.
Per la diagonale diciamo che il risultato torna, ma per la circonferenza no. Chi mi sa dire dove sbaglio?
Grazie, ogni contributo sarà apprezzato!!
"Carica elettrostatica è uniformemente distribuita con densità l su una figura geometrica
costituita da 3/4 di un anello circolare sottile di raggio R e dalla diagonale del quadrato di lato
R. Determinare il campo elettrico nel centro dell’anello."
Dato che mi si richiede il campo al centro della distribuzione, posso concludere che i contributi derivanti dal quarto di circonferenza del secondo e quarto quadrante si annullano per simmetria, quindi devo considerare unicamente il campo del quarto di circonferenza del terzo quadrante, cui sovrappongo il campo della diagonale del quadrato.
Ho provato a calcolare il campo totale, ma il mio risultato non combacia con quello del prof, secondo cui dovrebbe essere:
$E [ (k \lambda)/R (1-sqrt(2)) ; (k \lambda)/R (1-sqrt(2))] $
Per calcolare il campo nel quarto di circonferenza io ho pensato di integrare tra $\pi R$ e $2\pi R $ un contributo infinitesimo di campo, cioè $(k \lambda dl)/R^2$, il che da come risultato $(\pi k \lambda)/R$. Per quanto riguarda la diagonale, ho pensato semplicemente che il campo sia $E = (k \lambda R sqrt(2))/R^2 $.
Per la diagonale diciamo che il risultato torna, ma per la circonferenza no. Chi mi sa dire dove sbaglio?
Grazie, ogni contributo sarà apprezzato!!
Risposte
guarda che il $sqrt(2)$ viene dall'integrazione sul quarto d'anello; poi non ho capito come è messa la diagonale del quadrato
la diagonale è messa come a "chiudere" il cerchio, è il segmento che va dall'R sull'asse delle ordinate all'R sull'asse delle ascisse. in coordinate, (0,R), (R,0). Mi spieghi il procedimento? Perchè allora proprio non ho capito.
I vettori campo elettrico vanno sommati vettorialmente, non scalarmente come mi pare abbia fatto tu; ad esempio, il pezzettino $dl=Rd theta$ sull'arco produce un campo che è $(klambdaRd theta)/R^2e^(itheta)$ se integri per $theta$ che va da 0 a $pi/2$ ottieni che il campo è diretto a 45 gradi e di intensità $(sqrt(2)klambda)/R$. Il campo prodotto dalla diagonale è più complicato, perchè la distanza tra dl e il centro varia in funzione di x come $sqrt(x^2+(R-x)^2)$ quindi ti viene da integrare un termine del tipo $1/(x^2+(R-x)^2)$: a occhio viene fuori un'arcotangente
Il campo generato dalla corda situata nel primo quadrante, per considerazioni di simmetria, ha entrambe le componenti negative ed è diretto lungo la bisettrice del primo e terzo quadrante. Il suo modulo si può ottenere calcolando il seguente integrale:
$sqrt2klambdaR\int_{0}^{sqrt(2)/2R}1/(x^2+R^2/2)^(3/2)dx$
oppure, più semplicemente:
$(2sqrt2klambda)/R\int_{0}^{pi/4}cos\thetad\theta=(2klambda)/R$
Se, avendone il modulo, ne calcoli le componenti, ottieni $(-(sqrt2klambda)/R,-(sqrt2klambda)/R)$, come sostiene il docente. In ogni modo, per portare a buon fine il calcolo, devi servirti di un integrale. Infatti, la carica elementare distribuita sulla corda ha distanza variabile, così come è variabile l'angolo formato dal campo elementare con la direzione individuata dalla bisettrice.
$sqrt2klambdaR\int_{0}^{sqrt(2)/2R}1/(x^2+R^2/2)^(3/2)dx$
oppure, più semplicemente:
$(2sqrt2klambda)/R\int_{0}^{pi/4}cos\thetad\theta=(2klambda)/R$
Se, avendone il modulo, ne calcoli le componenti, ottieni $(-(sqrt2klambda)/R,-(sqrt2klambda)/R)$, come sostiene il docente. In ogni modo, per portare a buon fine il calcolo, devi servirti di un integrale. Infatti, la carica elementare distribuita sulla corda ha distanza variabile, così come è variabile l'angolo formato dal campo elementare con la direzione individuata dalla bisettrice.
"falseaccuse":
guarda che il $sqrt(2)$ viene dall'integrazione sul quarto d'anello; poi non ho capito come è messa la diagonale del quadrato
Ho capito solo ora che quelle erano le componenti sugli assi x e y. Allora dall'integrazione sul quarto d'anello ti viene la prima parte, il $sqrt(2)$ invece viene fuori dall'integrazione sulla corda se è corretto il procedimento di speculor
Ho controllato, è corretto. Anche perchè le componenti dovrebbero essere negative, se veramente la corda è situata nel primo quadrante. Inoltre, il modulo del campo generato dall'arco vale $[(sqrt2klambda)/R]$. Se ne consideri le componenti ottieni $(+(klambda)/R,+(klambda)/R)$.
Scusate se mi intrometto, ma sarebbe meglio che prima ne guardassi qualcuno sui libri. Anche se non sono impossibili, bisogna avere un po' di dimestichezza ed è piuttosto faticoso mostrare gli integrali passo-passo in questa sede.
"Federichina":
Mi spieghi il procedimento? Perchè allora proprio non ho capito.
Scusate se mi intrometto, ma sarebbe meglio che prima ne guardassi qualcuno sui libri. Anche se non sono impossibili, bisogna avere un po' di dimestichezza ed è piuttosto faticoso mostrare gli integrali passo-passo in questa sede.
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