Esercizio 4.1 Dalba Fornasini (Forza Elastica)
Problema 4.1 - G.Dalba P.Fornasini - Esercizi di fisica: meccanica e termodinamica.
Un corpo si massa m = 1 Kg e dimensioni trascurabili è appeso, mediante un molla, all'estremo superiore A di un profilo circolare di raggio R = 1 m, disposto verticalmente. Il corpo, sottoposto alla forza peso, può scivolare senza attrito lungo il profilo (Figura). Inizialmente il corpo si trova fermo nel punto B, con $\theta$ = $\theta_0$ = $60^0$; in tale posizione la molla è a riposo.
a) Determinare i valori delle componenti normale e tangenziale dell’accelerazione del corpo nei punti B e C, supponendo che la costante elastica della molla sia k = 20 $Nm^-1$.
b) Quale valore deve avere la costante k della molla affinché sia nulla la forza esercitata sul profilo quando il corpo, in movimento, si trova al punto C?
Figura:
Risultati a) in B: $ a_n = 0,a_tau=gsintheta_0=8,48ms^-2 $. In C: $ a_n = v^2/R = 8,36 ms^-2,a_tau = 0. $
b) $ k = 57,7Nm^-1 $
Vorrei un parere sulla risoluzione del problema.
a) in B: le forze esistenti sono la forza peso e la reazione vincolare. Per cui:
nella direzione normale si ha: $ R_v - mgcostheta_0 = 0 $ ovviamente $ a_n = 0 $
nella direzione tangenziale: $ mgsintheta_0 = ma_tau $ quindi $ a_tau = gsintheta_0 = 8,48 ms^-2 $
in C: le forze sono il peso, la reazione vincolare e la forza elastica, tutte dirette normalmente.
Sia $ l_(AB) = bar(AB) $ e $ l_(AC) = bar(AC) = 2R $, $ deltal = l_(AC) - l_(AB) = 2R(1-cos(theta_0/2)) $
allora $ F_(el) = k*deltal = k*2R(1-cos(theta_0/2)) $
quindi $ R_v + P + F_(el) = mg - mg + 2kR(1-cos(theta_0/2)) = ma_n $
e $ a_n = 1/m*2kR(1-cos(theta_0/2)) = 5,36 $ che contraddice il risultato dell'esercizio. Cosa ho sbagliato?
Un corpo si massa m = 1 Kg e dimensioni trascurabili è appeso, mediante un molla, all'estremo superiore A di un profilo circolare di raggio R = 1 m, disposto verticalmente. Il corpo, sottoposto alla forza peso, può scivolare senza attrito lungo il profilo (Figura). Inizialmente il corpo si trova fermo nel punto B, con $\theta$ = $\theta_0$ = $60^0$; in tale posizione la molla è a riposo.
a) Determinare i valori delle componenti normale e tangenziale dell’accelerazione del corpo nei punti B e C, supponendo che la costante elastica della molla sia k = 20 $Nm^-1$.
b) Quale valore deve avere la costante k della molla affinché sia nulla la forza esercitata sul profilo quando il corpo, in movimento, si trova al punto C?
Figura:
Risultati a) in B: $ a_n = 0,a_tau=gsintheta_0=8,48ms^-2 $. In C: $ a_n = v^2/R = 8,36 ms^-2,a_tau = 0. $
b) $ k = 57,7Nm^-1 $
Vorrei un parere sulla risoluzione del problema.
a) in B: le forze esistenti sono la forza peso e la reazione vincolare. Per cui:
nella direzione normale si ha: $ R_v - mgcostheta_0 = 0 $ ovviamente $ a_n = 0 $
nella direzione tangenziale: $ mgsintheta_0 = ma_tau $ quindi $ a_tau = gsintheta_0 = 8,48 ms^-2 $
in C: le forze sono il peso, la reazione vincolare e la forza elastica, tutte dirette normalmente.
