Esercizi sui Versori
Esercizio 1
Testo dell'esercizio:
E' corretto dire che se ho un angolo in gradi con il versore j di $ 49^o $ , l'angolo misurato dall'asse i sia di $ 90^o - 49^o = 41^o $
Insomma, quando calcolo le componenti, devo prendere in considerazione l'angolo $ 41^o $ , giusto
Ecco l'immagine:
Ecco il movimento, da precisare che è allo stesso livello orizzontale e quindi è da considerare sul piano, ma io per un fatto visivo, ho preferito elevarlo, quindi il percorso è quello sul piano:
Ecco il percorso sul piano:
a) Le componenti sono dati dalla seguenti relazioni:
Essendo nel primo quadrante, abbiamo versori i sull’asse delle $ x $ ed j sull’asse delle $ y $ . Le componenti del vettore, sono dati dalle seguenti:
Cx= C*cos α
Cy= C*sen α
$Cx = 340m*cos 41^o $
$Cy = 340m*sen 41^o $
$ Cx= 256.60 m $
$ Cy= 223.06 m $
b) Le componenti dall’ingresso dell’istituto di fisica a quello della biblioteca, sono gli stessi, l’inica cosa che varia è il verso della freccia, nell’immagine ho disegnato il vettore a che va dalla biblioteca all’istituto di fisica, mentre il b che va dall’ingresso dell’istituto di fisica alla biblioteca. Ovviamente gli ho dato una traslazione per un fatto visivo, ma i vettori sono identici, solo di verso opposto, quindi le componenti sono:
Cx= C*cos α
Cy= C*sen α
$Cx = 340m*cos 41^o $
$Cy = 340m*sen 41^o $
$ Cx= 256.60 m $
$ Cy= 223.06 m $
c) Il percorso c) è lo stesso del percorso a) solo che a partire dalla biblioteca ad arrivare all’istituto di fisica, compie un percorso in altezza diversa, cioè a 35 m, quindi comincia a camminare dalle origini degli assi ad arrivare al punto di altezza 35m, come si vede nell’immagine:
Qui le componenti sono da rappresentare in 3D, infatti non si è più solamente nel piano, ma anche in altezza, e quindi entra in gioco anche la componente Cz.
Senza fare calcoli, possiamo arrivare alla conclusione che la componente è:
$ Cz=35 m $
Ecco la componente in altezza:
Cosa ne dite
Testo dell'esercizio:
E' corretto dire che se ho un angolo in gradi con il versore j di $ 49^o $ , l'angolo misurato dall'asse i sia di $ 90^o - 49^o = 41^o $
Insomma, quando calcolo le componenti, devo prendere in considerazione l'angolo $ 41^o $ , giusto Ecco l'immagine:
Ecco il movimento, da precisare che è allo stesso livello orizzontale e quindi è da considerare sul piano, ma io per un fatto visivo, ho preferito elevarlo, quindi il percorso è quello sul piano:
Ecco il percorso sul piano:
a) Le componenti sono dati dalla seguenti relazioni:
Essendo nel primo quadrante, abbiamo versori i sull’asse delle $ x $ ed j sull’asse delle $ y $ . Le componenti del vettore, sono dati dalle seguenti:
Cx= C*cos α
Cy= C*sen α
$Cx = 340m*cos 41^o $
$Cy = 340m*sen 41^o $
$ Cx= 256.60 m $
$ Cy= 223.06 m $
b) Le componenti dall’ingresso dell’istituto di fisica a quello della biblioteca, sono gli stessi, l’inica cosa che varia è il verso della freccia, nell’immagine ho disegnato il vettore a che va dalla biblioteca all’istituto di fisica, mentre il b che va dall’ingresso dell’istituto di fisica alla biblioteca. Ovviamente gli ho dato una traslazione per un fatto visivo, ma i vettori sono identici, solo di verso opposto, quindi le componenti sono:
Cx= C*cos α
Cy= C*sen α
$Cx = 340m*cos 41^o $
$Cy = 340m*sen 41^o $
$ Cx= 256.60 m $
$ Cy= 223.06 m $
c) Il percorso c) è lo stesso del percorso a) solo che a partire dalla biblioteca ad arrivare all’istituto di fisica, compie un percorso in altezza diversa, cioè a 35 m, quindi comincia a camminare dalle origini degli assi ad arrivare al punto di altezza 35m, come si vede nell’immagine:
Qui le componenti sono da rappresentare in 3D, infatti non si è più solamente nel piano, ma anche in altezza, e quindi entra in gioco anche la componente Cz.
