[Esercizio] Analisi qualitativa del moto
Ciao, ho questo esercizio:
Faccio un rapido grafico qualitativo della funzione \(V\), ed ho che \(\lim_{x \to \pm \infty} V(x) = +\infty\), che punti critici sono \(0, \frac{3 - \sqrt 2}{2}\) e \(\frac{3 + \sqrt 3}{2}\), dei quali il primo e l'ultimo sono di minimo locale, mentre il secondo è di massimo locale. Prima di andare avanti, \(\overline V := V\left(\frac{3-\sqrt2}{2}\right)\). L'unica possibilità che il punto possa passare per la posizione \(x = 0\) è che l'energia meccanica sia \(> \overline V\). L'energia meccanica è \(v_0^2\) (è tutto adimensionale qui), e quindi \(v_0^2 > \overline V\). Tuttavia in tal caso il moto avviene tra due punti di inversione e quindi il moto è periodico. Quindi non è possibile la (2).
È giusto il mio ragionamento?
Un punto materiale \(P\), di massa \(m = 2\), si muove soggetto unicamente all’azione della forza conservativa di energia potenziale \(V = V (x) = x^2 (1 − x)(3 − x)\). All’istante iniziale \(t = 0\), il punto occupa la posizione \(x(0) = 1\) con velocità \(\dot x(0) = v_0\). Si dica quali condizioni si devono imporre alla velocità iniziale affinché il punto
(1) raggiunga la posizione finale \(x = 0\);
(2) compia moti limitati non periodici.
Faccio un rapido grafico qualitativo della funzione \(V\), ed ho che \(\lim_{x \to \pm \infty} V(x) = +\infty\), che punti critici sono \(0, \frac{3 - \sqrt 2}{2}\) e \(\frac{3 + \sqrt 3}{2}\), dei quali il primo e l'ultimo sono di minimo locale, mentre il secondo è di massimo locale. Prima di andare avanti, \(\overline V := V\left(\frac{3-\sqrt2}{2}\right)\). L'unica possibilità che il punto possa passare per la posizione \(x = 0\) è che l'energia meccanica sia \(> \overline V\). L'energia meccanica è \(v_0^2\) (è tutto adimensionale qui), e quindi \(v_0^2 > \overline V\). Tuttavia in tal caso il moto avviene tra due punti di inversione e quindi il moto è periodico. Quindi non è possibile la (2).
È giusto il mio ragionamento?
Risposte
Prova a dare un'occhiata alla sezione 1.1 della risorsa sottostante:
https://www.mat.uniroma2.it/~locatell/F ... nfatto.pdf
https://www.mat.uniroma2.it/~locatell/F ... nfatto.pdf
Disegna il ritratto di fase. Cosa succede in corrispondenza di
Il moto è limitato? È periodico? In caso negativo, cosa succede per [tex]t\to\pm\infty[/tex] tenuto conto della condizione iniziale [tex]x(0)=1[/tex]? Vedi Fasano, Marmi pag. 115, commento a seguire la definizione 4.5 (mi pare citassi questo libro in un'altra discussione).
[tex]E=\overline{V}?[/tex]
Il moto è limitato? È periodico? In caso negativo, cosa succede per [tex]t\to\pm\infty[/tex] tenuto conto della condizione iniziale [tex]x(0)=1[/tex]? Vedi Fasano, Marmi pag. 115, commento a seguire la definizione 4.5 (mi pare citassi questo libro in un'altra discussione).
Ok, qua mi sa di aver capito male il testo. Io pensavo una cosa del tipo "trova *bla bla* per cui valgono (1) e (2)" e invece è "trova *bla bla* per cui (1); poi fai lo stesso in modo che (2)". Una deficienza mia. 
"413":Nota a margine: cito e tento di usare questo libro; ma mi rendo conto tante volte che è al di là delle mie conoscenze.
Vedi Fasano, Marmi pag. 115, commento a seguire la definizione 4.5 (mi pare citassi questo libro in un'altra discussione).
Vediamo di correggere il tiro.
(1) Vale quanto ho detto prima, cioè \(v_0^2 > \overline V\) perché il punto materiale possa transitare per \(0\). E penso che questo basta.
(2) Esiste l'evenienza di moti limitati non periodici. Nel caso in cui \(E = v_0^2 = \overline V\), avrei che il punto materiale tende alla posizione \(\frac{3-\sqrt3}{2}\) senza arrivarci in un tempo finito. Nel caso restante, \(v_0^2 < \overline V\), il punto si muove periodicamente tra due punti d'inversione.
Può andare?
@413, ha risposto fornendo un link utile, ma penso abbia cancellato il messaggio. Se puoi ripostarlo, visto che la mia cronologia è volatile.
(1) Vale quanto ho detto prima, cioè \(v_0^2 > \overline V\) perché il punto materiale possa transitare per \(0\). E penso che questo basta.
(2) Esiste l'evenienza di moti limitati non periodici. Nel caso in cui \(E = v_0^2 = \overline V\), avrei che il punto materiale tende alla posizione \(\frac{3-\sqrt3}{2}\) senza arrivarci in un tempo finito. Nel caso restante, \(v_0^2 < \overline V\), il punto si muove periodicamente tra due punti d'inversione.
Può andare?
@413, ha risposto fornendo un link utile, ma penso abbia cancellato il messaggio.
