Esercizi sui Versori

[Bad90]

Esercizio 1

Testo dell'esercizio:

E' corretto dire che se ho un angolo in gradi con il versore j di $ 49^o $ , l'angolo misurato dall'asse i sia di $ 90^o - 49^o = 41^o $ Insomma, quando calcolo le componenti, devo prendere in considerazione l'angolo $ 41^o $ , giusto

Ecco l'immagine:

Ecco il movimento, da precisare che è allo stesso livello orizzontale e quindi è da considerare sul piano, ma io per un fatto visivo, ho preferito elevarlo, quindi il percorso è quello sul piano:

Ecco il percorso sul piano:

a) Le componenti sono dati dalla seguenti relazioni:

Essendo nel primo quadrante, abbiamo versori i sull’asse delle $ x $ ed j sull’asse delle $ y $ . Le componenti del vettore, sono dati dalle seguenti:

Cx= C*cos α
Cy= C*sen α

$Cx = 340m*cos 41^o $
$Cy = 340m*sen 41^o $

$ Cx= 256.60 m $
$ Cy= 223.06 m $

b) Le componenti dall’ingresso dell’istituto di fisica a quello della biblioteca, sono gli stessi, l’inica cosa che varia è il verso della freccia, nell’immagine ho disegnato il vettore a che va dalla biblioteca all’istituto di fisica, mentre il b che va dall’ingresso dell’istituto di fisica alla biblioteca. Ovviamente gli ho dato una traslazione per un fatto visivo, ma i vettori sono identici, solo di verso opposto, quindi le componenti sono:

Cx= C*cos α
Cy= C*sen α

$Cx = 340m*cos 41^o $
$Cy = 340m*sen 41^o $

$ Cx= 256.60 m $
$ Cy= 223.06 m $

c) Il percorso c) è lo stesso del percorso a) solo che a partire dalla biblioteca ad arrivare all’istituto di fisica, compie un percorso in altezza diversa, cioè a 35 m, quindi comincia a camminare dalle origini degli assi ad arrivare al punto di altezza 35m, come si vede nell’immagine:

Qui le componenti sono da rappresentare in 3D, infatti non si è più solamente nel piano, ma anche in altezza, e quindi entra in gioco anche la componente Cz.
Senza fare calcoli, possiamo arrivare alla conclusione che la componente è:

$ Cz=35 m $

Ecco la componente in altezza:

Cosa ne dite

[Bad90]

Esercizio 5

a) Dimostrare che se $ vec(C)=vec(A)+vec(B) $ , allora $ |A-B|<=C<=A+B $
b) Quanto misura l'angolo compreso tra $ vec(A) $ e $ vec(B) $ se $ |A-B|=C $
c) E se $ A+B=C $

Come bisogna impostare le soluzioni

Vi ringrazio anticipatamente!

[Sk_Anonymous]

"Bad90":[quote="chiaraotta"]


Il punto è che normalmente il teorema viene enunciato utilizzando l'angolo interno del triangolo, che è supplementare di quello usato qui. Poiché i due angoli sono supplementari, i loro coseni sono opposti: $cos(pi-theta)=-cos(theta)$.
Quindi, se $theta$ è l'angolo della figura, l'enunciato del teorema $C=sqrt(A^2+B^2+2ABcos(theta))$ è coerente e corretto.
Se invece, come si usa di solito, l'angolo che si considera è quello interno al triangolo e cioè $gamma=pi-theta$, allora l'enunciato corretto diventa $C=sqrt(A^2+B^2-2ABcos(gamma))$.

In base a questo messaggio in quote, ho trovato un esercizio, ecco quì:

Come bisogna dimostrare

A me viene spontaneo dire che il teorema del coseno nella traccia dell'esercizio, è riferito all'angolo interno, ma non capisco come bisogna fare a dimostrarlo [/quote]

Bad, ma guarda bene la figura che hai messo tu! Non è altro che la figura che ha messo Chiaraotta. L'angolo interno $\phi$ del tuo esempio è proprio l'angolo $\gamma$ che dice Chiaraotta, e cioè il supplementare di $\theta$. Quindi la dimostrazione è quella che ti ha già dato lei.

[Bad90]

"navigatore":
Bad, ma guarda bene la figura che hai messo tu! Non è altro che la figura che ha messo Chiaraotta. L'angolo interno $\phi$ del tuo esempio è proprio l'angolo $\gamma$ che dice Chiaraotta, e cioè il supplementare di $\theta$. Quindi la dimostrazione è quella che ti ha già dato lei.

Ok,
Si infatti ho fatto un quote del messaggio di chiarotta, per riagganciarmi allo stesso discorso, in quanto l'esercizio mi sembrava soddisfatto da quella spiegazione, ma volevo esserne sicuro!

[Bad90]

Non sto capendo l'esercizio 5!
Ho compreso chiaramente che $ vec(C)=vec(A)+vec(B) $ , mi sembra ovvio che:

$ |A-B|<=C<=A+B $

Ma come faccio a dimostrarlo?

Se attribuisco dei numeri:

$ A=10; B=5 $ allora $ C=15 $

Dunque:

$ |10-5|<=15<=15 $

$ 5<=15<=15 $

E allora? Cosa si deve dire?
Ho le idee confuse perche' nei vettori, il segno meno, significa che la direzione di un vettore e' opposta a quella positiva, quindi

Grazie mille!

[Bad90]

Esercizio 6
Due spostamenti sono dati da $ vec(d)=(2.1m)hat(i) + (-1.3m)hat(j) $ ed $ vec(e)=(0.8m)hat(i) + (1.6m)hat(j) $ . Determinare gli angoli tra:

a) $ vec(d) $ ed $ vec(e) $
b) $vec(d) $ ed $ vec(f) $ ove $ vec(f)=vec(d)+vec(e) $
c) $ vec(f) $ ed $ vec(g) $ ove $ vec(g) = vec(d) - vec(e) $