Senza fare calcoli, possiamo arrivare alla conclusione che la componente è:
$ Cz=35 m $
Ecco la componente in altezza:
Cosa ne dite
Risposte
Esercizio 2
a) Il versore n giace nel piano $ xy $ e forma un angolo con il semiasse positivo delle $ x $ . Si esprima n in termini di i,j e $ alpha $ .
b) Si dimostri che $i(3)/sqrt(14)-j(1)/sqrt(14) + k(2)/sqrt(14)$ è un vettore unitario.
Soluzione
a) Il primo punto mi sembra banale, penso proprio che consiste nell’attribuire le classiche formule con la simbologia opportuna, si intende quanto segue:
n = $ n_x $ i + $ n_y $ j (ho così espresso in termini dei versori)
$ tg alpha = (n_x)/ (n_y) $ (ho così espresso in termini di angolo, utilizzando la tangente dell’angolo $ alpha $ )
Adesso come faccio a dimostrare che è un vettore unitario
Anche il secondo punto è banale, si tratta di definire il modulo di un vettore nello spazio, sapendo che la formula risolutiva è la seguente:
n $ = sqrt((n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2) $
Sapendo che:
$i(3)/sqrt(14)-j(1)/sqrt(14) + k(2)/sqrt(14)$
Allora:
n$= sqrt((3/sqrt(14))^2+(1/sqrt(14))^2+(2/sqrt(14))^2) $
n $= 1$
Cosa ne dite
a) Il versore n giace nel piano $ xy $ e forma un angolo con il semiasse positivo delle $ x $ . Si esprima n in termini di i,j e $ alpha $ .
b) Si dimostri che $i(3)/sqrt(14)-j(1)/sqrt(14) + k(2)/sqrt(14)$ è un vettore unitario.
Soluzione
a) Il primo punto mi sembra banale, penso proprio che consiste nell’attribuire le classiche formule con la simbologia opportuna, si intende quanto segue:
n = $ n_x $ i + $ n_y $ j (ho così espresso in termini dei versori)
$ tg alpha = (n_x)/ (n_y) $ (ho così espresso in termini di angolo, utilizzando la tangente dell’angolo $ alpha $ )
Adesso come faccio a dimostrare che è un vettore unitario
Anche il secondo punto è banale, si tratta di definire il modulo di un vettore nello spazio, sapendo che la formula risolutiva è la seguente:
n $ = sqrt((n_x)^2+(n_y)^2+(n_z)^2) $
Sapendo che:
$i(3)/sqrt(14)-j(1)/sqrt(14) + k(2)/sqrt(14)$
Allora:
n$= sqrt((3/sqrt(14))^2+(1/sqrt(14))^2+(2/sqrt(14))^2) $
n $= 1$
Cosa ne dite
Esercizio 3
Il vettore posizione r $ = x i + y j $ individua il punto (x,y).
a) Qual è il modulo r di questo vettore?
b) Si determini l’espressione delle componenti del versore $ hat(r) =$ r$ /r $
Il vettore posizione r $ = x i + y j $ individua il punto (x,y).
a) Qual è il modulo r di questo vettore?
b) Si determini l’espressione delle componenti del versore $ hat(r) =$ r$ /r $
Non mi e' tanto chiaro il teorema del coseno:
$ C=sqrt(A^2+B^2 +2AB cos alpha) $
Ma e' un quadrato di binomio sotto radice quadra e non capisco perche' compare anche $ cos alpha $
$ C=sqrt(A^2+B^2 +2AB cos alpha) $
Ma e' un quadrato di binomio sotto radice quadra e non capisco perche' compare anche $ cos alpha $
Aspetto però, mi pare che nel teorema del coseno (noto anche come Teorema di Carnot) il segno che precede il prodotto $2ABcos\alpha$ è un meno.
Comunque sotto radice non c'è il quadrato di un binomio, in realtà il teorema del coseno è un'estensione del teorema di Pitagora. Se infatti lo applichi ad un triangolo rettangolo in cui $A$ e $B$ sono i cateti, il loro angolo compreso è $90"°"$ ed il teorema si riduce a questo:
$C = sqrt (A^2 + B^2 - 2AB * cos 90) = sqrt (A^2 + B^" - 2AB*0) = sqrt (A^2 + B^2) =>$ Teorema di Pitagora.
Se vuoi capire di più di questo teorema puoi studiarne la dimostrazione.
Comunque sotto radice non c'è il quadrato di un binomio, in realtà il teorema del coseno è un'estensione del teorema di Pitagora. Se infatti lo applichi ad un triangolo rettangolo in cui $A$ e $B$ sono i cateti, il loro angolo compreso è $90"°"$ ed il teorema si riduce a questo:
$C = sqrt (A^2 + B^2 - 2AB * cos 90) = sqrt (A^2 + B^" - 2AB*0) = sqrt (A^2 + B^2) =>$ Teorema di Pitagora.
Se vuoi capire di più di questo teorema puoi studiarne la dimostrazione.
"JoJo_90":
Aspetto però, mi pare che nel teorema del coseno (noto anche come Teorema di Carnot) il segno che precede il prodotto $2ABcos\alpha$ è un meno.
Ho visto sul mio testo e non è preceduto dal segno meno, insomma è come l'ho scritto io nel messaggio precedente
Dici che è un errore di stampa
Continuo con l' Esercizio 3
Il vettore posizione r $ = x i + y j $ individua il punto (x,y).
a) Qual è il modulo r di questo vettore?
b) Si determini l’espressione delle componenti del versore $ hat(r) =$ r$ /r $
Risposta.
Mi sembra di aver compreso che il testo vuole la solo la relazione che determina il modulo, cerco di curare la simbologia corretta, richiamatemi se sto sbagliando,
dunque è:
Questo r $ = x i + y j $ si può scrivere correttamente in questo modo $ vec(r) = x hat(i) + y hat(j) $
a) Il modulo del vettore r si indica in questo modo $ vec(|r|) $, ed è dato dalla seguente $ vec(|r|) =sqrt((r_x)^2+(r_y)^2)$, penso sia corretto scrivere in corsivo la componente, perchè non sto ricordando alternativamente come si può scrivere la componente del vettore!
b) Questo $ hat(r) =$ r$ /r $ può essere scritto in modo corretto così $ hat(r)= (vec(r))/r $, non sto capendo precisamente cosa vuole il punto b), ma provo a dare una risposta, dite che vuole che scrivo questo?
$ hat(r)= (xhat(i)+yhat(j))/r $
Dite che ho compreso correttamente
Il vettore posizione r $ = x i + y j $ individua il punto (x,y).
a) Qual è il modulo r di questo vettore?
b) Si determini l’espressione delle componenti del versore $ hat(r) =$ r$ /r $
Risposta.
Mi sembra di aver compreso che il testo vuole la solo la relazione che determina il modulo, cerco di curare la simbologia corretta, richiamatemi se sto sbagliando,
dunque è: Questo r $ = x i + y j $ si può scrivere correttamente in questo modo $ vec(r) = x hat(i) + y hat(j) $
a) Il modulo del vettore r si indica in questo modo $ vec(|r|) $, ed è dato dalla seguente $ vec(|r|) =sqrt((r_x)^2+(r_y)^2)$, penso sia corretto scrivere in corsivo la componente, perchè non sto ricordando alternativamente come si può scrivere la componente del vettore!
b) Questo $ hat(r) =$ r$ /r $ può essere scritto in modo corretto così $ hat(r)= (vec(r))/r $, non sto capendo precisamente cosa vuole il punto b), ma provo a dare una risposta, dite che vuole che scrivo questo?
