Esercizio attrito statico e dinamico
Buonasera ragazzi ho riscontrato dei problemi di risoluzione su questo tipo di esercizio:
Un auto con massa totale di \(\displaystyle 500 kg \),comprese le 4 ruote di diametro \(\displaystyle 80 cm \) e massa \(\displaystyle 4 kg \) l'una,sta viaggiando a velocità costante di 20 m/s.Calcolare il minimo spazio di frenata,con coefficiente d'attrito statico 0,5 e dinamico 0,2:
-Se le ruote vengono bloccate immediatamente
-Se la frenata avviene senza strisciamento(assumere il pesto distribuito equamente fra le 4 ruote).
La prima parte sono riuscito a risolverla calcolando la reazione vincolare che si esercita sull'auto e poi ho calcolato l'accelerazione orizzontale che è data dalla forza d'attrito dinamico , una volta ricavata ho calcolato il tempo di frenatura con l'equazione \(\displaystyle v=v_0+at \) per poi trovare lo spazio percorso dall'equazione \(\displaystyle x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\).
Mentre invece la seconda parte mi da problema perchè non riesco proprio a capire cosa si intende senza strisciamento,cioè ho capito che senza strisciamento sarebbe senza che la macchina slitti in avanti ma non capisco perchè il professore calcola l'accelerazione contando solo l'attrito statico( in quanto la ruota non sarà mai ferma per cui non c'è quiete tra asfalto e ruota)
Qualcuno mi potrebbe aiutare gentilmente?
Un auto con massa totale di \(\displaystyle 500 kg \),comprese le 4 ruote di diametro \(\displaystyle 80 cm \) e massa \(\displaystyle 4 kg \) l'una,sta viaggiando a velocità costante di 20 m/s.Calcolare il minimo spazio di frenata,con coefficiente d'attrito statico 0,5 e dinamico 0,2:
-Se le ruote vengono bloccate immediatamente
-Se la frenata avviene senza strisciamento(assumere il pesto distribuito equamente fra le 4 ruote).
La prima parte sono riuscito a risolverla calcolando la reazione vincolare che si esercita sull'auto e poi ho calcolato l'accelerazione orizzontale che è data dalla forza d'attrito dinamico , una volta ricavata ho calcolato il tempo di frenatura con l'equazione \(\displaystyle v=v_0+at \) per poi trovare lo spazio percorso dall'equazione \(\displaystyle x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2\).
Mentre invece la seconda parte mi da problema perchè non riesco proprio a capire cosa si intende senza strisciamento,cioè ho capito che senza strisciamento sarebbe senza che la macchina slitti in avanti ma non capisco perchè il professore calcola l'accelerazione contando solo l'attrito statico( in quanto la ruota non sarà mai ferma per cui non c'è quiete tra asfalto e ruota)
Qualcuno mi potrebbe aiutare gentilmente?
Risposte
Che cosa vuol dire, secondo te, che una ruota rotola senza strisciare su un piano ?
Prima di tutto, scordiamoci della deformabilità dei corpi, sia della ruota che del piano , cioè riferiamoci a corpi rigidi. Perciò non prendiamo in considerazione quello che si chiama "attrito volvente" , e limitiamoci a considerare l'attrito radente, che può essere statico o dinamico.
Una ruota rotola senza strisciare quando, per una certa rotazione elementare della ruota di un angolo $d\theta$ , che corrisponde a un arco di circonferenza pari a $ds = Rd\theta$, il corrispondente tratto di piano, su cui puoi immaginare che l'arco di circonferenza "si adagi" , è lungo proprio $dl = ds $ . Il punto di contatto tra ruota e piano cambia con continuità, sia sulla ruota che sul piano, ma nel punto di contatto istantaneo la velocità relativa tra i due corpi è nulla. Questo è il rotolamento senza strisciamento, o rotolamento puro, che si traduce in queste condizioni cinematiche sulla velocità e sulla accelerazione:
$(dl)/(dt) = R(d\theta)/(dt) $ , cioè $ v = \omegaR $ : il centro di massa della ruota trasla con la velocità $v$, che può essere costante o variabile , dipende dalle forze agenti .
$dotv = dot\omegaR$ : eventualmente ( dipende sempre dalle forze agenti) , il centro di massa accelera con accelerazione $dotv$
Se la ruota strisciasse sul piano, nel punto di contatto ci sarebbe una velocità relativa diversa da zero. Nello strisciamento, entra in gioco l'attrito radente. Nel rotolamento puro, entra in gioco solo l'attrito statico. Considera il seguente esempio :
- una ruota è posta in cima a un piano inclinato di $\alpha$ , e viene lasciata andare liberamente da ferma.Supponendo che ci sia sufficiente attrito statico tra ruota e piano ( e si può anche scrivere una relazione analitica ben precisa tra il coefficiente di attrito statico e l'angolo $\alpha$, condizione che ora supponiamo soddisfatta), la ruota rotola giù senza strisciare , il suo centro di massa (che è il centro della ruota) accelera linearmente con accelerazione $a = gsen\alpha$ , quindi la velocità di traslazione sarà $v=at$ , crescente col tempo, e lo spazio si calcola con la solita formuletta $s= 1/2at^2$ .
Quali sono le forze agenti sulla ruota? Il peso $mg$ , applicato nel CM e diretto verticalmente verso il basso; la reazione normale del piano $ N = mgcos\alpha$ , e una forza di attrito statico $f_a$ che è parallela al piano e diretta in verso contrario al moto . È il momento di questa forza rispetto al centro, dato da $f_a*R$ , a causare la variazione del momento angolare della ruota rispetto al centro, e in definitiva a farla accelerare angolarmente , cioè rotolare verso il basso con velocità angolare crescente ; l'accelerazione angolare è data, per la 2º equazione della dinamica, da :
$dot\omega = (f_aR )/I$
e a questa accelerazione angolare, nella condizione di rotolamento puro , corrisponde l'accelerazione lineare del CM della ruota $gsen\alpha$ , cioè dev'essere : $dot\omegaR = gsen\alpha$ .
