Esercizio atomo idrogeno fisica quantistica
Ciao a tutti! sto per affrontare un'esame scritto di fisica quantistica ma sono un po' in alto mare e il professore non ci fornisce le correzioni degli esami precedenti.
Ho la possibilità di postare un'immagine con il testo degli esercizi o li devo ricopiare in testo?
Molte grazie.
Ho la possibilità di postare un'immagine con il testo degli esercizi o li devo ricopiare in testo?
Molte grazie.
Risposte
Sarebbe meglio se tu ricopiassi il testo.
"grimx":
Sarebbe meglio se tu ricopiassi il testo.
lo posso ricopiare tutto quanto in un unico blocco? grazie. sono 3 esercizi
Prova a ricopiarne solamente uno per ora. Ne discutiamo, lo correggiamo e poi passiamo gli altri. Se no diventa tutto solo un gran casino. 
perfect!!
1.Un atomo di idrogeno si trova in uno stato descritto dalla seguente funzione d'onda: $\psi_(2,1,-1)(r,\theta,\rho)=Nre^(-r/(2a_0))Y_1^(-1)(\theta,\varphi)$
a)determinare N in modo che la funzione d'onda sia correttamente normalizzata
b)determinare l'espressione della densità di probabilità radiale $\rho(r)$, cioè quella funzione di r tale per cui il prodotto $\rho(r)dr$ rappresenta la probabilità di trovare l'elettrone in una corona sferica di raggi $r$ e $r+dr$.
c)determinare gli esiti di una misura di energia $\vec(L)^2$ e $L_z$ su $\psi$
d) determinare lo stato del sistema all'istante t. si tratta di uno stato stazionario?
Qui il professore come suggerimento ci da la formula della $\Gamma(n)$ e dell'armonica sferica $Y_1^(-1)(\theta,\varphi)$.
ho provato a risolverli. alla prima domanda risponderei che \( N=1/(4\sqrt{6}a_0^2) \), alla seconda non saprei come muovermi, alla terza direi $\vec(L)^2=2$\(\hbar^2 \) e \( L_z=-\hbar \), idem per la quarta non la so.
1.Un atomo di idrogeno si trova in uno stato descritto dalla seguente funzione d'onda: $\psi_(2,1,-1)(r,\theta,\rho)=Nre^(-r/(2a_0))Y_1^(-1)(\theta,\varphi)$
a)determinare N in modo che la funzione d'onda sia correttamente normalizzata
b)determinare l'espressione della densità di probabilità radiale $\rho(r)$, cioè quella funzione di r tale per cui il prodotto $\rho(r)dr$ rappresenta la probabilità di trovare l'elettrone in una corona sferica di raggi $r$ e $r+dr$.
c)determinare gli esiti di una misura di energia $\vec(L)^2$ e $L_z$ su $\psi$
d) determinare lo stato del sistema all'istante t. si tratta di uno stato stazionario?
Qui il professore come suggerimento ci da la formula della $\Gamma(n)$ e dell'armonica sferica $Y_1^(-1)(\theta,\varphi)$.
ho provato a risolverli. alla prima domanda risponderei che \( N=1/(4\sqrt{6}a_0^2) \), alla seconda non saprei come muovermi, alla terza direi $\vec(L)^2=2$\(\hbar^2 \) e \( L_z=-\hbar \), idem per la quarta non la so.
Per la prima, credo sia giusto, mentre le altre domande non saprei perché non sono molto serrato sull'atomo di Idrogeno...
L'ultima domanda credo basti trovare l'autovalore dell'Hamiltoniano (Energia), e applicare l'operatore di evoluzione temporale.
Ciao
L'ultima domanda credo basti trovare l'autovalore dell'Hamiltoniano (Energia), e applicare l'operatore di evoluzione temporale.
Ciao
a. Assumendo che le armoniche sferiche siano già normalizzate (in caso contrario fammi sapere), mi risulta $N= 1/(2sqrt(6*a_0^5))$. Se posti lo svolgimento possiamo provare a vedere se hai commesso qualche errore.
b. Ti ricordo che $|\psi(\vec{r})|^2$ rappresenta la densità di probabilità di un sistema. In altre parole quella quantità ci dice qual è la probabilità che l'elettrone si trovi nel punto $\vec{r}$. Il problema se ne infischia della distribuzione angolare e ti chiede di calcolare semplicemente qual è la probabilità che l'elettrone si trovi a distanza $r$ dal nucleo (quindi in un punto qualsiasi sulla superficie di una sfera di raggio $r$). Per fare ciò integriamo $|\psi(\vec{r})|^2$ sull'angolo solido $d\Omega$ (quel che facciamo è praticamente sommare il contributo alla densità di probabilità, fissato $r$, al variare dei soli $\theta$ e $\phi$. Quindi:
$\rho(r) = \int_{\Omega}|\psi(\vec{r})|^2 d\Omega$
I conti possono essere semplificati (o meglio, non vanno nemmeno svolti) riconoscendo delle quantità che hai dovuto calcolare per rispondere al punto a.