$ hat(r)= (xhat(i)+yhat(j))/r $
Dite che ho compreso correttamente
"Bad90":
Dici che è un errore di stampa
E mi sa proprio di si. Una ricerca con google conferma che c'è un segno meno:
[*:1l75ub3a]Fonte 1[/*:m:1l75ub3a]
[*:1l75ub3a]Fonte 2 (Wikipedia)[/*:m:1l75ub3a][/list:u:1l75ub3a]
P.S. Rinnovo la mia curiosità: che libro stai usando?
___________________________________________________________
Veniamo all'Esercizio 3.
[*:1l75ub3a]Il punto a) chiede il modulo del vettore $\vec r = x\hat i + y\hat j $. L'espressione che riporti è corretta:[/*:m:1l75ub3a][/list:u:1l75ub3a]
$|\vec r| = sqrt ((r_x)^2 + (r_y)^2)$
Puoi ancora continuare, infatti $r_x = x$ ed $r_y = y$, quindi:
$|\vec r| = sqrt (x^2 + y^2)$
[*:1l75ub3a]Il punto b) richiede invece le componenti del versore $\hat r$. Il testo scrive, giustamente, che tale versore è dato da:[/*:m:1l75ub3a][/list:u:1l75ub3a]
$\hat r = \vec r / |\vec r|$
Sostituendo si ottiene:
$\hat r = (x\hat i + y\hat j) / sqrt (x^2 + y^2) = x /sqrt (x^2 + y^2) *\hat i+ y/sqrt (x^2 + y^2)*\hat j$
Le componenti del versore, se non ho combinato pasticci, sono dunque:
$\hat r = (\hat r_x, \hatr_y) = (x /sqrt (x^2 + y^2),y/sqrt (x^2 + y^2))$
"JoJo_90":
[quote="Bad90"]E' un errore di stampa
E mi sa proprio di si. Una ricerca con google conferma che c'è un segno meno:
[*:33clf61s]Fonte 1[/*:m:33clf61s]
[*:33clf61s]Fonte 2 (Wikipedia)[/*:m:33clf61s][/list:u:33clf61s]
P.S. Rinnovo la mia curiosità: che libro stai usando?[/quote]
Per fortuna che ho voi
Accipicchia, sto beccando errori di stampa a manetta
Adesso vedo di mettere un appunto su questo errore
"JoJo_90":
Le componenti del versore, se non ho combinato pasticci, sono dunque:
$\hat r = (\hat r_x, \hatr_y) = (x /sqrt (x^2 + y^2),y/sqrt (x^2 + y^2))$
Ok,
confermo che non sono stato completo nella risposta b) Comunque è giusto dire che la componente di un vettore, si può scriverla in questo modo? $ vec(|r|) $ , giusto
No, il simbolo $|vec r|$ indica il modulo del vettore $\vec r$. Ma questo simbolo non lo avevi già chiarito o ho capito male io?
Per la componente di un vettore in realtà non c'è una precisa simbologia. Di solita, dato il vettore $\vec v$ le sue componenti si scrivono come $v_x$, $v_y$ e $v_z$ se $x$, $y$ e $z$, sono gli assi del sistema di riferimento scelto. Il vettore quindi si scriverà in componenti come:
$\vec v = (v_x, v_y, v_z)$
Tutto chiaro?
Per la componente di un vettore in realtà non c'è una precisa simbologia. Di solita, dato il vettore $\vec v$ le sue componenti si scrivono come $v_x$, $v_y$ e $v_z$ se $x$, $y$ e $z$, sono gli assi del sistema di riferimento scelto. Il vettore quindi si scriverà in componenti come:
$\vec v = (v_x, v_y, v_z)$
Tutto chiaro?
"JoJo_90":
$\vec v = (v_x, v_y, v_z)$
Tutto chiaro?
Si adesso tutto chiaro
Sai, sto cercando di curare la simbologia, e spesso faccio confusione! Ti ringrazio!