Attenzione però ! Spesso si pensa che la forza di attrito statico sia la massima possibile, e cioè sia uguale a $\mu_s*N$, dove $\mu_s$ è coefficiente di attrito statico : non è vero ! Anzi , proprio imponendo la condizione che la forza di attrito non può superare il valore massimo, si determina la relazione analitica a cui prima ho accennato, tra coefficiente di attrito statico e angolo $\alpha$ del piano.
Ora, sperando di averti chiarito perchè il tuo prof usa l'attrito statico, facci vedere la soluzione del tuo problema, tenendo presente che tra ciascuna ruota e piano orizzontale agisce la forza di attrito statico durante la frenata.
Cioè, il suolo applica alla ruota non solo la reazione normale, bensí anche la forza di attrito statico, che per quanto detto non può superare $\mu_sN$ .
Prima di tutto, scordiamoci della deformabilità dei corpi, sia della ruota che del piano , cioè riferiamoci a corpi rigidi. Perciò non prendiamo in considerazione quello che si chiama "attrito volvente" , e limitiamoci a considerare l'attrito radente, che può essere statico o dinamico.
Una ruota rotola senza strisciare quando, per una certa rotazione elementare della ruota di un angolo $d\theta$ , che corrisponde a un arco di circonferenza pari a $ds = Rd\theta$, il corrispondente tratto di piano, su cui puoi immaginare che l'arco di circonferenza "si adagi" , è lungo proprio $dl = ds $ . Il punto di contatto tra ruota e piano cambia con continuità, sia sulla ruota che sul piano, ma nel punto di contatto istantaneo la velocità relativa tra i due corpi è nulla. Questo è il rotolamento senza strisciamento, o rotolamento puro, che si traduce in queste condizioni cinematiche sulla velocità e sulla accelerazione:
$(dl)/(dt) = R(d\theta)/(dt) $ , cioè $ v = \omegaR $ : il centro di massa della ruota trasla con la velocità $v$, che può essere costante o variabile , dipende dalle forze agenti .
$dotv = dot\omegaR$ : eventualmente ( dipende sempre dalle forze agenti) , il centro di massa accelera con accelerazione $dotv$
Se la ruota strisciasse sul piano, nel punto di contatto ci sarebbe una velocità relativa diversa da zero. Nello strisciamento, entra in gioco l'attrito radente. Nel rotolamento puro, entra in gioco solo l'attrito statico. Considera il seguente esempio :
- una ruota è posta in cima a un piano inclinato di $\alpha$ , e viene lasciata andare liberamente da ferma.Supponendo che ci sia sufficiente attrito statico tra ruota e piano ( e si può anche scrivere una relazione analitica ben precisa tra il coefficiente di attrito statico e l'angolo $\alpha$, condizione che ora supponiamo soddisfatta), la ruota rotola giù senza strisciare , il suo centro di massa (che è il centro della ruota) accelera linearmente con accelerazione $a = gsen\alpha$ , quindi la velocità di traslazione sarà $v=at$ , crescente col tempo, e lo spazio si calcola con la solita formuletta $s= 1/2at^2$ .
Quali sono le forze agenti sulla ruota? Il peso $mg$ , applicato nel CM e diretto verticalmente verso il basso; la reazione normale del piano $ N = mgcos\alpha$ , e una forza di attrito statico $f_a$ che è parallela al piano e diretta in verso contrario al moto . È il momento di questa forza rispetto al centro, dato da $f_a*R$ , a causare la variazione del momento angolare della ruota rispetto al centro, e in definitiva a farla accelerare angolarmente , cioè rotolare verso il basso con velocità angolare crescente ; l'accelerazione angolare è data, per la 2º equazione della dinamica, da :
$dot\omega = (f_aR )/I$
e a questa accelerazione angolare, nella condizione di rotolamento puro , corrisponde l'accelerazione lineare del CM della ruota $gsen\alpha$ , cioè dev'essere : $dot\omegaR = gsen\alpha$ .
Attenzione però ! Spesso si pensa che la forza di attrito statico sia la massima possibile, e cioè sia uguale a $\mu_s*N$, dove $\mu_s$ è coefficiente di attrito statico : non è vero ! Anzi , proprio imponendo la condizione che la forza di attrito non può superare il valore massimo, si determina la relazione analitica a cui prima ho accennato, tra coefficiente di attrito statico e angolo $\alpha$ del piano.
Ora, sperando di averti chiarito perchè il tuo prof usa l'attrito statico, facci vedere la soluzione del tuo problema, tenendo presente che tra ciascuna ruota e piano orizzontale agisce la forza di attrito statico durante la frenata.
Cioè, il suolo applica alla ruota non solo la reazione normale, bensí anche la forza di attrito statico, che per quanto detto non può superare $\mu_sN$ .
Grazie mille della spiegazione,il mio problema in pratica era capire cosa si intendesse con rotolamento senza strisciare perche io lo intendevo come se la ruota si muovesse senza attrito..
Quindi la soluzione del problema tendendo conto del solo attrito statico , in quanto la ruota nel punto di contatto istantaneo è in quiete con il piano e quindi non entra in gioco l'attrito istantaneo dato che i due corpi tra loro sono fermi..
La reazione vincolare sarà uguale a \(\displaystyle R=m*g=4*10=40\frac{Kg m}{s^2}\) e la forza di attrito massimo sarà \(\displaystyle f_m=0,5*40=20 N \).
Da quest'ultima forza mi ricavo l'accelerazione della singola ruota facendo\(\displaystyle a=\frac{-f_m}{m}=\frac{-20}{4}=-5 \frac{m}{s^2} \). A questo punto mi calcolo il tempo che occorre per frenare la ruota usando l'equazione: \(\displaystyle v=v_0+at \) da cui ricavo \(\displaystyle t=\frac{v-v_0}{a}=4 s \) e successivamente lo spazio percorso usando l'equazione:\(\displaystyle x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2=0+20*4+(\frac{-5*4^2}{2})=+80-40=+40 m\)
Quindi la soluzione del problema tendendo conto del solo attrito statico , in quanto la ruota nel punto di contatto istantaneo è in quiete con il piano e quindi non entra in gioco l'attrito istantaneo dato che i due corpi tra loro sono fermi..
