Esercizi sui vettori e sul moto circolare uniforme
Esercizio I - vettori
Si considerino i seguenti punti in un piano cartesiano xy: A=(1,0), B=(-3,0), P=(3,-√3). Scrivere il vettore $ vec(a) $ che va dal punto P al punto A, il vettore $ vec(b) $ che va dal punto P al punto B e calcolare il prodotto scalare $ vec(b) $ · $ vec(a) $.
Io ho svolto l'esercizio cosi:
$vec(a)$ = $vec(r)\_P$ - $vec(r)\_A$ = (3,-√3) - (1,0) = (2,-√3)
$vec(b)$ = $vec(r)\_P$ - $vec(r)\_B$ = (3,-√3) - (-3, 0) = (6,-√3)
$ vec(b) $ · $ vec(a) $ = (6,-√3) $\cdot$ (2,-√3) = 12 + 3 = 15
Parlandone invece con dei miei compagni di corso, loro hanno svolto l'esercizio nel seguente modo:
$vec(a)$ = $vec(r)\_A$ - $vec(r)\_P$ = (1,0) - (3,-√3) = (-2, √3)
$vec(b)$ = $vec(r)\_B$ - $vec(r)\_P$ = (-3, 0) - (3,-√3) = (-6,√3)
$ vec(b) $ · $ vec(a) $ = (-2, √3) $\cdot$ (-6,√3) = 12 + 3 = 15
Mi chiedo quindi, essendo i risultati uguali; quali delle due soluzioni è giusta? Perché? Lo svolgimento dell'esercizio risulta corretto anche in termini di simboli matematici? (simbologia del prodotto vettoriale, vettori e operatori)
Esercizio II- Moto Circolare Uniforme
Consideriamo il piano xy. Al tempo t = 0 nel punto (R, 0) vi è la particella P$\_1$ con massa m e carica Q mentre nel punto (−R, 0) vi `e la particella P$\_2$ con massa 2m e carica 2Q. Le due particelle ruotano nel piano xy attorno all’origine, in senso antiorario e con modulo della velocità angolare ω. Calcolare:
a) il modulo della velocità della particella $P\_1$
b) il vettore velocità $vec(v)\_2$ della particella $P\_2$ quando essa si trova in (R, 0)
c) l’accelerazione centripeta della particella $P\_1$ quando essa si trova in (0, R)
a) Per svolgerlo mi ero messo a calcolare la legge oraria e tutto il resto (che non riporto per abbreviare) ma il professore nelle soluzioni scrive semplicemente:
$v\_1$ = ωR ed il periodo del moto è T = $ (2R)/(ω) $
Come ha fatto a dedurre il modulo della velocità senza eseguire alcun calcolo? Perché viene calcolato anche il periodo?
b) Ho calcolato il vettore velocità dalla formula inversa della velocità angolare, quindi, ω = $ (v)/(R) rArr v = ω \cdot R $
però nel mio calcolo avevo sbagliato i vettori associati in quanto secondo la soluzione il risultato finale è ωR $vec(j)$.
Il vettore associato ad ω è $vec(k )$ mentre quello associato ad R è $vec(i)$; se non ho capito male $vec(k)$ deriva dalla regola della mano destra perché essendo il senso antiorario il pollice è rivolto verso l'altro quindi otteniamo $vec(k )$ ma per quanto riguarda $vec(i)$ non ho ben capito perché. Io avevo messo $vec(j)$ in quanto in (R, 0) $P\_2$ punta verso l'alto quindi ho pensato seguisse l'asse y. Forse è $vec(i)$ perché essendo in (R, 0), R è sull'asse x e quindi è l'unica componente che abbiamo?
c) Più o meno lo stesso problema del punto b), ho sbagliato il vettore. Il risultato è $a\_c$ = -$ω^{2}$R$vec(j)$ ma non capisco da dove derivano il segno negativo e $vec(j)$ (immagino sia -$vec(j)$, forse perché essendo il senso antiorario $P\_1$ si sposta verso sinistra e quindi va verso la parte negativa?)
Grazie in anticipo.
Si considerino i seguenti punti in un piano cartesiano xy: A=(1,0), B=(-3,0), P=(3,-√3). Scrivere il vettore $ vec(a) $ che va dal punto P al punto A, il vettore $ vec(b) $ che va dal punto P al punto B e calcolare il prodotto scalare $ vec(b) $ · $ vec(a) $.