Esercizio 4
Un vettore $ vec(v) $ (una velocità) ha componenti $ v_x =34 m/s$, e $ v_y=-12m/s $. Si determinino il modulo e la direzione dei vettori:
a) $ vec(v) $
b) $ 2vec(v) $
c) $ -2vec(v) $
d) $ (1/(v)) vec(v) $
e) Se $ v $ e $ alpha $ rappresentano il modulo e direzione di $ vec(v) $ , si determinino le componenti del vettore di modulo $ 2v $ e direzione $ 2 alpha $ .
Un vettore $ vec(v) $ (una velocità) ha componenti $ v_x =34 m/s$, e $ v_y=-12m/s $. Si determinino il modulo e la direzione dei vettori:
a) $ vec(v) $
b) $ 2vec(v) $
c) $ -2vec(v) $
d) $ (1/(v)) vec(v) $
e) Se $ v $ e $ alpha $ rappresentano il modulo e direzione di $ vec(v) $ , si determinino le componenti del vettore di modulo $ 2v $ e direzione $ 2 alpha $ .
Guarda che non è affatto un errore di stampa del testo che usi.
Il punto è che normalmente il teorema viene enunciato utilizzando l'angolo interno del triangolo, che è supplementare di quello usato qui. Poiché i due angoli sono supplementari, i loro coseni sono opposti: $cos(pi-theta)=-cos(theta)$.
Quindi, se $theta$ è l'angolo della figura, l'enunciato del teorema $C=sqrt(A^2+B^2+2ABcos(theta))$ è coerente e corretto.
Se invece, come si usa di solito, l'angolo che si considera è quello interno al triangolo e cioè $gamma=pi-theta$, allora l'enunciato corretto diventa $C=sqrt(A^2+B^2-2ABcos(gamma))$.
Il punto è che normalmente il teorema viene enunciato utilizzando l'angolo interno del triangolo, che è supplementare di quello usato qui. Poiché i due angoli sono supplementari, i loro coseni sono opposti: $cos(pi-theta)=-cos(theta)$.
Quindi, se $theta$ è l'angolo della figura, l'enunciato del teorema $C=sqrt(A^2+B^2+2ABcos(theta))$ è coerente e corretto.
Se invece, come si usa di solito, l'angolo che si considera è quello interno al triangolo e cioè $gamma=pi-theta$, allora l'enunciato corretto diventa $C=sqrt(A^2+B^2-2ABcos(gamma))$.
Allora è tutto a posto. Ritiro la stupidata che ho detto.
Grazie mille chiaraotta v
JoJo, detta nel modo in cui ho fatto io, ti ha indotto a sbagliare, ma con la spiegazione di chiaraotta, abbiamo tolto tutti i dubbi 
vJoJo, detta nel modo in cui ho fatto io, ti ha indotto a sbagliare, ma con la spiegazione di chiaraotta, abbiamo tolto tutti i dubbi
Ritorno sull'Esercizio 4
Un vettore $ vec(v) $ (una velocità) ha componenti $ v_x =34 m/s$, e $ v_y=-12m/s $. Si determinino il modulo e la direzione dei vettori:
a) $ vec(v) $ ; b) $ 2vec(v) $; c) $ -2vec(v) $; d) $ (1/(v)) vec(v) $
e) Se $ v $ e $ alpha $ rappresentano il modulo e direzione di $ vec(v) $ , si determinino le componenti del vettore di modulo $ 2v $ e direzione $ 2 alpha $ .
Soluzione.
a)
Modulo:
$ vec(|v|)=sqrt((v_x)^2+(v_y)^2) $
$ vec(|v|)=sqrt((34 m/s)^2+(-12m/s)^2)=>sqrt(1300(m^2)/(s^2))=> 36.05m/s $
Direzione:
$ tg=(v_y)/(v_x) $
$ tg=(-12m/s)/(34m/s)=> -0.35 $
$ tg^(-1) (-0.35)= -19,44^o $
b)
Moltiplicare il modulo per $ 2 $.
