Esercizio campo elettrico
Vorrei solo sapere se ho risolto il seguente esercizio bene:
"Un cilindro isolante pieno, di raggio $R$ e infinitamente lungo, ha una densità volumetrica di carica che varia con il raggio secondo la legge $\rho = \rho_0 (3r + 4r^2)$. Determinare il modulo del vettore campo elettrico sia per $r < R$ che per $r > R$."
Inizio con $r >= R$
Applico il teorema di Gauss
$\Phi_S(\vecE) = \int_S \vecE * d\vecS = E 2 \pi r h$
sappiamo anche che
$\Phi_S(\vecE) = 1/\epsilon_0 \int_\tau \rho d\tau$
e quindi
$E 2 \pi r h = 1/\epsilon_0 \int_\tau \rho d\tau$
sapendo che $\rho = \rho_0 (3r + 4r^2)$ possiamo riscrivere la precedente in questo modo
$E 2 \pi r h = 1/\epsilon_0 \int_\tau \rho_0 (3r + 4r^2) d\tau$
siccome $\rho_0$ è costante e $r$ non dipende da $\tau$ possiamo portare tutto fuori dall'integrale
$E 2 \pi r h = 1/\epsilon_0 \rho_0 (3r + 4r^2) \int_\tau d\tau$
svolgendo l'integrale abbiamo
$E 2 \pi r h = 1/\epsilon_0 \rho_0 (3r + 4r^2) \pi R^2 h$
$E = (\rho_0 (3r + 4r^2) \pi R^2 h)/(2 \pi r h \epsilon_0)$
semplificando ho
$E = (\rho_0 (3r + 4r^2) R^2)/(2 r \epsilon_0) = (\rho_0 3 R^2 + \rho_0 4r R^2)/(2 \epsilon_0) $
Invece, per $r < R$ ho
$E 2 \pi r h = 1/\epsilon_0 \rho_0 (3r + 4r^2) \pi r^2 h$
$E = (\rho_0 (3r + 4r^2) \pi r^2 h)/(2 \pi r h \epsilon_0)$
semplifico
$E = (\rho_0 (3r + 4r^2) r)/(2 \epsilon_0) = (\rho_0 3r^2 + \rho_0 4r^3)/(2 \epsilon_0)$
E' fatto bene? Oppure ho sbagliato qualche procedimento/metodo?
"Un cilindro isolante pieno, di raggio $R$ e infinitamente lungo, ha una densità volumetrica di carica che varia con il raggio secondo la legge $\rho = \rho_0 (3r + 4r^2)$. Determinare il modulo del vettore campo elettrico sia per $r < R$ che per $r > R$."
Inizio con $r >= R$
Applico il teorema di Gauss
$\Phi_S(\vecE) = \int_S \vecE * d\vecS = E 2 \pi r h$
sappiamo anche che
$\Phi_S(\vecE) = 1/\epsilon_0 \int_\tau \rho d\tau$
e quindi
$E 2 \pi r h = 1/\epsilon_0 \int_\tau \rho d\tau$
sapendo che $\rho = \rho_0 (3r + 4r^2)$ possiamo riscrivere la precedente in questo modo
$E 2 \pi r h = 1/\epsilon_0 \int_\tau \rho_0 (3r + 4r^2) d\tau$
siccome $\rho_0$ è costante e $r$ non dipende da $\tau$ possiamo portare tutto fuori dall'integrale
$E 2 \pi r h = 1/\epsilon_0 \rho_0 (3r + 4r^2) \int_\tau d\tau$
svolgendo l'integrale abbiamo
$E 2 \pi r h = 1/\epsilon_0 \rho_0 (3r + 4r^2) \pi R^2 h$
$E = (\rho_0 (3r + 4r^2) \pi R^2 h)/(2 \pi r h \epsilon_0)$
semplificando ho
$E = (\rho_0 (3r + 4r^2) R^2)/(2 r \epsilon_0) = (\rho_0 3 R^2 + \rho_0 4r R^2)/(2 \epsilon_0) $
Invece, per $r < R$ ho
$E 2 \pi r h = 1/\epsilon_0 \rho_0 (3r + 4r^2) \pi r^2 h$
$E = (\rho_0 (3r + 4r^2) \pi r^2 h)/(2 \pi r h \epsilon_0)$
semplifico
$E = (\rho_0 (3r + 4r^2) r)/(2 \epsilon_0) = (\rho_0 3r^2 + \rho_0 4r^3)/(2 \epsilon_0)$
E' fatto bene? Oppure ho sbagliato qualche procedimento/metodo?
Risposte
Attento/a con la notazione.. La variabile \(r\) della densità di carica non è certamente la stessa variabile \(r\) usata per indicare la distanza alla quale vuoi calcolare il campo elettrico. La \(r\) della densità di carica si riferisce alla densità di carica in un punto a distanza \(r\) dall'asse del cilindro. Quale sarebbe inoltre la superficie su cui hai applicato il teorema di Gauss (suppongo un cilindro di raggio \(r\) e altezza \(h\))? Sarebbe opportuno scriverlo nel testo dell'esercizio in quanto altre scelte potrebbero essere possibili (anche se in questo caso non avrebbero molto senso probabilmente).
Sì, l'ho applicato su un cilindro di raggio $r$ e altezza $h$.
Oh, quindi la $r$ che si trova in $\rho = \rho_0(3r + 4r^2)$ non è la stessa usata nel teorema di Gauss. Li dovrei quindi segnare come $r_0$ per quella usata nel teorema di Gauss e $r$ invece quella nella $\rho$.
In questo caso il tutto verrebbe:
$E = (\rho_0(3r + 4r^2)R^2)/(2 r_0 \epsilon_0)$
e
$E = (\rho_0(3r + 4r^2)r_0)/(2 \epsilon_0)$
Giusto?
Oh, quindi la $r$ che si trova in $\rho = \rho_0(3r + 4r^2)$ non è la stessa usata nel teorema di Gauss. Li dovrei quindi segnare come $r_0$ per quella usata nel teorema di Gauss e $r$ invece quella nella $\rho$.
In questo caso il tutto verrebbe:
$E = (\rho_0(3r + 4r^2)R^2)/(2 r_0 \epsilon_0)$
e
$E = (\rho_0(3r + 4r^2)r_0)/(2 \epsilon_0)$
Giusto?
No, continua ad essere sbagliato. Il problema è che \(r\) dipende da \(\tau\) e che quindi non può essere portata fuori dall'integrale..
Allora, $\rho_0$ è costante, quindi può andare fuori dall'integrale.
Ho quindi
$\rho/\epsilon_0 \int_{\tau}3r + 4r^2 d\tau$
Però non capisco come proseguire ora. $r$ è una linea mentre $d\tau$ descrive un volume. So che $d\tau = dx dy dz$, quindi, se per esempio $r$ si trova sull'asse $x$ devo quindi integrarlo su $x$? Come dovrei fare?
Ho quindi
$\rho/\epsilon_0 \int_{\tau}3r + 4r^2 d\tau$
Però non capisco come proseguire ora. $r$ è una linea mentre $d\tau$ descrive un volume. So che $d\tau = dx dy dz$, quindi, se per esempio $r$ si trova sull'asse $x$ devo quindi integrarlo su $x$? Come dovrei fare?
Non ho capito che intendi dire con \(r\) è una linea? Supponendo che l'asse del cilindro sia l'asse \(z\), allora \(r = x^2 + y^2\).
La $r$ è il raggio del cilindro, giusto? Questo significa che è una linea che ha la stessa lunghezza sempre. Non dovrei integrarla su una delle tre coordinate cartesiane?
Perché $r = x^2 + y^2$ supponendo che l'asse $z$ sia l'asse del cilindro?
Perché $r = x^2 + y^2$ supponendo che l'asse $z$ sia l'asse del cilindro?
La \(R\) maiuscola rappresenta il raggio del cilindro. La \(r\) minuscola rappresenta invece la distanza tra un punto (nel quale vuoi calcolare la densità di carica) e l'asse del cilindro. Per esempio, la densità di carica lungo l'asse del cilindro (\( r = 0 \)) sarà \( \rho = \rho_0\,(3\,0 + 4\,0) = 0. \) Lungo la superficie esterna del cilindro (\( r = R \)) sarà invece \( \rho = \rho_0\,(3\,R + 4\,R^2)\). Quando calcoli l'integrale ti conviene quindi passare in coordinate cilindriche.
Oh! Quindi dovrei fare $\int_{0}^{R} (3r + 4r^2) dr$? E cioè $3/2R^2 + 4/3R^3$?
''Un cilindro isolante pieno''
Io avrei applicato Gauss a:
$int \vec{D} \dot d\vec{S} = q$
poi, all'interno del cilindro fino alla superficie, con $r = R$ escluso, deve venire un campo elettrico proporzionale ad $r$
fuori, un campo proporzionale ad $1/r$
per quello fuori, ditemi se va bene:
$\epsilon_0 \epsilon_r E(r) \pi r h = \rho(r=R) \pi R^2 h$
dove al primo membro c'è un integrale di superficie che dipende dall' r che stiamo considerando per il teorema di Gauss e al secondo membro uno di volume.
Io avrei applicato Gauss a:
$int \vec{D} \dot d\vec{S} = q$
poi, all'interno del cilindro fino alla superficie, con $r = R$ escluso, deve venire un campo elettrico proporzionale ad $r$
fuori, un campo proporzionale ad $1/r$
per quello fuori, ditemi se va bene:
$\epsilon_0 \epsilon_r E(r) \pi r h = \rho(r=R) \pi R^2 h$
dove al primo membro c'è un integrale di superficie che dipende dall' r che stiamo considerando per il teorema di Gauss e al secondo membro uno di volume.
"ludwigZero":
''Un cilindro isolante pieno''
Io avrei applicato Gauss a:
$int \vec{D} \dot d\vec{S} = q$
Cosa sarebbe quella $\vecD$?
$\vec{D} = \epsilon_0 \epsilon_r \vec{E}$
dove:
$\epsilon_0 \epsilon_r = \epsilon$
dove:
$\epsilon_0 \epsilon_r = \epsilon$
Up: novità al riguardo? 
Non ti saprei dire. Non ho ricevuto più risposte se avevo fatto bene l'ultimo integrale che avevo scritto.
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