Sia $ l_(AB) = bar(AB) $ e $ l_(AC) = bar(AC) = 2R $, $ deltal = l_(AC) - l_(AB) = 2R(1-cos(theta_0/2)) $
allora $ F_(el) = k*deltal = k*2R(1-cos(theta_0/2)) $
quindi $ R_v + P + F_(el) = mg - mg + 2kR(1-cos(theta_0/2)) = ma_n $
e $ a_n = 1/m*2kR(1-cos(theta_0/2)) = 5,36 $ che contraddice il risultato dell'esercizio. Cosa ho sbagliato?
Risposte
Siccome il punto è in movimento, ti conviene usare il principio di conservazione dell'energia considerando i punti B e C... poi fare v quadro fratto r...
Ho fatto così:
$ T_B=0,U_B=1/2kdeltal^2+mgdeltal,T_C=1/2mv^2,U_C=0 $
per cui $ E_B=E_C $
risulta $ a_n=v^2/R=4kR/m(1-cos(theta_0/2))^2+4g(1-cos(theta_0/2)) ~=6,69 m/s^2 $
che non è il risultato giusto.
$ T_B=0,U_B=1/2kdeltal^2+mgdeltal,T_C=1/2mv^2,U_C=0 $
per cui $ E_B=E_C $
risulta $ a_n=v^2/R=4kR/m(1-cos(theta_0/2))^2+4g(1-cos(theta_0/2)) ~=6,69 m/s^2 $
che non è il risultato giusto.
In B l'energia elastica è zero, non in C...
Ops è vero:
$ T_B=0,U_B=mgdeltal,T_C=1/2mv^2,U_C=1/2kdeltal^2 $
quindi
$ a_n=v^2/R=2g/Rdeltal-k/m1/Rdeltal^2~=3,82m/s^2 $
e non è corretto...
$ T_B=0,U_B=mgdeltal,T_C=1/2mv^2,U_C=1/2kdeltal^2 $
quindi
$ a_n=v^2/R=2g/Rdeltal-k/m1/Rdeltal^2~=3,82m/s^2 $
e non è corretto...
$U_B=\frac{1}(2} m g R$
$U_C= \frac{1}(2} k (2 R - R sqrt{3})^2$ ...
$U_C= \frac{1}(2} k (2 R - R sqrt{3})^2$ ...
Grazie tante, ho capito gli errori che ho fatto. In particolare consideravo, in $ U_B=mgh $, $ h=deltal $ mentre è appunto $ h=R(1-costheta_0)=R/2 $.
Mi scusi Arrigo, non riesco a fare anche il punto b. In particolare non riesco a capire cosa intende per "affinché sia nulla la forza esercitata sul profilo". Ho pensato alla risultante delle forze si nulla oppure alla reazione vincolare nulla. Può aiutarmi?
Domanda ambigua. Io farei $v_C=0$ e vedrei se il $k$ che si ottiene combina con il risultato ... 
dalla eq. della conservazione dell'energia ricavo la velocità in C:
$ mgR/2=1/2k/mdeltal^2+1/2mv_c^2 $
$ v_c=sqrt((mgR-kdeltal^2)/m)=0 $ quindi $ k=mgR/(deltal^2)tilde=136,64 $ diverso dal risultato sperato.
Ho anche provato con l'eq. delle forze in direzione radiale:
$ -mg+kdeltal=0 $ quindi $ k=(mg)/(deltal)tilde=36,61 $ e ancora nulla...?
$ mgR/2=1/2k/mdeltal^2+1/2mv_c^2 $
$ v_c=sqrt((mgR-kdeltal^2)/m)=0 $ quindi $ k=mgR/(deltal^2)tilde=136,64 $ diverso dal risultato sperato.
Ho anche provato con l'eq. delle forze in direzione radiale:
$ -mg+kdeltal=0 $ quindi $ k=(mg)/(deltal)tilde=36,61 $ e ancora nulla...?
Non ho idea... ci vorrebbe l'aiuto di qualcun altro...
OK grazie ancora
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