[Esercizio] Calcolo ampiezza e centro oscillazioni massa+molla

[BigDummy]

Salve ragazzi, mi dite se ho fatto bene i punti c e d di questo esercizio?
https://imgur.com/a/JiLKXdf
Vi dico come ho proceduto:
La legge del moto è:
$a+k/(M+m)x=g$ , quindi la pulsazione è pari a $omega=sqrt(k/(m+M))$

ho imposto come condizioni iniziali:
$x(0)= (Mg)/k$
$v(o)=V=m/(m+M)V_0=m/(m+M)sqrt(2gh)$



Scrivo la legge oraria come:
$x(t)= Acos(omegat)+Bsin(omegat)+C$

Quindi:
$x(0)=A+C=(Mg)/k$
$v(0)=Bomega=V rarr B=V/omega=(mV_0)/(M+m)*sqrt((M+m)/k)=msqrt((2gh)/(k(M+m))$
$C=((M+m)g)/k$ = punto di riposo del sistema

Di conseguenza:
$x(t)=(mg)/kcos(omegat)+msqrt((2gh)/(k(M+m))) sin(omegat)+((M+m)g)/k$

È corretta?
Il centro intorno al quale avvengono le oscillazioni successive è quindi il punto C.

Per quanto riguarda l'ampiezza delle oscillazioni, essa è uguale a $M=sqrt(A^2+B^2)?$
Grazie!

[anonymous_0b37e9]

1. Durante la caduta

Si conserva l'energia meccanica.

2. Durante l'urto

Si conserva la quantità di moto.

3. Durante il moto successivo

Si conserva l'energia meccanica.

Prima di analizzare il moto successivo, devi determinare la velocità del sistema costituito dal piattino e dall'oggetto dopo l'urto. Inoltre, devi prestare la dovuta attenzione alle condizioni iniziali in relazione al sistema di riferimento che intendi adottare.

[BigDummy]

Ciao,l'avevo già calcolata.
La massa m urta il piattino con velocità $V_0=sqrt(2gh)$ (conserv.en. meccanica nella caduta)
Dopo di che dalla conservazione della quantità di moto:
$mV_0=(m+M)V rarr V=m/(m+M)V_0$
Le condizioni iniziali sono quelle che ho scritto prima,ovvero pongo come origine la posizione d'equilibrio per il solo piattino($x(0)=(Mg)/k$) con velocità iniziale pari a $V$.


Questa impostazione è corretta(si trova con quella che fa il mio prof) , tuttavia non so se poi lo svolgimento che ho scritto prima è fatto bene

[anonymous_0b37e9]

"BigDummy":
... l'avevo già calcolata ...

Hai ragione, non me ne ero accorto. Per quanto riguarda il moto successivo, mentre il centro dell'oscillazione corrisponde alla compressione della molla nel caso di equilibrio:

$\Deltal=((M+m)g)/k$

puoi ricavare la sua ampiezza conservando l'energia meccanica:

$1/2(M+m)v^2+1/2k(M^2g^2)/k^2+(M+m)g(A+(mg)/k)=1/2k[A+((M+m)g)/k]^2 rarr$

$rarr ((M+m)v^2)/2+(M^2g^2)/(2k)+(M+m)gA+(m(M+m)g^2)/k=(kA^2)/2+(M+m)gA+((M+m)^2g^2)/(2k) rarr$

$rarr A^2=((M+m)v^2)/k+(M^2g^2)/k^2+(2m(M+m)g^2)/k^2-((M+m)^2g^2)/k^2 rarr$

$rarr A^2=((M+m)v^2)/k+(g^2[M^2+2m(M+m)-(M+m)^2])/k^2 rarr$

$rarr A=sqrt(((M+m)v^2)/k+(m^2g^2)/k^2)$

In definitiva, orientando l'asse verticale verso il basso, ponendo l'origine in corrispondenza del centro dell'oscillazione e prendendo come origine dei tempi l'istante in cui il sistema passa per il medesimo:

$[v=(msqrt(2gh))/(M+m)] ^^ [\omega=sqrt(k/(M+m))] ^^ [x(t)=Asin\omegat]$

A mio parere, anche se la legge oraria è assegnata a partire da un istante successivo all'urto, la consegna può ritenersi soddisfatta lo stesso. Soprattutto perchè si è adottato un procedimento più fisico che matematico. Ad ogni modo, le nostre ampiezze coincidono.

[BigDummy]

perfetto, ti ringrazio!