Se puoi ripostarlo, visto che la mia cronologia è volatile.
Le note sono queste, le trovi anche nel topic dedicato, alla pagina del prof. Noja.
Vogliamo studiare qualitativamente le soluzioni del sistema autonomo
dove
Nel caso specifico otteniamo
Per prima cosa si individuano i punti stazionari della funzione [tex]V[/tex], che sono
due dei quali,[tex]\bar{x}=0,\frac{3+\sqrt{3}}{2}[/tex], sono punti di minimo locali, mentre [tex]\bar{x}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}[/tex] è un punto di massimo locale, e corrispondono rispettivamente a due punti di equilibrio stabile ed un punto di equilibrio instabile per il sistema. Quindi tracciamo il grafico di [tex]V[/tex]
e da questo deduciamo qualitativamente il ritratto di fase del sistema, scegliendo alcuni valori particolari dell'energia totale, che è un integrale primo del moto; in particolare chiamiamo
Il ritratto di fase che dovresti avere ottenuto è il seguente
dove in rosso ho evidenziato le curve integrali che corrispondono a [tex]E=\overline{V}[/tex]: [tex]\gamma_1[/tex] quella a sinistra di [tex]x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}[/tex], [tex]\gamma_2[/tex] quella a destra e [tex]\Big(\frac{3-\sqrt3}{2},0\Big)[/tex]. I punti in evidenza sull'asse delle ascisse sono i punti di equilibrio del sistema.
Adesso è immediato classificare tutti i moti del sistema e scegliere quelli che ti chiede l'esercizio. A parte i tre moti costanti corrispondenti ai punti di equilibrio, tutti i moti sono periodici eccetto quelli corrispondenti a [tex]E=\overline{V}[/tex]. Pertanto, se con 1) intende che il punto deve raggiungere la posizione [tex]x=0[/tex] in un tempo finito, devi richiedere
mentre per 2) è sufficiente notare che l'unico moto limitato non periodico compatibile con [tex]x(0)=1[/tex] è quello che ha per traiettoria [tex]\gamma_2[/tex].
Se 1) e 2) dovessero essere verificate contemporaneamente, non avresti nessun moto non periodico che passa per [tex]x=0[/tex] compatibile con la condizione iniziale [tex]x(0)=1[/tex].
Vogliamo studiare qualitativamente le soluzioni del sistema autonomo
[tex]\begin{cases}
\dot{x}(t)=y\\
\dot{y}(t)=-\frac{1}{m}V'(x)
\end{cases}[/tex]
\dot{x}(t)=y\\
\dot{y}(t)=-\frac{1}{m}V'(x)
\end{cases}[/tex]
dove
[tex]V(x)=x^2(1-x)(3-x).[/tex]
Nel caso specifico otteniamo
[tex]\begin{cases}
\dot{x}(t)=y\\
\dot{y}(t)=-x(2x^2-6x+3)
\end{cases}[/tex]
\dot{x}(t)=y\\
\dot{y}(t)=-x(2x^2-6x+3)
\end{cases}[/tex]
Per prima cosa si individuano i punti stazionari della funzione [tex]V[/tex], che sono
[tex]\bar{x}=0,\frac{3\pm\sqrt{3}}{2}[/tex]
due dei quali,[tex]\bar{x}=0,\frac{3+\sqrt{3}}{2}[/tex], sono punti di minimo locali, mentre [tex]\bar{x}=\frac{3-\sqrt{3}}{2}[/tex] è un punto di massimo locale, e corrispondono rispettivamente a due punti di equilibrio stabile ed un punto di equilibrio instabile per il sistema. Quindi tracciamo il grafico di [tex]V[/tex]
e da questo deduciamo qualitativamente il ritratto di fase del sistema, scegliendo alcuni valori particolari dell'energia totale, che è un integrale primo del moto; in particolare chiamiamo
[tex]\overline{V}:=V\Big(\frac{3-\sqrt{3}}{2}\Big).[/tex]
Il ritratto di fase che dovresti avere ottenuto è il seguente
dove in rosso ho evidenziato le curve integrali che corrispondono a [tex]E=\overline{V}[/tex]: [tex]\gamma_1[/tex] quella a sinistra di [tex]x=\frac{3-\sqrt{3}}{2}[/tex], [tex]\gamma_2[/tex] quella a destra e [tex]\Big(\frac{3-\sqrt3}{2},0\Big)[/tex]. I punti in evidenza sull'asse delle ascisse sono i punti di equilibrio del sistema.
Adesso è immediato classificare tutti i moti del sistema e scegliere quelli che ti chiede l'esercizio. A parte i tre moti costanti corrispondenti ai punti di equilibrio, tutti i moti sono periodici eccetto quelli corrispondenti a [tex]E=\overline{V}[/tex]. Pertanto, se con 1) intende che il punto deve raggiungere la posizione [tex]x=0[/tex] in un tempo finito, devi richiedere
[tex]E=v_0^2>\overline{V}[/tex]
mentre per 2) è sufficiente notare che l'unico moto limitato non periodico compatibile con [tex]x(0)=1[/tex] è quello che ha per traiettoria [tex]\gamma_2[/tex].
Se 1) e 2) dovessero essere verificate contemporaneamente, non avresti nessun moto non periodico che passa per [tex]x=0[/tex] compatibile con la condizione iniziale [tex]x(0)=1[/tex].
Ok, grazie mille.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo