Esercizio Campo e Potenziale elettrico

[Kernul]

Un cilindro metallico cavo ha diametro di $4.2 cm$. Lungo il suo asse è teso un filo avente diametro di $2.68 \mu m$ (da considerarsi come un cilindro cavo). Tra il cilindro e il filo è applicata una tensiona di $855 V$.
Qual'è il campo elettrico sulla superficie del filo e del cilindro?

Portando i diametri a metri e poi dividendoli per $2$ ottengo
$R_c = 2.1 * 10^(-2) m$
$R_f = 1.34 * 10^(-6) m$

Io so che la differenza di potenziale tra due punti è $\int_A^B \vec E_0 * d\vec l = V_0(A) - V_0(B)$
La distanza tra il filo ed il cilindro è praticamente $R_c - R_f$ il che da circa $R_c$ dato che il filo è molto sottile.
A questo punto dovrei procedere in questo modo:
$\int_(R_f)^(R_c) \vec E_0 * d\vec l = V_0(R_f) - V_0(R_c)$
Però anche se tentassi di calcolare da questa espressione il campo elettrico, quale campo elettrico sto calcolando?

[donald_zeka]

Ho qualche dubbio...mi pare che ci sia da risolvere l'equazione di Laplace, che in questo caso è $(d^2V)/(dr^2)=0$, che porta a $V(r)=kr+c$ e quindi $E=(dV)/(dr)=k$, il campo elettrico dovrebbe essere costante...qual è il risultato riportato dal libro?

[Kernul]

Purtroppo non c'è nessun risultato, è una vecchia traccia d'esame del mio prof di Fisica Generale II e stavo provando a farla.
Comunque stavo pensando se magari mi dovessi servire dell'operatore nabla e fare le derivate parziali sulle tre dimensioni.

[donald_zeka]

Quello che ho fatto io, se è corretto, è risolvere l'equazione di Laplace $nabla^2V=0$. Dato che il sistema presenta simmetria radiale, allora quell'equazione si riduce a $(d^2V)/(dr^2)=0$, quindi non serve risolvere l'equazione nelle 3 dimensioni ma solo radialmente, data la simmetria del problema.

[Kernul]

Scusa se te lo chiedo, ma potresti dirmi come si risolve l'equazione di Laplace?

[donald_zeka]

È una equazione differenziale alle derivate parziali (quella nella forma più generale $nabla^2V=0$) e va risolta con opportuni metodi che io non conosco. Nel nostro caso però, come nella maggior parte dei casi, si possono sfruttare delle simmetrie del problema per fare in modo che quell'equazione differenziale alle derivate parziali si trasformi in una semplice equazione differenziale ordinaria, quindi dato che il problema ha simmetria radiale, il potenziale dipenderà solo dalla distanza dal filo esterno o interno, quindi sarà $V=V(r)$, e quindi il potenziale è funzione solo di $r$ e l'equazione di Laplace diventa semplicemente $(d^2V)/(dr^2)=0$. Questa è una semplice equazione differenziale che dovresti saper risolvere.

[Kernul]

La derivata seconda del volume fratto la derivata del raggio al quadrato?
Verrebbe una cosa del genere? $E_0 * (2R_f^2 - 2R_c^2) = 0$?

[donald_zeka]

No...$V$ è il potenziale non il volume, e $(d^2V)/(dr^2)$ indica "la derivata seconda di $V$ rispetto a $r$"...è una equazione differenziale del tipo $ddot(x)=0$, dove al posto di $x$ c'è $V$...se non hai fatto le equazioni differenziali è inutile che tenti di risolvere il problema.

[Kernul]

Oh capisco... grazie!