La reazione vincolare sarà uguale a \(\displaystyle R=m*g=4*10=40\frac{Kg m}{s^2}\) e la forza di attrito massimo sarà \(\displaystyle f_m=0,5*40=20 N \).
Da quest'ultima forza mi ricavo l'accelerazione della singola ruota facendo\(\displaystyle a=\frac{-f_m}{m}=\frac{-20}{4}=-5 \frac{m}{s^2} \). A questo punto mi calcolo il tempo che occorre per frenare la ruota usando l'equazione: \(\displaystyle v=v_0+at \) da cui ricavo \(\displaystyle t=\frac{v-v_0}{a}=4 s \) e successivamente lo spazio percorso usando l'equazione:\(\displaystyle x(t)=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2=0+20*4+(\frac{-5*4^2}{2})=+80-40=+40 m\)
Non è cosi facile! Hai dimenticato che l'auto ha una massa totale , distribuita sulle 4 ruote, per cui su ogni ruota grava una massa di $125 kg$ , che comprende la massa di $4kg$ della ruota stessa, se ho ben capito. Inoltre la ruota ha un proprio raggio, quindi ha un proprio momento di inerzia, dato da $I = 1/2mR^2$ ,dove $m$ è la massa della ruota, assimilabile a un disco, e questo non si può trascurare.
Considerando una singola ruota, tutta la massa ad essa collegata trasla, inoltre quella del disco "ruota" pure.
Per darti un'idea di che cosa succede nel caso di moto di puro rotolamento di un disco, ti consiglio di dare un'occhiata al paragrafo 7.8 di questa dispensa:
http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/D ... rigido.pdf
come vedi, si considerano due casi distinti di moto dovuto a forze esterne :
1)quello con una forza $vecF$ costante applicata all'asse del disco, per cui nasce la forza di attrito statico $vecf$, agente sul disco, diretta in verso contrario ad $vecF$ : essa non è altro che la componente orizzontale della reazione del piano, mentre la componente verticale è uguale e contraria al peso gravante sull'asse;
2) e quello con un momento motore applicato all'asse , indicato con $vec\tau$ , per cui la forza di attrito statico applicata al disco è concorde al senso del moto . È questa forza, che causa l'accelerazione del disco in questo caso.
Si scrivono , in entrambi i due casi , le due equazioni cardinali della dinamica, e si ricava l'accelerazione e la forza di attrito . In entrambi i casi , la forza di attrito deve risultare inferiore a quella massima $\mu_s*N$ , per cui si arriva a scrivere una condizione ben precisa circa la forza motrice massima ovvero il momento motore massimo , che possono aversi affinchè sia rispettata la condizione di rotolamento puro .
Nel tuo caso , sei in una situazione opposta : la ruota sta avanzando con una velocità iniziale , supponiamo. costante, pari a $v_0$ , in condizioni di puro rotolamento , quindi la velocità angolare iniziale è $\omega_0 = v_0/R$ . Si vuole frenare la ruota , in modo da evitare che slitti, quindi conservando la condizione di rotolamento puro. Evidentemente la forza di attrito massima non deve superare il valore detto. È chiaro che il moto si può considerare uniformemente accelerato , con accelerazione contraria al verso della velocità iniziale , quindi deve aversi :
$v= v_0-at$
$s= v_0t - 1/2 at^2$
e perciò , ricavando il tempo di arresto : $ t = v_0/a $ e sostituendo nella seconda equazione si ha lo spazio di arresto :
$s = v_0^2/(2a)$ . Ma per applicare questa formula ti serve l'accelerazione ( che in questo caso è opposta al moto) , e questa si ricava dalle due equazioni della dinamica, applicate al sistema.
Io però vedo una imprecisione nel testo : non è detto se la frenata è realizzata, per ipotesi , applicando a ciascuna ruota una forza orizzontale, (evidentemente sull'asse della ruota) ,oppure una coppia frenante . La soluzione è diversa nei due casi. Se vuoi esaminare il caso della forza frenante, devi applicare $vecF$ e la reazione del piano , che ha due componenti : la verticale è uguale e contraria al peso che grava sulla ruota, l'orizzontale è la forza di attrito . La forza di attrito deve poi soddisfare la seconda eq. cardinale : $fR = I\alpha$ applicata alla ruota. L'accelerazione angolare è legata a quella del CM dalla relazione di rotolamento puro .
Considerando una singola ruota, tutta la massa ad essa collegata trasla, inoltre quella del disco "ruota" pure.
Per darti un'idea di che cosa succede nel caso di moto di puro rotolamento di un disco, ti consiglio di dare un'occhiata al paragrafo 7.8 di questa dispensa:
http://www.dmf.unisalento.it/~panareo/D ... rigido.pdf
come vedi, si considerano due casi distinti di moto dovuto a forze esterne :
1)quello con una forza $vecF$ costante applicata all'asse del disco, per cui nasce la forza di attrito statico $vecf$, agente sul disco, diretta in verso contrario ad $vecF$ : essa non è altro che la componente orizzontale della reazione del piano, mentre la componente verticale è uguale e contraria al peso gravante sull'asse;
2) e quello con un momento motore applicato all'asse , indicato con $vec\tau$ , per cui la forza di attrito statico applicata al disco è concorde al senso del moto . È questa forza, che causa l'accelerazione del disco in questo caso.
Si scrivono , in entrambi i due casi , le due equazioni cardinali della dinamica, e si ricava l'accelerazione e la forza di attrito . In entrambi i casi , la forza di attrito deve risultare inferiore a quella massima $\mu_s*N$ , per cui si arriva a scrivere una condizione ben precisa circa la forza motrice massima ovvero il momento motore massimo , che possono aversi affinchè sia rispettata la condizione di rotolamento puro .
