Esercizio bello, ma non riesco..

[fu^2]

Una molecola è costituita da due atomi ri massa m. Il valore della forza che si esercità tra i due atomi, in funzione della loro distanza r, è data da

$F=c(-b/r^2+b^2/r^3)

dove c e b sono due costanti maggiori di zero.
Si conviene che F<0 corrisponde ad una attrazione e F>0 a repulsione. Per semplicità si supponga che il moto dei due atomi possa avvenire solo lungo la loro congiungente.
a)Trovare la distanza d'equilibrio $r_0$ tra i due atomi.
b)Calcolare la forza di richiamo fra i due atomi per spostamenti $Deltar$<<$r_0$ attorno alla posizione d'equilibrio $r_0$, trascurando i termini di ordine $(Deltar)^2$,$(Deltar)^3$ ecc..
(si consiglia di approssimare $1/(1+epsilon)=1-epsilon$)
c) Trovare il periodo delle piccole oscillazioni ($Deltar$<<$r_0$) della molecola attorno alla posizione d'equilibrio, ponendo $b=10^(-8)cm$ e $c=4*10^(-12)erg.
d)Se la molecola assorbe o emette radiazione elettromagnetica di frequenza eguale alla prorpia
frequenza di oscillazione, in quale regione dello spettro si trova la radiazione emessa dalla molecola?
e)Quant'è l'energia necessaria per dissociare una molecola i cui atomi si trovino a distanza d'equilibrio?
f)Si confronti l'energia di dissociazione della molecola con la sua energia termica a temperatura ambiente.





a)la posizione di stabilità si ottiene ponendo F=0, da cui $c(-b/r^2+b^2/r^3)=0->b=r

b) considero ogni spostamento come un moto periodico di periodo T, per cui a conti fatti l'accellerazione che ha il corpo nela sua vibrazione è $veca=-(4pi^2)/T^2*vecs$ dove s è lo spostamento.
quindi la forza di richiamo ha questa espressione: $vecF=-m(4pi^2)/T^2*vecs
quindi se la posizione di equilibrio è a una distanza $r_0$ si ha che per oscillazioni molto piccole, la forza di richiamo deve essere uguale, ma opposta alla forza di attrazione atomica, quindi si ha che $c(-b/(Deltaepsilon)^2+b^2/(Deltaepsilon)^3)-m(4pi^2)/T^2*Deltaepsilon=F_r
come detto nel testo, tralasciando i termini $(Deltaepsilon)^3,(Deltaepsilon)^2)
otteniamo che l'espressione della forza di richiamo in ogni punto è
$c(-b+b^2)-m(4pi^2)/T^2*Deltaepsilon=F_r

qui mi blocco, non riesco a sviluppare l'equazione della forza...e quindi anche il punto c) non riesco a fare...

d)ricavato T dal punto c), $f=1/T$ e poi si vede a quale spettro appartiene..
e),f) ci devo ancora pensare..fino a qui è tutto giusto?

[wedge]

punto 1 è giusto

punto 2, visto che r_0 (equilibrio) è = b, hai che per $(Deltar) /b$ << 1

$F=c(-b/(b+Deltar)^2+b^2/(b+Deltar)^3)$ sviluppando in serie e troncando per infinitesimi di ordine superiore al primo viene (se non ho fatto male i conti)

$F= -c/b Deltar$

in regime di piccole oscillazioni abbiamo quindi un bel moto armonico.

$mddoty + c/b^2 y = 0$ (ho cambiato il nome alla variabile spostamento). m dovrebbe per correttezza essere la massa ridotta del sistema. ne hai sentito parlare?

quindi $ddoty = -c/(b^2m) y$ e di conseguenza la frequenza delle oscillazioni è $omega=sqrt((c/(bm)))$

ecco il punto 3.

[fu^2]

due cose:
- come si sviluppa in serie? (un link dove lo spiega ?)
- non ne ho mai sentito parlare della massa ridotta del sistema, che cos'è?


grazie!!

[wedge]

intanto ho editato che avevo perso un quadrato sulla b. infatti la relazione finale non tornava dimensionalmente.

"fu^2":due cose:
- come si sviluppa in serie? (un link dove lo spiega ?)
- non ne ho mai sentito parlare della massa ridotta del sistema, che cos'è?

la massa ridotta è la massa associata alla "accelerazione della distanza" in un problema dei due corpi.
http://scienceworld.wolfram.com/physics ... dMass.html
sviluppare in serie di Taylor significa approssimare una funzione attorno ad un punto con una polinomiale
http://mathworld.wolfram.com/TaylorSeries.html

ma è un problema di maturità?

[fu^2]

no è un problema che stavo guardando dell'ammissione dell'sns per passar la mattinata:-D...

grazie mille wegde!!

[Sk_Anonymous]

Se si vuole si puo' anche ricorrere allo sviluppo del binomio di Newton (che e' alla portata di un maturando).
$(1+x)^n=1+nx+C_(n,2)x^2+C_(n,3)x^3+...+C_(n,n)x^x$
Per x "abbastanza" piccolo si possono considerare solo i primi due termini dello sviluppo e quindi:
$(1+x)^n =1+nx$
Nel caso in questione e':
$F_r=c/b(-(1+(Delta r)/b)^(-2)+(1+(Delta r)/b)^(-3))=c/b[-1+2(Deltar)/b+1-3(Delta r)/b]=-c/b*(Deltar)/b=-c/(b^2)Delta r$
karl

[fu^2]

"karl":Se si vuole si puo' anche ricorrere allo sviluppo del binomio di Newton (che e' alla portata di un maturando).
$(1+x)^n=1+nx+C_(n,2)x^2+C_(n,3)x^3+...+C_(n,n)x^x$
Per x "abbastanza" piccolo si possono considerare solo i primi due termini dello sviluppo e quindi:
$(1+x)^n =1+nx$
Nel caso in questione e':
$F_r=c/b(-(1+(Delta r)/b)^(-2)+(1+(Delta r)/b)^(-3))=c/b[-1+2(Deltar)/b+1-3(Delta r)/b]=-c/b*(Deltar)/b=-c/(b^2)Delta r$
karl

a ok perfetto grazie anche a te karl!