Modulo
$ 2vec(|v|)= 2(36.05m/s)=>72.1 m/s $
Direzione
E' la stessa di a), cioè $ tg^(-1) (-0.35)= -19,44^o $
c)
Quì si ha un vettore opposto al precedente di a) e b)
Modulo
$ -2vec(|v|)= -2(36.05m/s)=>-72.1 m/s $
Direzione
Stessa direzione di a) e b) cioè $ tg^(-1) (-0.35)= -19,44^o $
Differisce solo il verso, ma non viene chiesto dalla traccia!
d)
Dalla simbologia data dal testo, ho :
Modulo
$ (1/vec(|v|)) vec(v) $
$ (1/(36.05m/s)) * (v_xhat(i) + v_yhat(j) ) $
$ (1/(36.05m/s)) * (34m/s hat(i) -12m/s hat(j) ) $
$ (34)/(36.05)hat(i) -(12)/(36.05) hat(j) $
$ 0.94hat(i) - 0.33hat(j) $
I calcoli mi portano ad avere un vettore aventi coordinate $ 0.94_x- 0.33_y $
Detto questo ho un vettore il cui modulo è:
$ vec(|v|)_2 = sqrt((0.94)^2 + (-0.33)^2) $
$ vec(|v|)_2 = sqrt(1)=> 1 $
Direzione
$ tan= (-0.33)/(0.94)= -0.35 $
$ tan^(-1) (-0.35) = -19.34^o $ quasi la stessa direzione del vettore dei punti precedenti
Considero i valori del punto a), quindi avrò:
e)
Il vettore che ha modulo $ 2vec(|v|)= 2(36.05m/s)=>72.1 m/s $, le componenti dipendono dalla direzione che è data da $ 2 alpha $ quindi l'angolo interessato sarà:
$ 2*(-19.44^o) = -38.44^o $
L'angolo $ -19.44^o $ ci dice che siamo nel quarto quadrante e quindi si ha:
$ tan ( alpha -19.44^o) $ con $ alpha = -38.88^o $
$ tan ( -38.88^o -19.44^o)=> tan (-57.88^o) $ aggiungo 360 gradi ed avrò $ tan (360^o -57.88^o)=> tan (302.12^o) $
Conosco l'angolo, posso determinare le componenti dalle seguenti relazioni:
$ cos alpha = (v_x)/(vec(|v|)) $
$ sen alpha = (v_y)/(vec(|v|)) $
Allora
$ v_x=cos alpha *vec(|v|)=>v_x=cos (302.12^o) * 72.1=>v_x = 38.33 $
$ v_y=sen alpha *vec(|v|)=>v_x=sen (302.12^o) * 72.1=>v_x = -61.06 $
P.S. Se tutti i calcoli sono fatti correttamente, mi sono trovato con qualche problemino nelle dimensioni, potreste darmi "cortesemente", qualche dritta sugli eventuali errori che ho commesso
Vi ringrazio!
Un vettore $ vec(v) $ (una velocità) ha componenti $ v_x =34 m/s$, e $ v_y=-12m/s $. Si determinino il modulo e la direzione dei vettori:
a) $ vec(v) $ ; b) $ 2vec(v) $; c) $ -2vec(v) $; d) $ (1/(v)) vec(v) $
e) Se $ v $ e $ alpha $ rappresentano il modulo e direzione di $ vec(v) $ , si determinino le componenti del vettore di modulo $ 2v $ e direzione $ 2 alpha $ .
Soluzione.
a)
Modulo:
$ vec(|v|)=sqrt((v_x)^2+(v_y)^2) $
$ vec(|v|)=sqrt((34 m/s)^2+(-12m/s)^2)=>sqrt(1300(m^2)/(s^2))=> 36.05m/s $
Direzione:
$ tg=(v_y)/(v_x) $
$ tg=(-12m/s)/(34m/s)=> -0.35 $
$ tg^(-1) (-0.35)= -19,44^o $
b)
Moltiplicare il modulo per $ 2 $.