Io ho svolto l'esercizio cosi:
$vec(a)$ = $vec(r)\_P$ - $vec(r)\_A$ = (3,-√3) - (1,0) = (2,-√3)
$vec(b)$ = $vec(r)\_P$ - $vec(r)\_B$ = (3,-√3) - (-3, 0) = (6,-√3)
$ vec(b) $ · $ vec(a) $ = (6,-√3) $\cdot$ (2,-√3) = 12 + 3 = 15
Parlandone invece con dei miei compagni di corso, loro hanno svolto l'esercizio nel seguente modo:
$vec(a)$ = $vec(r)\_A$ - $vec(r)\_P$ = (1,0) - (3,-√3) = (-2, √3)
$vec(b)$ = $vec(r)\_B$ - $vec(r)\_P$ = (-3, 0) - (3,-√3) = (-6,√3)
$ vec(b) $ · $ vec(a) $ = (-2, √3) $\cdot$ (-6,√3) = 12 + 3 = 15
Mi chiedo quindi, essendo i risultati uguali; quali delle due soluzioni è giusta? Perché? Lo svolgimento dell'esercizio risulta corretto anche in termini di simboli matematici? (simbologia del prodotto vettoriale, vettori e operatori)
Esercizio II- Moto Circolare Uniforme
Consideriamo il piano xy. Al tempo t = 0 nel punto (R, 0) vi è la particella P$\_1$ con massa m e carica Q mentre nel punto (−R, 0) vi `e la particella P$\_2$ con massa 2m e carica 2Q. Le due particelle ruotano nel piano xy attorno all’origine, in senso antiorario e con modulo della velocità angolare ω. Calcolare:
a) il modulo della velocità della particella $P\_1$
b) il vettore velocità $vec(v)\_2$ della particella $P\_2$ quando essa si trova in (R, 0)
c) l’accelerazione centripeta della particella $P\_1$ quando essa si trova in (0, R)
a) Per svolgerlo mi ero messo a calcolare la legge oraria e tutto il resto (che non riporto per abbreviare) ma il professore nelle soluzioni scrive semplicemente:
$v\_1$ = ωR ed il periodo del moto è T = $ (2R)/(ω) $
Come ha fatto a dedurre il modulo della velocità senza eseguire alcun calcolo? Perché viene calcolato anche il periodo?
b) Ho calcolato il vettore velocità dalla formula inversa della velocità angolare, quindi, ω = $ (v)/(R) rArr v = ω \cdot R $
però nel mio calcolo avevo sbagliato i vettori associati in quanto secondo la soluzione il risultato finale è ωR $vec(j)$.
Il vettore associato ad ω è $vec(k )$ mentre quello associato ad R è $vec(i)$; se non ho capito male $vec(k)$ deriva dalla regola della mano destra perché essendo il senso antiorario il pollice è rivolto verso l'altro quindi otteniamo $vec(k )$ ma per quanto riguarda $vec(i)$ non ho ben capito perché. Io avevo messo $vec(j)$ in quanto in (R, 0) $P\_2$ punta verso l'alto quindi ho pensato seguisse l'asse y. Forse è $vec(i)$ perché essendo in (R, 0), R è sull'asse x e quindi è l'unica componente che abbiamo?
c) Più o meno lo stesso problema del punto b), ho sbagliato il vettore. Il risultato è $a\_c$ = -$ω^{2}$R$vec(j)$ ma non capisco da dove derivano il segno negativo e $vec(j)$ (immagino sia -$vec(j)$, forse perché essendo il senso antiorario $P\_1$ si sposta verso sinistra e quindi va verso la parte negativa?)
Grazie in anticipo.
Risposte
"MatematiNO":
Si considerino i seguenti punti in un piano cartesiano xy: A=(1,0), B=(-3,0), P=(3,-√3). Scrivere il vettore $ vec(a) $ che va dal punto P al punto A,
Il vettore che va da A a B (A punto di inizio, B punto di arrivo) è dato dal vettore $OB$ MENO il vettore $OA$ (con $O$ qualsiasi) quindi hanno ragione i tuoi compagni...
"MatematiNO":
Esercizio II- Moto Circolare Uniforme
Consideriamo il piano xy. Al tempo t = 0 nel punto (R, 0) vi è la particella $P_1$ con massa m e carica Q mentre nel punto (−R, 0) vi `e la particella $P_2$ con massa 2m e carica 2Q. Le due particelle ruotano nel piano xy attorno all’origine, in senso antiorario e con modulo della velocità angolare ω. Calcolare:
a) il modulo della velocità della particella $P\_1$
b) il vettore velocità $vec(v)\_2$ della particella $P\_2$ quando essa si trova in (R, 0)
c) l’accelerazione centripeta della particella $P\_1$ quando essa si trova in (0, R)
E' poco chiaro il motivo per cui viene data massa e carica... mistero...
Comunque, mi pare noto che nel moto circolare uniforme la relazione fra velocità lineare e angolare è $v = omegaR$, quindi perchè ti stupisci della soluzione del prof? E il periodo l'avrà calcolato così, tanto per fare.