Nel tuo caso , sei in una situazione opposta : la ruota sta avanzando con una velocità iniziale , supponiamo. costante, pari a $v_0$ , in condizioni di puro rotolamento , quindi la velocità angolare iniziale è $\omega_0 = v_0/R$ . Si vuole frenare la ruota , in modo da evitare che slitti, quindi conservando la condizione di rotolamento puro. Evidentemente la forza di attrito massima non deve superare il valore detto. È chiaro che il moto si può considerare uniformemente accelerato , con accelerazione contraria al verso della velocità iniziale , quindi deve aversi :
$v= v_0-at$
$s= v_0t - 1/2 at^2$
e perciò , ricavando il tempo di arresto : $ t = v_0/a $ e sostituendo nella seconda equazione si ha lo spazio di arresto :
$s = v_0^2/(2a)$ . Ma per applicare questa formula ti serve l'accelerazione ( che in questo caso è opposta al moto) , e questa si ricava dalle due equazioni della dinamica, applicate al sistema.
Io però vedo una imprecisione nel testo : non è detto se la frenata è realizzata, per ipotesi , applicando a ciascuna ruota una forza orizzontale, (evidentemente sull'asse della ruota) ,oppure una coppia frenante . La soluzione è diversa nei due casi. Se vuoi esaminare il caso della forza frenante, devi applicare $vecF$ e la reazione del piano , che ha due componenti : la verticale è uguale e contraria al peso che grava sulla ruota, l'orizzontale è la forza di attrito . La forza di attrito deve poi soddisfare la seconda eq. cardinale : $fR = I\alpha$ applicata alla ruota. L'accelerazione angolare è legata a quella del CM dalla relazione di rotolamento puro .
Chiedo venia ma purtroppo questa volta non sono riuscito a capire cioè.. La velocità costante iniziale di 20 m/s non è applicata alla ruota ma all'intera auto quindi non capisco proprio come possa ricavarmi l'accelerazione.
L'auto ha velocità di traslazione iniziale costante $v_0 = 20m/s = 72 (km)/h$ , e questa è anche la velocità di traslazione di tutte e quattro le ruote. Le ruote girano anche, naturalmente.
Consideriamo una ruota, che trasla con velocità $v_0 ="cost"$ , supponiamo da sinistra verso destra, rotolando senza strisciare su un piano orizzontale. LA condizione di rotolamento puro dice che la velocità angolare iniziale, oraria guardando il foglio, vale $\omega_0 = v_0/r = "cost" $ , essendo $r$ il raggio della ruota.
Finchè la velocità è costante, non c'è alcuna forza di attrito tra ruota e piano (se ne è parlato di recente nel forum , in questo post , guarda in dettaglio la risposta di Falco5x che ha richiamato Vulplasir. Si suppone assenza di attrito volvente e di resistenza dell'aria). Quindi , le uniche forze agenti sono il peso $vecP$ e la reazione del piano $vecN$ , che si fanno equilibrio, per cui :$ N = P $ .
Ora intendiamo frenare la ruota, su cui grava una massa $M = 125 kg$ (questo è un dato del problema) che include la massa della ruota . Possiamo dire che : $M = m +m_(agg) $ , dove la prima è la massa della ruota e la seconda è la "massa aggiunta" , secondo quello che dice la traccia. Spero di aver capito bene che cosa intende il testo, quando afferma che occorre dividere la massa totale sulle 4 ruote ! Ma la traccia è poco chiara a questo proposito, e non solo.
Comunque, ritenendo che sia cosí , ha importanza $M$ e la massa della singola ruota $m$.
Come si intende frenare la ruota? Potremmo pensare di applicare all'asse della ruota una forza $vecF$ , diretta orizzontalmente e in verso opposto a quello di avanzamento. Oppure potremmo applicare all'asse della ruota una coppia frenante. Il testo non lo dice, non è chiaro. E ripeto che la soluzione è diversa nei due casi.
Io suppongo di applicare la forza $vecF = "cost" $ come detto, diretta quindi verso sinistra . Applicando una forza, la reazione $vecR$ del piano non è più soltanto verticale , ma ha pure una componente orizzontale, poichè il piano esercita sul disco una forza di attrito $vecf$ , che (guarda la figura seguente) è diretta nel verso opposto ad $vecF$ .
La forza di attrito $vecf$ , agente sul disco, deve essere diretta verso destra , perchè , siccome la rotazione iniziale del disco è oraria, il momento di $vecf$ rispetto al centro del disco deve essere antiorario, per contrastare la rotazione e infine arrestarla. Questa è l'unica forza esterna, che ha un momento, rispetto al centro del disco, in grado di causare accelerazione angolare antioraria, la quale fa diminuire la velocità angolare.
In base alla 2º equazione cardinale della dinamica, applicata al disco , deve aversi infatti : $f*r = I\alpha$ , dove $I =1/2m*r^2$ è il momento di inerzia del disco rispetto all'asse baricentrico perpendicolare alla figura.
Si ha quindi : $f = (I\alpha)/r $ , e siccome nel puro rotolamento l'accelerazione del centro di massa del disco è legata ad $\alpha$ dalla relazione : $a = \alpha*r$ , si ha : $f = (Ia)/r^2$ .
La condizione per la quale la ruota non slitti è : $f<= \mu_sN $ , cioè $ (Ia)/r^2 <=\mu_s*Mg$ . Da questa si ricava quindi la condizione per l'accelerazione del centro della ruota (diretta come vettore in verso opposto al moto, quindi si può dire, con una certa improprietà di linguaggio, che si tratta di una "decelerazione") :
$a <=2\mu_sg M/m$
la decelerazione massima che si può avere senza strisciare è quindi : $a_(max) = 2\mu_sg M/m$ . Mettendo i numeri, si ha un valore molto grande, perciò non sono convinto del senso di quella divisione della massa in 4 parti....