Modulo
$ 2vec(|v|)= 2(36.05m/s)=>72.1 m/s $
Direzione
E' la stessa di a), cioè $ tg^(-1) (-0.35)= -19,44^o $
c)
Quì si ha un vettore opposto al precedente di a) e b)
Modulo
$ -2vec(|v|)= -2(36.05m/s)=>-72.1 m/s $
Direzione
Stessa direzione di a) e b) cioè $ tg^(-1) (-0.35)= -19,44^o $
Differisce solo il verso, ma non viene chiesto dalla traccia!
d)
Dalla simbologia data dal testo, ho :
Modulo
$ (1/vec(|v|)) vec(v) $
$ (1/(36.05m/s)) * (v_xhat(i) + v_yhat(j) ) $
$ (1/(36.05m/s)) * (34m/s hat(i) -12m/s hat(j) ) $
$ (34)/(36.05)hat(i) -(12)/(36.05) hat(j) $
$ 0.94hat(i) - 0.33hat(j) $
I calcoli mi portano ad avere un vettore aventi coordinate $ 0.94_x- 0.33_y $
Detto questo ho un vettore il cui modulo è:
$ vec(|v|)_2 = sqrt((0.94)^2 + (-0.33)^2) $
$ vec(|v|)_2 = sqrt(1)=> 1 $
Direzione
$ tan= (-0.33)/(0.94)= -0.35 $
$ tan^(-1) (-0.35) = -19.34^o $ quasi la stessa direzione del vettore dei punti precedenti
Considero i valori del punto a), quindi avrò:
e)
Il vettore che ha modulo $ 2vec(|v|)= 2(36.05m/s)=>72.1 m/s $, le componenti dipendono dalla direzione che è data da $ 2 alpha $ quindi l'angolo interessato sarà:
$ 2*(-19.44^o) = -38.44^o $
L'angolo $ -19.44^o $ ci dice che siamo nel quarto quadrante e quindi si ha:
$ tan ( alpha -19.44^o) $ con $ alpha = -38.88^o $
$ tan ( -38.88^o -19.44^o)=> tan (-57.88^o) $ aggiungo 360 gradi ed avrò $ tan (360^o -57.88^o)=> tan (302.12^o) $
Conosco l'angolo, posso determinare le componenti dalle seguenti relazioni:
$ cos alpha = (v_x)/(vec(|v|)) $
$ sen alpha = (v_y)/(vec(|v|)) $
Allora
$ v_x=cos alpha *vec(|v|)=>v_x=cos (302.12^o) * 72.1=>v_x = 38.33 $
$ v_y=sen alpha *vec(|v|)=>v_x=sen (302.12^o) * 72.1=>v_x = -61.06 $
P.S. Se tutti i calcoli sono fatti correttamente, mi sono trovato con qualche problemino nelle dimensioni, potreste darmi "cortesemente", qualche dritta sugli eventuali errori che ho commesso
Vi ringrazio!
Andiamo per ordine e cominciamo col primo punto.
Punto a):
Punto a):
- [*:zgyxxrqk]Modulo[/*:m:zgyxxrqk][/list:u:zgyxxrqk]
Il procedimento è corretto, numericamente si potrebbe fare un piccolissimo appunto sull'approssimazione.
Infatti $sqrt (1300)$ restituisce $36,055...$. Volendo approssimare ala seconda cifra decimale, il risultato sarà $36,06 m/s$. La regola per approssimare correttamente è semplice: dato il numero $XX,XXY$ se vuoi approssimare a due cifre, si procede così:
- se la cifra $Y$ è compresa fra $0$ e $4$, la seconda cifra decimale rimane così com'è;
- se la cifra $Y$ è compresa fra $5$ e $9$, la seconda cifra decimale si aumenta di uno (è il caso di $36,055$ che diventa $36,06$, essendo la terza cifra $Y = 5$.
- [*:zgyxxrqk]Direzione[/*:m:zgyxxrqk][/list:u:zgyxxrqk]
Corretto. Unico appunto: attenzione che $tan^(-1)$ rappresenta l'inverso della tangente, ovvero la cotangente: $1/tan\alpha = cot \alpha$. Ma, la funzione che restituisce l'angolo, nota la sua tangente, è l'arcotangente.
Indicare l'arcotangente con $tan^(-1)$ è un abuso delle calcolatrici, nelle quali l'arcotangente è indicata erroneamente con $tan^(-1)$, invece che con $arctan\alpha$.