c. D'accordo.
d. grimx ti ha risposto. Alla domanda "lo stato è stazionario?" si risponde ricordandone la definizione.
b. Ti ricordo che $|\psi(\vec{r})|^2$ rappresenta la densità di probabilità di un sistema. In altre parole quella quantità ci dice qual è la probabilità che l'elettrone si trovi nel punto $\vec{r}$. Il problema se ne infischia della distribuzione angolare e ti chiede di calcolare semplicemente qual è la probabilità che l'elettrone si trovi a distanza $r$ dal nucleo (quindi in un punto qualsiasi sulla superficie di una sfera di raggio $r$). Per fare ciò integriamo $|\psi(\vec{r})|^2$ sull'angolo solido $d\Omega$ (quel che facciamo è praticamente sommare il contributo alla densità di probabilità, fissato $r$, al variare dei soli $\theta$ e $\phi$. Quindi:
$\rho(r) = \int_{\Omega}|\psi(\vec{r})|^2 d\Omega$
I conti possono essere semplificati (o meglio, non vanno nemmeno svolti) riconoscendo delle quantità che hai dovuto calcolare per rispondere al punto a.
c. D'accordo.
d. grimx ti ha risposto. Alla domanda "lo stato è stazionario?" si risponde ricordandone la definizione.
b. Ti ricordo che $∣∣ψ(r⃗ )∣∣^2$ rappresenta la densità di probabilità di un sistema. In altre parole quella quantità ci dice qual è la probabilità che l'elettrone si trovi nel punto r⃗ . Il problema se ne infischia della distribuzione angolare e ti chiede di calcolare semplicemente qual è la probabilità che l'elettrone si trovi a distanza r dal nucleo (quindi in un punto qualsiasi sulla superficie di una sfera di raggio r). Per fare ciò integriamo $∣∣ψ(r⃗ )∣∣^2$ sull'angolo solido $dΩ$ (quel che facciamo è praticamente sommare il contributo alla densità di probabilità, fissato r$$, al variare dei soli $θ$ e $ϕ$. Quindi:
$ρ(r)=∫Ω∣∣ψ(r⃗ )∣∣2dΩ$
I conti possono essere semplificati (o meglio, non vanno nemmeno svolti) riconoscendo delle quantità che hai dovuto calcolare per rispondere al punto a.
Immaginavo fosse così, ma non avendo studiato l'atomo di Idrogeno ancora (o meglio, studiato bene) non volevo sparare favolate
b. Ti ricordo che $∣∣ψ(r⃗ )∣∣^2$ rappresenta la densità di probabilità di un sistema. In altre parole quella quantità ci dice qual è la probabilità che l'elettrone si trovi nel punto r⃗ . Il problema se ne infischia della distribuzione angolare e ti chiede di calcolare semplicemente qual è la probabilità che l'elettrone si trovi a distanza r dal nucleo (quindi in un punto qualsiasi sulla superficie di una sfera di raggio r). Per fare ciò integriamo $∣∣ψ(r⃗ )∣∣^2$ sull'angolo solido $dΩ$ (quel che facciamo è praticamente sommare il contributo alla densità di probabilità, fissato r$$, al variare dei soli $θ$ e $ϕ$. Quindi:
$ρ(r)=∫Ω∣∣ψ(r⃗ )∣∣2dΩ$
I conti possono essere semplificati (o meglio, non vanno nemmeno svolti) riconoscendo delle quantità che hai dovuto calcolare per rispondere al punto a.
Immaginavo fosse così, ma non avendo studiato l'atomo di Idrogeno ancora (o meglio, studiato bene) non volevo sparare cavolate
"DelCrossB":
a. Assumendo che le armoniche sferiche siano già normalizzate (in caso contrario fammi sapere), mi risulta $N= 1/(2sqrt(6*a_0^5))$. Se posti lo svolgimento possiamo provare a vedere se hai commesso qualche errore.
