Esercizi vari su Dinamica del CR II.
Due dischi omogenei e uguali, di massa $m$ e raggio $R$ sono connessi mediante un’asta omogenea di ugual massa $m$ e lunghezza , incernierata ai suoi estremi ai centri dei due dischi. Il sistema appoggia su una guida orizzontale ed è posto in un piano verticale. Un motore interno trasmette una una coppia $C_1 = −C hat(k)$ al disco posteriore, e una coppia opposta $C_2 = C hat(k)$ all’asta.
(1.) Si calcoli il legame cinematico tra gli angoli di rotazione dei due dischi, $theta$ e $phi$.
(2.) Supponendo di conoscere il moto del sistema, calcolare la coppia $C$ che garantisce tale moto.
(3.) Calcolare la reazione vincolare in $K$ e studiare la condizione di distaccamento del disco anteriore (impennata).
Punto 1)
Si deve calcolare il legame cinematico tra gli angoli di rotazione dei due dischi, $theta$ e $phi$, ma a mio parere è una domanda molto vaga, a mio parere si potrebbe pensare alla formula $theta= s/R$ (misura degli angoli, idem per $phi$), o alla formula $theta(t) = theta_0 + omega_(z0)t + 1/2 alpha_z t^2$, oppure alla $theta(t) = theta_0 + omega_(z0)t$
E allora adesso mi chiedo se i due dischi hanno un legame dato dall'asta che implica lo spostamento dell'angolo $theta$ essere uguale allo spostamento dell'angolo $phi$, quindi $theta(t)=phi(t)$, che cosa posso dire per argomentare una domanda per me così vaga?
Punto 2)
Il secondo punto ci chiede che supponendo di conoscere il moto del sistema, si deve calcolare la coppia $C$ che garantisce tale moto.
Nella toeria non ho trovato una def. di coppia,
, e il moto del sistema mi sembra che sia giustificato dalla seguente formula $theta(t) = theta_0 + omega_(z0)t + 1/2 alpha_z t^2$, idem per $phi$.
Insomma, ho le idee confuse anche per questo punto!
Ecco la soluzione del testo:
Comprendo il punto 1) (anche se vorrei discuterlo con voi)
Comprendo il punto 2) (anche se vorrei discuterlo con voi)
Non sto capendo il punto 3)
Potete per favore aiutarmi a capire cosa fa il testo in questo punto 3)
(1.) Si calcoli il legame cinematico tra gli angoli di rotazione dei due dischi, $theta$ e $phi$.
(2.) Supponendo di conoscere il moto del sistema, calcolare la coppia $C$ che garantisce tale moto.
(3.) Calcolare la reazione vincolare in $K$ e studiare la condizione di distaccamento del disco anteriore (impennata).
Punto 1)
Si deve calcolare il legame cinematico tra gli angoli di rotazione dei due dischi, $theta$ e $phi$, ma a mio parere è una domanda molto vaga, a mio parere si potrebbe pensare alla formula $theta= s/R$ (misura degli angoli, idem per $phi$), o alla formula $theta(t) = theta_0 + omega_(z0)t + 1/2 alpha_z t^2$, oppure alla $theta(t) = theta_0 + omega_(z0)t$
E allora adesso mi chiedo se i due dischi hanno un legame dato dall'asta che implica lo spostamento dell'angolo $theta$ essere uguale allo spostamento dell'angolo $phi$, quindi $theta(t)=phi(t)$, che cosa posso dire per argomentare una domanda per me così vaga?
Punto 2)
Il secondo punto ci chiede che supponendo di conoscere il moto del sistema, si deve calcolare la coppia $C$ che garantisce tale moto.
Nella toeria non ho trovato una def. di coppia,
, e il moto del sistema mi sembra che sia giustificato dalla seguente formula $theta(t) = theta_0 + omega_(z0)t + 1/2 alpha_z t^2$, idem per $phi$. Insomma, ho le idee confuse anche per questo punto!
Ecco la soluzione del testo:
Comprendo il punto 1) (anche se vorrei discuterlo con voi)
Comprendo il punto 2) (anche se vorrei discuterlo con voi)
Non sto capendo il punto 3)
Potete per favore aiutarmi a capire cosa fa il testo in questo punto 3)
Risposte
Scritto male questo testo, non nomina la condizione di puro rotolamento dei due dischi, ma penso si debba sottintendere, nel qual caso però la richiesta relazione cinematica tra gli angoli appare banale, essendo sempre uguali i due angoli nel tempo, a meno di una costante arbitraria.
"Falco5x":
....... caso però la richiesta relazione cinematica tra gli angoli appare banale, essendo sempre uguali i due angoli nel tempo, a meno di una costante arbitraria.
Ecco, ho pensato lo stesso anche io! Il punto 1) è banale!
Del punto 3) quello che non sto comprendendo chiaramente è il sistema delle forze!
In $A$ si ha:
$V_A$ penso sia generato dall'asta in corrispondenza del punto $A$ e ha direzione verticale e verso il Sud, in sotanza si tratta di $V_A = mg$ contrastata da $V_H$ da che $V_A - V_H = 0$, vero
In $B$ si ha:
Nel punto $B$ si cerca la $V_B$ per il semplice motivo che si sta cercando di trovare la coppia per far impennare la ruota anteriore, vero
Lungo l'asta si ha:
in $A$ si ha una forza $H_A$ che va in orizzontale verso destra, in $B$ si ha $H_B$ che contrasta $H_A$ e quindi $H_A - H_B =0$, vero
Al centro dell'asta si ha $F_t = mg$ e la coppia che si deve considerare per l'impennata, vero
Poi imposta il primo sistema che è:
$ { ( Gamma_(Bz) = 1/2mR^2dot(theta) ),( M_(Bz) = - H_k R ):} $
Capisco che se si deve cercare qualcosa, deve essere nel punto $B$ in quanto si deve vedere questa impennata, ma perchè serve ricavare la $H_K$
E poi ho le idee confuse su tutto il resto del punto 3)
Help!
In $A$ si ha:
$V_A$ penso sia generato dall'asta in corrispondenza del punto $A$ e ha direzione verticale e verso il Sud, in sotanza si tratta di $V_A = mg$ contrastata da $V_H$ da che $V_A - V_H = 0$, vero
In $B$ si ha:
Nel punto $B$ si cerca la $V_B$ per il semplice motivo che si sta cercando di trovare la coppia per far impennare la ruota anteriore, vero
Lungo l'asta si ha:
in $A$ si ha una forza $H_A$ che va in orizzontale verso destra, in $B$ si ha $H_B$ che contrasta $H_A$ e quindi $H_A - H_B =0$, vero
Al centro dell'asta si ha $F_t = mg$ e la coppia che si deve considerare per l'impennata, vero
Poi imposta il primo sistema che è:
$ { ( Gamma_(Bz) = 1/2mR^2dot(theta) ),( M_(Bz) = - H_k R ):} $
Capisco che se si deve cercare qualcosa, deve essere nel punto $B$ in quanto si deve vedere questa impennata, ma perchè serve ricavare la $H_K$
E poi ho le idee confuse su tutto il resto del punto 3)
Help!
Tu hai bisogno di capire bene la realtà fisica dei fenomeni, e quel tuo libro con tutti i suoi formalismi non ti aiuta molto. Adesso non ho proprio tempo, ma entro sera, se non è troppo tardi, vedo di spiegarti l'esercizio in modo più intuitvo.
Ok, aspetto una tua risposta 
Come avrai capito l'esercizio schematizza il funzionamento di una moto. Il motore è attaccato all'asse orizzontale e trasmette la coppia motrice alla ruota posteriore. Da come è indicata la coppia si capisce che la moto corre verso destra.
Siccome nessuno dei 3 elementi che compongono la moto si muove in senso verticale, si possono scrivere le relazioni di equilibrio:
Asta
$$\eqalign{
& {V_{Aa}} + {V_{Ba}} - mg = 0 \cr
& C - \frac{l}
{2}mg + l{V_{Ba}} = 0 \cr
& C + \frac{l}
{2}mg - l{V_{Aa}} = 0 \cr} $$
Il pedice a indica che si tratta delle forze sull'asta (visto che nel disegno le stesse lettere sono state usate anche per le forze uguali e contrarie a queste agenti sulle ruote)
La prima relazione è la somma delle forze nulla.
La seconda relazione è la somma dei momenti nulli rispetto al centro della ruota A, mentre la terza è la somma dei momenti nulli rispetto al centro della ruota B.
Ruote
$$\eqalign{
& {V_H} - {V_{Ar}} - mg = 0 \cr
& {V_K} - {V_{Br}} - mg = 0 \cr} $$
Il pedice r indica che ci si riferisce alle ruote.
In senso orizzontale siccome c'è accelerazione il bilancio delle forze deve produrre questo risultato.