Il vettore velocità della $P_2$, ha evidentemente lo stesso modulo $omegaR$ ed è diretto come $ y$ (il senso è antiorario), e mi pare proprio superfluo tirare in ballo il prodotto vettoriale e la regola della mano destra
l'accelerazione centripeta di $P_1$ in (0,R): il modulo è $omega^2R$ e, essendo centripeta, è diretta come $-y$
"mgrau":
[quote="MatematiNO"]
Si considerino i seguenti punti in un piano cartesiano xy: A=(1,0), B=(-3,0), P=(3,-√3). Scrivere il vettore $ vec(a) $ che va dal punto P al punto A,
Il vettore che va da A a B (A punto di inizio, B punto di arrivo) è dato dal vettore $OB$ MENO il vettore $OA$ (con $O$ qualsiasi) quindi hanno ragione i tuoi compagni...
"MatematiNO":
Esercizio II- Moto Circolare Uniforme
Consideriamo il piano xy. Al tempo t = 0 nel punto (R, 0) vi è la particella $P_1$ con massa m e carica Q mentre nel punto (−R, 0) vi `e la particella $P_2$ con massa 2m e carica 2Q. Le due particelle ruotano nel piano xy attorno all’origine, in senso antiorario e con modulo della velocità angolare ω. Calcolare:
a) il modulo della velocità della particella $P\_1$
b) il vettore velocità $vec(v)\_2$ della particella $P\_2$ quando essa si trova in (R, 0)
c) l’accelerazione centripeta della particella $P\_1$ quando essa si trova in (0, R)
E' poco chiaro il motivo per cui viene data massa e carica... mistero...
Comunque, mi pare noto che nel moto circolare uniforme la relazione fra velocità lineare e angolare è $v = omegaR$, quindi perchè ti stupisci della soluzione del prof? E il periodo l'avrà calcolato così, tanto per fare.
Il vettore velocità della $P_2$, ha evidentemente lo stesso modulo $omegaR$ ed è diretto come $ y$ (il senso è antiorario), e mi pare proprio superfluo tirare in ballo il prodotto vettoriale e la regola della mano destra
l'accelerazione centripeta di $P_1$ in (0,R): il modulo è $omega^2R$ e, essendo centripeta, è diretta come $-y$[/quote]
Ok, grazie per l'esercizio I.
Per quanto riguarda l'esercizio II mi dispiace che le mie domande siano (per voi) scontate e banali, ma ho bisogno di una risposta più completa. Continuo a non capire da dove derivano quei calcoli che ho scritto nel primo post.
Purtroppo questo corso di Fisica non essendo attinente al mio corso di laurea è stato fatto molto superficialmente e non ho materiale sul quale studiare perché non è stato fornito niente dal professore, probabilmente mi mancano dei pezzi di teoria quindi se c'è del materiale che potete linkare per capire meglio le parti che mi mancano segnalatemeli pure.
"MatematiNO":
Per quanto riguarda l'esercizio II mi dispiace che le mie domande siano (per voi) scontate e banali, ma ho bisogno di una risposta più completa. Continuo a non capire da dove derivano quei calcoli che ho scritto nel primo post.
Prova a spiegare meglio quel che non ti è chiaro, perchè io non ho capito. Poi ne riparliamo
"mgrau":
[quote="MatematiNO"]
Per quanto riguarda l'esercizio II mi dispiace che le mie domande siano (per voi) scontate e banali, ma ho bisogno di una risposta più completa. Continuo a non capire da dove derivano quei calcoli che ho scritto nel primo post.
Prova a spiegare meglio quel che non ti è chiaro, perchè io non ho capito. Poi ne riparliamo[/quote]
mi pare noto che nel moto circolare uniforme la relazione fra velocità lineare e angolare è v=ωR, quindi perchè ti stupisci della soluzione del prof?
Forse non mi è chiara la definizione di modulo della velocità? A me non sembra cosi ovvio quindi mi sono perso sicuramente qualcosa. Da dove la ricavo questa relazione?
Il vettore velocità della P2, ha evidentemente lo stesso modulo ωR ed è diretto come y (il senso è antiorario), e mi pare proprio superfluo tirare in ballo il prodotto vettoriale e la regola della mano destra
l'accelerazione centripeta di P1 in (0,R): il modulo è ω2R e, essendo centripeta, è diretta come −y
"Ha evidentemente lo stesso modulo ωR" - per me non è per niente evidente.
"È diretto come y" - basta guardare quindi gli assi senza regola della mano destra?
L'accelerazione centripeta di P1 in (0,R): il modulo è ω2R e, essendo centripeta, è diretta come −y
Che relazione c'è tra accelerazione centripeta e modulo che mi porta a dire in automatico che è -y?
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