Per quanto riguarda lo spazio di arresto, alla accelerazione massima corrisponde uno spazio di arresto minimo (quello che chiede il problema) , dato dalla relazione già detta in precedenza :
$s = v_0^2/(2a_(max)) $ , da cui : $ a_(max) = v_0^2/(2s) $ . Percio deve essere : $ v_0^2/(2s) = 2\mu_sg M/m$ . Di qui si ricava lo spazio di arresto minimo :
$s = v_0^2/(4\mu_sg)* m/M $
Anche qui, il risultato numerico è un po' dubbio , risulta $s_(min) = 0.65m = 65 cm $ .
Se vogliamo ricavare il valore massimo della forza $vecF$ , che si può applicare all'asse senza causare slittamento, dobbiamo scrivere la prima equazione della dinamica per la ruota , tenendo presente che nel suo centro di massa dobbiamo immaginare concentrata la massa $M$ prima detta, e che le forze agenti in senso orizzontale sono due, dirette in versi opposti :
$ F-f = Ma$
sostituendo i valori ricavati per la forza di attrito e per l'accelerazione, si ottiene : $ F_(max) = \mu_sMg (2 M/m +1)$ .
Questo risultato è conforme a quello che si ricava, se si considera solo un disco che rotola senza strisciare, per cui $M=m$ . Risulta in tal caso che la forza frenante è tre volte la forza di attrito.
Se, anzichè considerare una forza frenante, si considera una coppia applicata all'asse, il risultato è diverso. E penso proprio che i risultati sarebbero più verosimili con una coppia frenante, anzichè con una forza. Se ho tempo, scrivo la soluzione anche in questo caso.
Per ora , ti dico come devi fare , se vuoi provarci da solo . Considera un momento frenante applicato all'asse, anzichè la forza $vecF$ , in senso opposto alla rotazione iniziale, cioè antiorario (guarda la figura sopra) . La forza di attrito sul disco ora sarà diretta verso sinistra, non verso destra. Scrivi le due equazioni cardinali della dinamica in questa nuova condizione. Assumi sempre la condizione iniziale di velocità $v_0 = "cost"$ , e la condizione di rotolamento senza strisciamento, cioè che $f <=\mu_sN$ , e risolvi le due equazioni.
Ti consiglio comunque di chiedere al tuo prof chiarimenti in merito alla suddivisione della massa totale in 4 parti, ciascuna gravante su una ruota. La soluzione che ho riportato va sicuramente bene se si tratta solo di un disco avente una certa massa, senza considerare la massa aggiunta.
Consideriamo una ruota, che trasla con velocità $v_0 ="cost"$ , supponiamo da sinistra verso destra, rotolando senza strisciare su un piano orizzontale. LA condizione di rotolamento puro dice che la velocità angolare iniziale, oraria guardando il foglio, vale $\omega_0 = v_0/r = "cost" $ , essendo $r$ il raggio della ruota.
Finchè la velocità è costante, non c'è alcuna forza di attrito tra ruota e piano (se ne è parlato di recente nel forum , in questo post , guarda in dettaglio la risposta di Falco5x che ha richiamato Vulplasir. Si suppone assenza di attrito volvente e di resistenza dell'aria). Quindi , le uniche forze agenti sono il peso $vecP$ e la reazione del piano $vecN$ , che si fanno equilibrio, per cui :$ N = P $ .
Ora intendiamo frenare la ruota, su cui grava una massa $M = 125 kg$ (questo è un dato del problema) che include la massa della ruota . Possiamo dire che : $M = m +m_(agg) $ , dove la prima è la massa della ruota e la seconda è la "massa aggiunta" , secondo quello che dice la traccia. Spero di aver capito bene che cosa intende il testo, quando afferma che occorre dividere la massa totale sulle 4 ruote ! Ma la traccia è poco chiara a questo proposito, e non solo.
Comunque, ritenendo che sia cosí , ha importanza $M$ e la massa della singola ruota $m$.
Come si intende frenare la ruota? Potremmo pensare di applicare all'asse della ruota una forza $vecF$ , diretta orizzontalmente e in verso opposto a quello di avanzamento. Oppure potremmo applicare all'asse della ruota una coppia frenante. Il testo non lo dice, non è chiaro. E ripeto che la soluzione è diversa nei due casi.
Io suppongo di applicare la forza $vecF = "cost" $ come detto, diretta quindi verso sinistra . Applicando una forza, la reazione $vecR$ del piano non è più soltanto verticale , ma ha pure una componente orizzontale, poichè il piano esercita sul disco una forza di attrito $vecf$ , che (guarda la figura seguente) è diretta nel verso opposto ad $vecF$ .
La forza di attrito $vecf$ , agente sul disco, deve essere diretta verso destra , perchè , siccome la rotazione iniziale del disco è oraria, il momento di $vecf$ rispetto al centro del disco deve essere antiorario, per contrastare la rotazione e infine arrestarla. Questa è l'unica forza esterna, che ha un momento, rispetto al centro del disco, in grado di causare accelerazione angolare antioraria, la quale fa diminuire la velocità angolare.
In base alla 2º equazione cardinale della dinamica, applicata al disco , deve aversi infatti : $f*r = I\alpha$ , dove $I =1/2m*r^2$ è il momento di inerzia del disco rispetto all'asse baricentrico perpendicolare alla figura.
Si ha quindi : $f = (I\alpha)/r $ , e siccome nel puro rotolamento l'accelerazione del centro di massa del disco è legata ad $\alpha$ dalla relazione : $a = \alpha*r$ , si ha : $f = (Ia)/r^2$ .
La condizione per la quale la ruota non slitti è : $f<= \mu_sN $ , cioè $ (Ia)/r^2 <=\mu_s*Mg$ . Da questa si ricava quindi la condizione per l'accelerazione del centro della ruota (diretta come vettore in verso opposto al moto, quindi si può dire, con una certa improprietà di linguaggio, che si tratta di una "decelerazione") :
$a <=2\mu_sg M/m$
la decelerazione massima che si può avere senza strisciare è quindi : $a_(max) = 2\mu_sg M/m$ . Mettendo i numeri, si ha un valore molto grande, perciò non sono convinto del senso di quella divisione della massa in 4 parti....