Faccio notare che le uniche forze esterne che agiscono sulla moto sono le reazioni d'attrito orizzontali sulle ruote, dunque:
$$ - {H_H} - {H_K} = 3ma$$
Poi c'è la rotazione delle ruote, per la quale deve valere la famosa relazione che riguarda momenti e accelerazione angolare:
$$C + {H_H}R = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta = \frac{1}
{2}mRa$$
$${H_K}R = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta = \frac{1}
{2}mRa$$
Altre relazioni si possono scrivere per le altre forze;
$$\eqalign{
& {H_{Aa}} - {H_K} = 2ma \cr
& {H_{Br}} - {H_K} = ma \cr} $$
Mettendo insieme alcune delle relazioni scritte si ha la risposta al secondo quesito:
$$\eqalign{
& C + {H_H}R = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta = \frac{1}
{2}mRa \cr
& - {H_H} - {H_K} = 3ma \cr
& {H_K}R = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta = \frac{1}
{2}mRa \cr
& - {H_H} = 3ma + \frac{1}
{2}ma = \frac{7}
{2}ma \cr
& C = \frac{1}
{2}mRa + \frac{7}
{2}mRa = 4mRa \cr} $$
Riguardo al punto 3 basta prendere le opportune relazioni e imporre la condizione $V_K = 0$
$$\eqalign{
& C - \frac{l}
{2}mg + l{V_B} = 0 \cr
& {V_B} = \frac{1}
{2}mg - \frac{C}
{l} \cr
& {V_K} - {V_{B}} - mg = 0 \cr
& {V_K} = {V_B} + mg \cr
& {V_K} = \frac{3}
{2}mg - \frac{C}
{l} = 0 \cr
& C = \frac{3}
{2}mgl \cr} $$
I passaggi matematici sono banali, ti invito invece a riflettere sulle singole relazioni tra forze, momenti e accelerazioni che ho impostato all'inizio (in particolare attenzione ai segni), perché solo impostando correttamente quelle relazioni esce un risultato corretto.
Se qualcosa non è chiaro chiedi pure.
Siccome nessuno dei 3 elementi che compongono la moto si muove in senso verticale, si possono scrivere le relazioni di equilibrio:
Asta
$$\eqalign{
& {V_{Aa}} + {V_{Ba}} - mg = 0 \cr
& C - \frac{l}
{2}mg + l{V_{Ba}} = 0 \cr
& C + \frac{l}
{2}mg - l{V_{Aa}} = 0 \cr} $$
Il pedice a indica che si tratta delle forze sull'asta (visto che nel disegno le stesse lettere sono state usate anche per le forze uguali e contrarie a queste agenti sulle ruote)
La prima relazione è la somma delle forze nulla.
La seconda relazione è la somma dei momenti nulli rispetto al centro della ruota A, mentre la terza è la somma dei momenti nulli rispetto al centro della ruota B.
Ruote
$$\eqalign{
& {V_H} - {V_{Ar}} - mg = 0 \cr
& {V_K} - {V_{Br}} - mg = 0 \cr} $$
Il pedice r indica che ci si riferisce alle ruote.
In senso orizzontale siccome c'è accelerazione il bilancio delle forze deve produrre questo risultato.
Faccio notare che le uniche forze esterne che agiscono sulla moto sono le reazioni d'attrito orizzontali sulle ruote, dunque:
$$ - {H_H} - {H_K} = 3ma$$
Poi c'è la rotazione delle ruote, per la quale deve valere la famosa relazione che riguarda momenti e accelerazione angolare:
$$C + {H_H}R = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta = \frac{1}
{2}mRa$$
$${H_K}R = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta = \frac{1}
{2}mRa$$
Altre relazioni si possono scrivere per le altre forze;
$$\eqalign{
& {H_{Aa}} - {H_K} = 2ma \cr
& {H_{Br}} - {H_K} = ma \cr} $$
Mettendo insieme alcune delle relazioni scritte si ha la risposta al secondo quesito:
$$\eqalign{
& C + {H_H}R = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta = \frac{1}
{2}mRa \cr
& - {H_H} - {H_K} = 3ma \cr
& {H_K}R = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta = \frac{1}
{2}mRa \cr
& - {H_H} = 3ma + \frac{1}
{2}ma = \frac{7}
{2}ma \cr
& C = \frac{1}
{2}mRa + \frac{7}
{2}mRa = 4mRa \cr} $$
Riguardo al punto 3 basta prendere le opportune relazioni e imporre la condizione $V_K = 0$
$$\eqalign{
& C - \frac{l}
{2}mg + l{V_B} = 0 \cr
& {V_B} = \frac{1}
{2}mg - \frac{C}
{l} \cr
& {V_K} - {V_{B}} - mg = 0 \cr
& {V_K} = {V_B} + mg \cr
& {V_K} = \frac{3}
{2}mg - \frac{C}
{l} = 0 \cr
& C = \frac{3}
{2}mgl \cr} $$
I passaggi matematici sono banali, ti invito invece a riflettere sulle singole relazioni tra forze, momenti e accelerazioni che ho impostato all'inizio (in particolare attenzione ai segni), perché solo impostando correttamente quelle relazioni esce un risultato corretto.
