Esercizietto con Laplace

[maurizius1]

Stavo svolngendo un esercizio:

Una carica elettrica q si muove, con velocità angolare costante e molto elevata, lungo una circonferenza di raggio R. Si calcoli il valore del campo magnetico generato dalla carica lungo l’asse della traiettoria circolare.

Il problema è che non mi trovo molto con la soluzione poiché essa comprende una componente del campo $\vecB$ radiale, mentre a me pare solo di trovarne una solo lungo l'asse z.

La mia idea era usare Ampere-Laplace: $\(mu_0I)/(4pi)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ e struttando l'idea che $I=q/T$ (T periodo) ho in definitiva:

$\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)\int(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$

A questo punto mi pare che il $d\vecB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(d\vecsxx\vecu_r)/r^2$ a seconda di come mi sposto su z (asse della traiettoria) abbia una inclinazione $alpha$, tuttavia poiché l'integrazione è lungo la curva e ogni ds è ortogolane a u_r allora posso scomporre dB su z e nella direzione radiale e quella radiale si elide portando ad avere solo

$dB=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(ds)/r^2cosalpha$

$B_z=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2piR)cosalpha=\(mu_0q\omega)/(8pi^2)(2piR)cosalpha=\(mu_0q\omegaR)/(4pi)R/(R^2+z^2)^(3/2)$.

Mentre la soluzione indica anche una componente radiale che a me per simmetria sembra elidersi, perché? Non capisco il mio errore.

[Vblasina]

Forse sto prendendo un abbaglio io, ma mi sembra giusto il tuo ragionamento e il tuo risultato (analogo al campo di una spira circolare in cui scorre una corrente costante \(\displaystyle I=\frac{q}{T} \). Un'idea potrebbe essere di NON considerare la "corrente" come statica, ma mi pare molto più complicato e onestamente poco utile, vista la velocità angolare "molto elevata" di q.

[mgrau]

Il campo $vec B$ è in media solo assiale, ma istantaneamente ha anche una componente radiale (tranne che nel piano dell'orbita), che ruota insieme con la carica
Questo problema è stata discusso recentemente sul forum, prova a cercarlo, sempre che non sia scomparso nel catastrofico ripristino del database al 9/11

[maurizius1]

No aspettate, questo post era di novembre se ci fate caso. E' sparita tutta la bella discussione che ne era uscita con @RenzoDF mi spiace, perché poi aveva anche consigliato di vederla in ottica di ampere maxwell con corrente di spostamento e con carica in moto

Gran perdita, aveva davero dato belle risposte utili anche per futuri lettori.

[maurizius1]

"mgrau":sempre che non sia scomparso nel catastrofico ripristino del database al 9/11

In realtà credo ti riferisci proprio a quella discussione, che era questa... ma ormai è andata!

[mgrau]

Comunque, la risposta semplice è che il campo $vec B$ prodotto dalla carica in moto si ricava dalla prima legge di Laplace, mettendo al posto di $i$ il prodotto $v * q$. Il campo ha la direzione di $vec v times vec r$ e quindi gira con $vec r$