Per quanto riguarda lo spazio di arresto, alla accelerazione massima corrisponde uno spazio di arresto minimo (quello che chiede il problema) , dato dalla relazione già detta in precedenza :
$s = v_0^2/(2a_(max)) $ , da cui : $ a_(max) = v_0^2/(2s) $ . Percio deve essere : $ v_0^2/(2s) = 2\mu_sg M/m$ . Di qui si ricava lo spazio di arresto minimo :
$s = v_0^2/(4\mu_sg)* m/M $
Anche qui, il risultato numerico è un po' dubbio , risulta $s_(min) = 0.65m = 65 cm $ .
Se vogliamo ricavare il valore massimo della forza $vecF$ , che si può applicare all'asse senza causare slittamento, dobbiamo scrivere la prima equazione della dinamica per la ruota , tenendo presente che nel suo centro di massa dobbiamo immaginare concentrata la massa $M$ prima detta, e che le forze agenti in senso orizzontale sono due, dirette in versi opposti :
$ F-f = Ma$
sostituendo i valori ricavati per la forza di attrito e per l'accelerazione, si ottiene : $ F_(max) = \mu_sMg (2 M/m +1)$ .
Questo risultato è conforme a quello che si ricava, se si considera solo un disco che rotola senza strisciare, per cui $M=m$ . Risulta in tal caso che la forza frenante è tre volte la forza di attrito.
Se, anzichè considerare una forza frenante, si considera una coppia applicata all'asse, il risultato è diverso. E penso proprio che i risultati sarebbero più verosimili con una coppia frenante, anzichè con una forza. Se ho tempo, scrivo la soluzione anche in questo caso.
Per ora , ti dico come devi fare , se vuoi provarci da solo . Considera un momento frenante applicato all'asse, anzichè la forza $vecF$ , in senso opposto alla rotazione iniziale, cioè antiorario (guarda la figura sopra) . La forza di attrito sul disco ora sarà diretta verso sinistra, non verso destra. Scrivi le due equazioni cardinali della dinamica in questa nuova condizione. Assumi sempre la condizione iniziale di velocità $v_0 = "cost"$ , e la condizione di rotolamento senza strisciamento, cioè che $f <=\mu_sN$ , e risolvi le due equazioni.
Ti consiglio comunque di chiedere al tuo prof chiarimenti in merito alla suddivisione della massa totale in 4 parti, ciascuna gravante su una ruota. La soluzione che ho riportato va sicuramente bene se si tratta solo di un disco avente una certa massa, senza considerare la massa aggiunta.
Sono riuscito a trovare la soluzione completa del problema scritta anni fa dal professore e nella prima parte del problema la risolve come ho fatto io ,invece la seconda parte lui dice:
-Che l'accelerazione verticale è nulla in quanto il reso e reazione vincolare del terreno hanno stesso modulo
\(\displaystyle P=N=500*10=5000 N \)
-E l'accelerazione orizzontale è di modulo \(\displaystyle|a|=A/m \)
[L'unica forza orizzontale è l'attrito \(\displaystyle A_s\)$<=$ $A_(max)$\(\displaystyle =\mu*N=0.5*5000=2500 N \)]
Lo spazio minimo di frenata si ha con il massimo di attrito(senza superarlo,altrimenti si passa all'attrito dinamico,che è minore di $A_(max)$).
Lo spazio minimo si ha dunque con un moto orizzontale uniformemente accellerato con accelerazione
\(\displaystyle a=\frac{-A_{max}}{m}=\frac{-2500}{500}=-5\frac{m}{s^2} \)
ed equazioni del moto:
\(\displaystyle v=v_0+at \) (da cui si ricava il tempo di frenata \(\displaystyle t=\frac{(v-v_0)}{a}=\frac{-20}{-5}=4 s \)
\(\displaystyle x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \) (da cui lo spazio di frenata: \(\displaystyle x-x_0=v_0t+\frac{1}{2}at^2=20*4+\frac{1}{2}(-5)(4^2)=80-40=40 m \))
Aiuto
-Che l'accelerazione verticale è nulla in quanto il reso e reazione vincolare del terreno hanno stesso modulo
\(\displaystyle P=N=500*10=5000 N \)
-E l'accelerazione orizzontale è di modulo \(\displaystyle|a|=A/m \)
[L'unica forza orizzontale è l'attrito \(\displaystyle A_s\)$<=$ $A_(max)$\(\displaystyle =\mu*N=0.5*5000=2500 N \)]
Lo spazio minimo di frenata si ha con il massimo di attrito(senza superarlo,altrimenti si passa all'attrito dinamico,che è minore di $A_(max)$).
Lo spazio minimo si ha dunque con un moto orizzontale uniformemente accellerato con accelerazione
\(\displaystyle a=\frac{-A_{max}}{m}=\frac{-2500}{500}=-5\frac{m}{s^2} \)
ed equazioni del moto:
\(\displaystyle v=v_0+at \) (da cui si ricava il tempo di frenata \(\displaystyle t=\frac{(v-v_0)}{a}=\frac{-20}{-5}=4 s \)
\(\displaystyle x=x_0+v_0t+\frac{1}{2}at^2 \) (da cui lo spazio di frenata: \(\displaystyle x-x_0=v_0t+\frac{1}{2}at^2=20*4+\frac{1}{2}(-5)(4^2)=80-40=40 m \))
Aiuto
A esser sinceri la soluzione del prof è completamente sbagliata e troppo semplicistica.
CriTi ma tu che corso di laurea frequenti? Perché diciamo che se fisica non è una parte fondamentale del tuo corso di laurea allora quella soluzione può andare bene, ma se per esempio fai un cdl in fisica o ingegneria, quella soluzione è completamente fuori strada...
CriTi ma tu che corso di laurea frequenti? Perché diciamo che se fisica non è una parte fondamentale del tuo corso di laurea allora quella soluzione può andare bene, ma se per esempio fai un cdl in fisica o ingegneria, quella soluzione è completamente fuori strada...