Se qualcosa non è chiaro chiedi pure.
"Falco5x":
Siccome nessuno dei 3 elementi che compongono la moto si muove in senso verticale, si possono scrivere le relazioni di equilibrio:
Asta
$$\eqalign{
& {V_{Aa}} + {V_{Ba}} - mg = 0 \cr
& C - \frac{l}
{2}mg + l{V_{Ba}} = 0 \cr
& C + \frac{l}
{2}mg - l{V_{Aa}} = 0 \cr} $$
Il pedice a indica che si tratta delle forze sull'asta (visto che nel disegno le stesse lettere sono state usate anche per le forze uguali e contrarie a queste agenti sulle ruote)
La prima relazione è la somma delle forze nulla.
La seconda relazione è la somma dei momenti nulli rispetto al centro della ruota A, mentre la terza è la somma dei momenti nulli rispetto al centro della ruota B.
Scusami, ma non sto capendo il perchè dei segni della seconda e terza equazioni che hai scritto
Adesso che però ho fatto il seguente schema ho compreso i segni:
La seconda equazione dei momenti rispetto ad $A$ da che ovviamente $C$ è la coppia e quindi positiva perchè va nel verso antiorario, vero
La $-mg l/2$ rispetto ad $A$ da verso orario e quindi negativo, mentre la $V_B$ da verso antiorario e quindi positivo percio $+V_B*l$.
Rispetto a $B$ si ha $C$ positiva perchè sempre in senso antiorario, mentre $V_A$ è in verso orario e quindi $-V_A*l$ mentre $+l/2mg$ perchè genera un momento antiorario e quindi positivo!
Ho detto bene queste fatti
"Falco5x":
In senso orizzontale siccome c'è accelerazione il bilancio delle forze deve produrre questo risultato.
Faccio notare che le uniche forze esterne che agiscono sulla moto sono le reazioni d'attrito orizzontali sulle ruote, dunque:
$$ - {H_H} - {H_K} = 3ma$$
Scusami, ma da dove è venuto fuori questo $...=3ma$,
cioè da dove viene quel numero $3$ "Falco5x":
Poi c'è la rotazione delle ruote, per la quale deve valere la famosa relazione che riguarda momenti e accelerazione angolare:
$$C + {H_H}R = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta = \frac{1}
{2}mRa$$
$${H_K}R = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta = \frac{1}
{2}mRa$$.
Qui non sto capendo bene i segni della prima equazione che poi si tramandano nell'ultima relazione!
Che ragionamento hai fatto
"Falco5x":
Altre relazioni si possono scrivere per le altre forze;
$$\eqalign{
& {H_{Aa}} - {H_K} = 2ma \cr
& {H_{Br}} - {H_K} = ma \cr} $$
Non capisco bene queste realzioni che hai scritto e non capisco nemmeno il perchè nella prima relazione si ha un $..=2ma$
E perchè nella seconda relazione si ha un $..=ma$
"Falco5x":
Mettendo insieme alcune delle relazioni scritte si ha la risposta al secondo quesito:
$$\eqalign{
& C + {H_H}R = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta = \frac{1}
{2}mRa \cr
& - {H_H} - {H_K} = 3ma \cr
& {H_K}R = \frac{1}
{2}m{R^2}\ddot \theta = \frac{1}
{2}mRa \cr
& - {H_H} = 3ma + \frac{1}
{2}ma = \frac{7}
{2}ma \cr
& C = \frac{1}
{2}mRa + \frac{7}
{2}mRa = 4mRa \cr} $$
Ma il testo da come risultato del secondo punto $C = 4mR^2ddot(theta)$
Mi sembra che non si trova con il tuo risultato, vero
C'è da dire che è molto più rapido il metodo del testo per questo punto e noto anche che è più convenienente vero
Trovo invece molto importante la tua spiegazione nel contesto, in quanto così riesco a capire cosa accade nei minimi dettagli nell'intero sistema ed è per questo che ci tengo a capire quello cha hai spiegato, ecco il perchè dei quote
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