Ecco come l'ho svolto io: impongo che $ \int_{\d^3\mathbb{R}}|\psi(\vec{r})|^2 d^3\mathbb{R}=1$ procedo e $|N|^2\int_0^(+\infty) r^3 e^(-r/(2a_0)) d^r \int_(4\pi) Y_1^-1(\theta,\varphi) Y_1^(*-1)(\theta,\varphi) d\Omega=1$ ora so che l'integrale delle armoniche sferiche mi da due delta di Dirac e dato che gli indici sono uguali sono tutti 1 e quindi l'integrale fa 1. Da cui $|N|^2 \int_0^(+\infty) r^3 e^(-r/(2a_0))dr$, ora faccio un cambio di variabile per l'esponente dell'esponenziale che chiamo $y$ quindi avrò $|N|^2 \int_0^(+\infty) y^3 (2a_0)^3 e^(-y)(2a_0)dy=1$, dentro l'integrale ora ho una $\Gamma(4)=3!$ quindi $|N|^2 (2a_0)^4 6=1$, cioè $|N|^2 96(a_0)^4 =1$ da cui si trova che $N=1/(4\sqrt{6}a_0^2)$. dove mi sbaglio?
"DelCrossB":
b. Ti ricordo che $|\psi(\vec{r})|^2$ rappresenta la densità di probabilità di un sistema. In altre parole quella quantità ci dice qual è la probabilità che l'elettrone si trovi nel punto $\vec{r}$. Il problema se ne infischia della distribuzione angolare e ti chiede di calcolare semplicemente qual è la probabilità che l'elettrone si trovi a distanza $r$ dal nucleo (quindi in un punto qualsiasi sulla superficie di una sfera di raggio $r$). Per fare ciò integriamo $|\psi(\vec{r})|^2$ sull'angolo solido $d\Omega$ (quel che facciamo è praticamente sommare il contributo alla densità di probabilità, fissato $r$, al variare dei soli $\theta$ e $\phi$. Quindi:
$\rho(r) = \int_{\Omega}|\psi(\vec{r})|^2 d\Omega$
I conti possono essere semplificati (o meglio, non vanno nemmeno svolti) riconoscendo delle quantità che hai dovuto calcolare per rispondere al punto a.
Quindi facendo come suggerisci tu e supponendo che l'N che ho calcolato sia giusto ottengo che $\rho(r) =(r^2 e^(-r/(a_0)))/(96 a_0^4)$ ??
"DelCrossB":
c. D'accordo.
d. grimx ti ha risposto. Alla domanda "lo stato è stazionario?" si risponde ricordandone la definizione.
lo stato stazionario è lo stato che non evolve nel tempo, cioè lo stato che se gli applico l'operatore evoluzione temporale è equivalente allo stato iniziale. Ma in questo caso mi chiede di determinare lo stato all'istante t e successivamente vedere se è stazionario; come faccio a calcolarlo all'istante t?
lo stato stazionario è lo stato che non evolve nel tempo
No, non è giusto. Uno stato stazionario dipende da tempo, infatti :
$\Psi(x,t)=\psi(x)*e^(-iEt)$
E' la densità di probabilità che non dipende dal tempo! Infatti:
$|\Psi(x,t)|^2 = |\psi(x)|^2$
Ciao
a. L'errore è nella parte radiale dell'integrale: non ne hai calcolato il modulo quadro. La condizione corretta di normalizzazione è:
$$1 = |N|^2 \int_0^{\infty}r^4e^{-\frac{r}{a_0}}dr$$
c. Giusto, a meno del fattore di normalizzazione che va ricalcolato.
d. Quando hai un sistema con hamiltoniana indipendente del tempo (com'è quella di un atomo di idrogeno), possiamo risolvere l'equazione di Schroedinger stazionaria (ossia l'equazione agli autovalori per l'hamiltoniana: $H\psi = E\psi$) e far successivamente evolvere tale stato nel tempo applicandovi l'operatore di evoluzione temporale $U(t)=e^{-i (2\pi)/h Ht}$. Quando l'operatore $U$ agisce su un autostato $\psi_n$ (di autovalore $E_n$) di H, lo fa mediante un fattore di fase $e^{-i (2\pi)/h E_n t}$, ossia:
$$U(t)\psi_n = e^{-i \frac{2\pi}{h} E_n t}\psi_n$$
Possiamo rispondere alle due domande del punto d. ora?
$$1 = |N|^2 \int_0^{\infty}r^4e^{-\frac{r}{a_0}}dr$$
c. Giusto, a meno del fattore di normalizzazione che va ricalcolato.
d. Quando hai un sistema con hamiltoniana indipendente del tempo (com'è quella di un atomo di idrogeno), possiamo risolvere l'equazione di Schroedinger stazionaria (ossia l'equazione agli autovalori per l'hamiltoniana: $H\psi = E\psi$) e far successivamente evolvere tale stato nel tempo applicandovi l'operatore di evoluzione temporale $U(t)=e^{-i (2\pi)/h Ht}$. Quando l'operatore $U$ agisce su un autostato $\psi_n$ (di autovalore $E_n$) di H, lo fa mediante un fattore di fase $e^{-i (2\pi)/h E_n t}$, ossia:
$$U(t)\psi_n = e^{-i \frac{2\pi}{h} E_n t}\psi_n$$
Possiamo rispondere alle due domande del punto d. ora?