Io frequento ingegneria informatica e dell'automazione..
In teoria il procedimento è giusto da un certo punto di vista, ma è tutto il contesto della macchina che frena etc che secondo me è del tutto inappropriato .Odio quando si cercano di rendere "reali" gli esercizi di fisica...perché il ragionamento che ha condotto il prof non è per nulla reale, ma è il ragionamento che si conduce su problemi non reali, in pratica quindi il prof da un esempio reale e pretende soluzioni non reali, non fa altro che creare un sacco di dubbi...
Ecco cosa aveva in mente il prof nella sua testa: dato un disco di massa M che rotola senza strisciare a velocità $v_0$, su un terreno con coefficiente d'attrito statico $mu$, si vuole frenare il disco applicando un opportuno momento nel centro del disco in modo che il disco freni rotolando senza strisciare nel minor tempo possibile, qual è lo spazio percorso dal disco durante la frenata? Questo esercizio si risolve nel modo in cui l'ha risolto il prof, infatti la velocità di traslazione del disco è frenata solo dalla forza d'attrito, mentre per la condizione di puro rotolamento il momento applicato dovrà avere un opportuno valore (che non ci interessa dato che lo riteniamo sufficiente per avere puro rotolamento). Ma secondo me metterci di mezzo l'auto e le ruote non aiuta in nessun modo alla comprensione di questi argomenti, o comunque se avesse specificato che su tutte e 4 le ruote della macchina si applicava un opportuno momento frenante allora sarebbe stato più chiaro e avrebbe lasciato meno dubbi
Ecco cosa aveva in mente il prof nella sua testa: dato un disco di massa M che rotola senza strisciare a velocità $v_0$, su un terreno con coefficiente d'attrito statico $mu$, si vuole frenare il disco applicando un opportuno momento nel centro del disco in modo che il disco freni rotolando senza strisciare nel minor tempo possibile, qual è lo spazio percorso dal disco durante la frenata? Questo esercizio si risolve nel modo in cui l'ha risolto il prof, infatti la velocità di traslazione del disco è frenata solo dalla forza d'attrito, mentre per la condizione di puro rotolamento il momento applicato dovrà avere un opportuno valore (che non ci interessa dato che lo riteniamo sufficiente per avere puro rotolamento). Ma secondo me metterci di mezzo l'auto e le ruote non aiuta in nessun modo alla comprensione di questi argomenti, o comunque se avesse specificato che su tutte e 4 le ruote della macchina si applicava un opportuno momento frenante allora sarebbe stato più chiaro e avrebbe lasciato meno dubbi
Molto brevemente, quando si suppone di frenare un disco in moto di puro rotolamento, a velocita iniziale costante, con una coppia frenante $C$ applicata all'asse , si è nelle condizioni della figura seguente :
la forza di attrito è diretta in verso opposto al moto di traslazione, la coppia frenante è antioraria se il senso di rotazione è orario. Le due equazioni cardinali della dinamica sono :
$f = Ma $
$ C-f*r = I\alpha$
nella figura sono state scritte prima in forma vettoriale , per evitare equivoci nei segni . Insieme con la condizione di puro rotolamento , permettono di risolvere il problema completamente.
Per quanto riguarda l'accelerazione, dovendo essere :
$f= Ma <=\mu_sMg$
si ricava facilmente : $a <=\mu_sg = 0.5*9.81 m/s^2 = 4.905m/s^2$
E quindi si ricava lo spostamento dalla condizione : $s >= v_0^2/(2a) = (400)/(9.81) m = 40.77m $
Concordo: in un corso di fisica ben fatto, il problema va inquadrato trattando il rotolamento puro del disco sul piano nella sua interezza, e lasciando da parte i fronzoli inutili .
la forza di attrito è diretta in verso opposto al moto di traslazione, la coppia frenante è antioraria se il senso di rotazione è orario. Le due equazioni cardinali della dinamica sono :
$f = Ma $
$ C-f*r = I\alpha$
nella figura sono state scritte prima in forma vettoriale , per evitare equivoci nei segni . Insieme con la condizione di puro rotolamento , permettono di risolvere il problema completamente.
Per quanto riguarda l'accelerazione, dovendo essere :
$f= Ma <=\mu_sMg$
si ricava facilmente : $a <=\mu_sg = 0.5*9.81 m/s^2 = 4.905m/s^2$
E quindi si ricava lo spostamento dalla condizione : $s >= v_0^2/(2a) = (400)/(9.81) m = 40.77m $
Concordo: in un corso di fisica ben fatto, il problema va inquadrato trattando il rotolamento puro del disco sul piano nella sua interezza, e lasciando da parte i fronzoli inutili .
Mi è nato un dubbio grosso.. Cioè non riesco a capire quale sia la differenza fra la coppia frenante e il primo caso perchè alla fine mi sembra che tu tenga conto per nulla della coppia frenante per il calcolo e poi non capisco come decidere quale delle due equazioni cardinali usare.. Perchè nel primo caso paragoni la seconda equazione alla condizione per la quale la ruota non slitti mentre invece nella risoluzione con la coppia frenante tu prendi la prima equazione..
Purtroppo non riesco a capire come applicare ad un sistema le equazioni cardinali della dinamica perchè il mio professore si è limitato solamente a elencarle senza dare alcuna spiegazione...
Purtroppo non riesco a capire come applicare ad un sistema le equazioni cardinali della dinamica perchè il mio professore si è limitato solamente a elencarle senza dare alcuna spiegazione...
Purtroppo non riesco a capire come applicare ad un sistema le equazioni cardinali della dinamica perchè il mio professore si è limitato solamente a elencarle senza dare alcuna spiegazione...
Capisco le tue difficoltà , che avrei anch'io se un professore scrivesse le equazioni cardinali della dinamica sulla lavagna senza dare un minimo di spiegazione. La colpa non è tua, è del..."sistema" , diciamo cosí . Forse il tuo corso non è tanto approfondito , ma non si può poi pretendere che gli studenti risolvano esercizi senza sapere che cosa applicare e da dove cominciare.