Punto b):
- [*:zgyxxrqk]Modulo[/*:m:zgyxxrqk][/list:u:zgyxxrqk]
Corretto, anche se non precisissimo. Più correttamente, il modulo del vettore $2\vec v$ è $|2\vec v|$ e non $2|\vec v|$.
- [*:zgyxxrqk]Direzione[/*:m:zgyxxrqk][/list:u:zgyxxrqk]
Corretto.
Punto c):
- [*:zgyxxrqk]Modulo[/*:m:zgyxxrqk][/list:u:zgyxxrqk]
Sbagliato. Ricorda che il modulo di un vettore è una quantità sempre non negativa.
Dato il vettore $-2\vec v$, il suo modulo è:
$|-2\vec v| = |-2|*|\vec v| = 2 * \vec v = 2* 36,06 = 72,12 m/s$
Quindi campanello d'allarme quando una quantità che ti deve venire per forza positiva (o nulla) ti viene negativa.
- [*:zgyxxrqk]Direzione[/*:m:zgyxxrqk][/list:u:zgyxxrqk]
Corretto.
Punto c):
- [*:zgyxxrqk]Modulo[/*:m:zgyxxrqk][/list:u:zgyxxrqk]
In realtà quì c'è poco da calcolare. Il testo ti dà il vettore $1/v * \vec v$ che altro non è che il versore del vettore $\vec v$. Senza fare nessun conto, si può affermare che il modulo è quindi pari ad $1$ (ed infatti ti è venuto anche dai calcoli).
- [*:zgyxxrqk]Direzione[/*:m:zgyxxrqk][/list:u:zgyxxrqk]
Anche quì non c'è da calcolare nulla. Il versore deve necessariamente avere la stessa direzione del vettore di cui è versore (è esso infatti che definisce la direzione di un vettore).
Punto e):
Questo non l'ho capito tanto bene come l'hai svolto.
Io avrei fatto così: conosco il vettore $\vec v = (v_x\hat i, v_y\hat j) = (34 \hat i,-12 \hat j)$. Inoltre conosco la sua direzione, data dall'inclinazione rispetto all'asse $x$, ovvero $\alpha = -19,44"°"$.
Si richiede di calcolare le componenti del vettore che ha modulo $|2\vec v|$ e inclinazione $2\alpha$.
Tale vettore sarà un vettore di componenti:
$2\vec v = 2 (v_x\hat i, v_y\hat j) = (2v_x\hat i, 2v_y\hat j)$
So che le componenti si possono calcolare come:
$"componente lungo"" "x = "modulo del vettore" * "coseno dell'angolo formato con l'asse x"$
$"componente lungo"" "y = "modulo del vettore" * "seno dell'angolo formato con l'asse x"$
Quindi:
$2v_x = |2\vec v|*\cos alpha = |2*35,06|*\cos (-19,44) = 56,14$ $m$
$2v_x = |2\vec v|*\sin alpha = |2*35,06|*\sin(-19,44) = - 45,27$ $m$
Perfetto, ti ringrazio per le correzioni!
Prego .
.
"chiaraotta":
Il punto è che normalmente il teorema viene enunciato utilizzando l'angolo interno del triangolo, che è supplementare di quello usato qui. Poiché i due angoli sono supplementari, i loro coseni sono opposti: $cos(pi-theta)=-cos(theta)$.
Quindi, se $theta$ è l'angolo della figura, l'enunciato del teorema $C=sqrt(A^2+B^2+2ABcos(theta))$ è coerente e corretto.
Se invece, come si usa di solito, l'angolo che si considera è quello interno al triangolo e cioè $gamma=pi-theta$, allora l'enunciato corretto diventa $C=sqrt(A^2+B^2-2ABcos(gamma))$.
In base a questo messaggio in quote, ho trovato un esercizio, ecco quì:
Come bisogna dimostrare
A me viene spontaneo dire che il teorema del coseno nella traccia dell'esercizio, è riferito all'angolo interno, ma non capisco come bisogna fare a dimostrarlo
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