Ciao @DelcrossB, scusa perché dici che l'operatore di evoluzione temporale è:
$U(t) = e^((i2\piE_nt)/h)$
? Non dovrebbe essere :
$U(t) = e^((-iE_nt)/h)$
EDIT: Scusa, ho capito solo adesso che il $2\pi$ lo avevi messo per correggere il fatto che non si può scrivere h-tagliato...
Però comunque dovrebbe essere $-$ , o sbaglio?
$U(t) = e^((i2\piE_nt)/h)$
? Non dovrebbe essere :
$U(t) = e^((-iE_nt)/h)$
EDIT: Scusa, ho capito solo adesso che il $2\pi$ lo avevi messo per correggere il fatto che non si può scrivere h-tagliato...
Però comunque dovrebbe essere $-$ , o sbaglio?
Il $2\pi$ è lì perché non sono ancora stato capace di trovare la giusta combinazione per h-tagliata in MathJax
Per il $-$, hai ragione: in rappresentazione di Sch. ci vuole. Modifico il messaggio precedente
Per il $-$, hai ragione: in rappresentazione di Sch. ci vuole. Modifico il messaggio precedente
Il 2π è lì perché non sono ancora stato capace di trovare la giusta combinazione per h-tagliata in MathJax
Neanche io... dal primo giorno che sono qui!
Infatti se si prova a schiacciare "brutalmente" il simbolo di h.tagliato nel reparto "aggiungi formula", ti dice che non è presente quel simbolo... e non funziona nemmeno se usi il codice \hbar... ho perso le speranze da tempo ormai
"DelCrossB":
d. Quando hai un sistema con hamiltoniana indipendente del tempo (com'è quella di un atomo di idrogeno), possiamo risolvere l'equazione di Schroedinger stazionaria (ossia l'equazione agli autovalori per l'hamiltoniana: $H\psi = E\psi$) e far successivamente evolvere tale stato nel tempo applicandovi l'operatore di evoluzione temporale $U(t)=e^{-i (2\pi)/h Ht}$. Quando l'operatore $U$ agisce su un autostato $\psi_n$ (di autovalore $E_n$) di H, lo fa mediante un fattore di fase $e^{-i (2\pi)/h E_n t}$, ossia:
$$U(t)\psi_n = e^{-i \frac{2\pi}{h} E_n t}\psi_n$$
Possiamo rispondere alle due domande del punto d. ora?
grazie per la correzione, è vero, ho dimenticato un pezzo!
per l'ultima domanda quindi quando applico H a $\psi$ mi restituisce la stessa moltiplicata per l'autovalore $E_n$ giusto?
quindi diventa $Nre^(-r/(2a_0))Y_1^(-1)(\theta,\varphi)E_n$ dove \( E_n=-(\mu Z^2e^4)/(2\hbar^2)*(1/n^2) \)
poi applicandogli U lo stato diventa \( U(t)\psi_n = e^{-(i E_n t)/\hbar}\psi_n \) con la $\psi_n$ quella di prima con $E_n$ ??
ah per scrivere \( \hbar \) uso le parentesi con backslash e parentesi tonde
Si, per ottenere la funzione d'onda ad un tempo t devi fare :
$\Psi(x,t) = U(t) \psi(x) $
con $U(t) = e^(-iE_nt)$.
Esatto, però attento, devi trovare l'autovalore dell'hamiltoniana ($E_1, E_2, E_3$...) Non basta dire $E_n$
$\Psi(x,t) = U(t) \psi(x) $
con $U(t) = e^(-iE_nt)$.
poi applicandogli U lo stato diventa $U(t)ψ_n=e^(−(iEnt)/ℏ)ψ_n$
Esatto, però attento, devi trovare l'autovalore dell'hamiltoniana ($E_1, E_2, E_3$...) Non basta dire $E_n$
"grimx":
Si, per ottenere la funzione d'onda ad un tempo t devi fare :
$\Psi(x,t) = U(t) \psi(x) $
con $U(t) = e^(-iE_nt)$.
poi applicandogli U lo stato diventa $U(t)ψ_n=e^(−(iEnt)/ℏ)ψ_n$
Esatto, però attento, devi trovare l'autovalore dell'hamiltoniana ($E_1, E_2, E_3$...) Non basta dire $E_n$
e dai dati che ho io come faccio?
Guarda la tua funzione d'onda..
mi verrebbe da dire $E_2$ perchè ho la $\psi_(2,1,-1)$ e $1,-1$ si riferiscono all'armonica sferica.
ma il 2 a cosa si riferisce?
ma il 2 a cosa si riferisce?
Al numero quantico $n$.. quello che ti interessa, quindi... 
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