Allora , prima di tutto ti consiglio caldamente di leggere, anzi studiare , la dinamica del corpo rigido su un buon testo di meccanica razionale ; ti ho messo il link ad una dispensa ben fatta, leggila e studiala fin dall'inizio, se sei interessato a capire. Ma di risorse come queste, e anche migliori, ce ne sono a bizzeffe, anche in rete.
Poi, provo a darti qualche informazione, necessariamente stringata, sulle due equazioni cardinali della dinamica, senza pretesa di completezza matematica, ma cercando di essere chiaro. E senza dimostrazioni .
Per semplicità , mi riferisco innanzitutto al moto di un corpo rigido (anche se le eq. cardinali si possono applicare pure a sistemi di particelle), in un sistema di riferimento inerziale.
Se su un corpo rigido agisce un sistema di forze , la prima equazione cardinale dice che il centro di massa del corpo si muove come se in esso fosse concentrata tutta la massa del corpo , e fosse applicata la risultante di tutte le forze agenti. Quindi, il CM si muove come un punto materiale, di massa $M$ uguale alla massa del corpo , su cui agisce la risultante $vecR$ delle forze . Allora la seconda legge della dinamica si scrive semplicemente :
$vecR = Mveca_(CM)$
Non ha importanza , quindi, dove sono applicate le singole forze sul corpo, ai fini di questa prima equazione cardinale.
Per il moto traslatorio questo è sufficiente.
Invece il punto di applicazione delle forze sul corpo ha importanza , quando si deve trattare la parte rotatoria del moto, per cui è fondamentale la nozione di momento angolare, o momento della quantita di moto (preciso che si puo parlare di momento angolare rispetto a un polo anche per un punto che si muove di moto rettilineo uniforme) .
Quando c'è un moto rotatorio, le cose sono un po' più delicate . Ma le nozioni fondamentali sono queste.
Dato un polo , che in genere si assume fisso, o coincidente col CM, oppure in moto con velocità parallela a quella del CM , si può calcolare rispetto ad esso sia il momento della quantità di moto $vecL$ che il momento $vecM_e$ delle forze esterne: risulta che il momento delle forze esterne causa la variazione, nel tempo, del momento angolare, secondo la relazione :
$vecM_e = (d\vecL)/(dt) $
qui però ci vuole tutta una serie di definizioni e precisazioni, di cui non so se sei a conoscenza. Non posso mettermi a scrivere tutto ciò che occorre sapere , lo trovi nei libri , e anche nella dispensa che ti ho detto. Se il polo non è preso come prima detto ma è un punto qualsiasi , al secondo membro compare un altro termine, uguale al momento, rispetto al polo, della quantità di moto totale del corpo applicata nel CM del corpo stesso.
Ci sono fortunatamente situazioni in cui le cose si semplificano molto. Innanzitutto , quando il moto è "piano" , cioè in ogni istante i vettori velocità di ciascun elemento di massa $dm$ del corpo sono tutti paralleli a un dato piano ( nelle figure che ho messo, è il piano $xy$ del foglio ); se poi le masse sono distribuite su un piano, come nel caso del disco, è ancor piu semplice. In questo caso, ogni retta perpendicolare al piano è un asse principale di inerzia relativo al punto in cui la retta interseca il piano, perciò il vettore velocità angolare e il vettore momento angolare sono paralleli , e si può scrivere :
$vecL = I vec\omega$
dove $I$ è il momento di inerzia del corpo rigido rispetto all'asse principale detto. Se poi il corpo ha simmetrie particolari, come nel caso del disco, conviene riferirsi agli assi rispetto ai quali sussistono tali simmetrie. Nel caso del disco, l'asse $z$ passante per il centro del disco è asse centrale di inerzia , e quindi si ha $ \vecL = I \vec\omega$ , che si può anche scrivere in forma scalare proiettando i vettori sull'asse $z$ :
$L = I*\omega$
Se il momento di inerzia è costante , la seconda equazione cardinale della dinamica si scrive quindi semplicemente :
$M_e = (dL)/(dt) = I(d\omega)/(dt)= I\alpha$ , essendo $\alpha = dot\omega $ l'accelerazione angolare.
Ma ci sarebbero tante altre cose da dire . Ti rimando alla dispensa , o ai libri .
PER quanto concerne le tue domande circa i due casi che ti ho fatto vedere ( forza frenante oppure coppia frenante) , nel primo caso le forze agenti sono due $F$ ed $f$ , e l'accelerazione dipende da entrambe , ma la condizione di rotolamento puro si traduce nella condizione sulla forza di attrito : $f<=\mu_sN$ . La seconda equazione cardinale fornisce la forza di attrito come : $f = (I\alpha)/r $ , perciò la condizione sulla forza di attrito si traduce nella condizione sull'accelerazione.
Nel secondo caso , la forza di attrito è data direttamente dalla prima equazione cardinale, perciò la condizione $f<=\mu_sN$ porta direttamente alla condizione sull ' accelerazione .
Nulla di strano, si usano le relazioni meccaniche che servono , al momento giusto. Nel caso della coppia frenante, uso la prima equazione cardinale per stabilire il valore max della forza di attrito, e uso la seconda per calcolare il valore max della coppia di attrito , a cui corrisponde questa forza di attrito. Questo calcolo non l'ho fatto, però puoi farlo da solo con le equazioni scritte.
Nel caso della forza frenante, ( prendiamo per semplicità solo un disco di massa M , lasciamo stare l'automobile e la massa aggiunta al disco, che complica solo le idee) , si ottiene il valore max della forza frenante, applicata all'asse, dalla analoga condizione sulla forza di attrito , e si ricava che deve essere :
$F <=\mu_sN(1+(Mr^2)/I)$
ma di questo ti avevo accennato.
Grazie mille!!Già dalla tua spiegazione ho capito molto meglio l'argomento e sicuramente seguirò il tuo consiglio 
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