Esercizi sui circuiti RC
Dato il seguente circuito:
X è un induttore di induttanza L=100mH. Il circuito è in condizioni stazionarie e devo calcolare la corrente $i'$ nel resistore R' e la differenza di potenziale $V_B$ - $V_A$
R=1 k$ Omega $
R'=R/2
$epsilon_1$ = 6V
$epsilon_2$ = $2epsilon_1$
Ho semplificato il circuito mettendo in serie le resistenze:
R + R = 2R
Req = 2R // 2R = R
dopo ho applicato la Leggi di Kirchhoff e ricavato il sistema
Maglia superiore: $ epsilon_1 - R' i' -Req i_1 = 0 $
Maglia inferiore:$- epsilon_2 + R' i' - R i_2 = 0 $
Nodi = $ i' = i_1 + i_2 $
Il mio problema è che non riesco a ricavare la corrente $i'$ perché non riesco a risolvere il sistema. Volevo chiedere, questi sistemi si possono risolvere con i metodi di sostituzione e addizione sempre oppure esiste qualche meccanismo diverso? esistono casi particolari?
Nelle soluzioni degli esercizi noto che ogni tanto vengono ricavate le correnti dopo varie sostituzioni altre volte vengono fatte cose tipo:
Maglia superiore: -$epsilon_1$ + 3R $i_1'$ + $R'i'$ = 0
Maglia inferiore: $epsilon_1$ - R $i_2$ - R' $i'$ = 0
diventa $ rArr $ 3R $i_1'$ - R $i_2$ = 0
e da qui ricavo:
$i_2$ = 3$i_1$
$i'$ = 4$i_1$
$i_1$ = $epsilon$ / 11R
Quando applico un caso e quando l'altro? Ci sono delle regole particolari da seguire?
Grazie in anticipo.
X è un induttore di induttanza L=100mH. Il circuito è in condizioni stazionarie e devo calcolare la corrente $i'$ nel resistore R' e la differenza di potenziale $V_B$ - $V_A$
R=1 k$ Omega $
R'=R/2
$epsilon_1$ = 6V
$epsilon_2$ = $2epsilon_1$
Ho semplificato il circuito mettendo in serie le resistenze:
R + R = 2R
Req = 2R // 2R = R
dopo ho applicato la Leggi di Kirchhoff e ricavato il sistema
Maglia superiore: $ epsilon_1 - R' i' -Req i_1 = 0 $
Maglia inferiore:$- epsilon_2 + R' i' - R i_2 = 0 $
Nodi = $ i' = i_1 + i_2 $
Il mio problema è che non riesco a ricavare la corrente $i'$ perché non riesco a risolvere il sistema. Volevo chiedere, questi sistemi si possono risolvere con i metodi di sostituzione e addizione sempre oppure esiste qualche meccanismo diverso? esistono casi particolari?
Nelle soluzioni degli esercizi noto che ogni tanto vengono ricavate le correnti dopo varie sostituzioni altre volte vengono fatte cose tipo:
Maglia superiore: -$epsilon_1$ + 3R $i_1'$ + $R'i'$ = 0
Maglia inferiore: $epsilon_1$ - R $i_2$ - R' $i'$ = 0
diventa $ rArr $ 3R $i_1'$ - R $i_2$ = 0
e da qui ricavo:
$i_2$ = 3$i_1$
$i'$ = 4$i_1$
$i_1$ = $epsilon$ / 11R
Quando applico un caso e quando l'altro? Ci sono delle regole particolari da seguire?
Grazie in anticipo.
Risposte
Proverò a darti una mano, spero di non sbagliare ....
In condizione stazionare L'induttore non produrrà nessuna fem di autoinduzione , per cui posso non considerarlo nel calcolo delle correnti.
Io ho diviso il circuito in tre maglie.
Maglia 1 è quella relativa alla $\epsilon1$
Maglia 2 quella con le sole resistenze
Maglia 3 relativa $\epsilon2$
Sulle tre maglie ho dato un verso di percorrenza a ciascuna corrente ( quello antiorario) , denominando le rispettive correnti all interno di ogni maglia con $i1$, $i2$, $i3$.
Impostando il sistema ottengo tre equazioni , ogniuna per ogni maglia.
Maglia 1
$-\epsilon1 + (i1-i3)*R' +(i1-i2)*2R=0$
Maglia 2
$i2 *R +(i2-i1)*2R+i2 *R=0$
Maglia 3
$ (i3-i1)*R' + \epsilon2 + i3*R=0$
Risolvendo il sistema troverai le tre correnti $i1,i2,i3$
Quella da te richiesta sarà la corrente sulla resistenza $R'$ ovvero la differenza $i1-i3$
Nel caso il valor fosse negativo non farti prendere dal panico basterà scambiare il verso di una delle tre correnti ed il gioco è fatto...
Spero che la mia soluzione possa esser esatta , sono nuovo su questo forum....
In condizione stazionare L'induttore non produrrà nessuna fem di autoinduzione , per cui posso non considerarlo nel calcolo delle correnti.
Io ho diviso il circuito in tre maglie.
Maglia 1 è quella relativa alla $\epsilon1$
Maglia 2 quella con le sole resistenze
Maglia 3 relativa $\epsilon2$
Sulle tre maglie ho dato un verso di percorrenza a ciascuna corrente ( quello antiorario) , denominando le rispettive correnti all interno di ogni maglia con $i1$, $i2$, $i3$.
Impostando il sistema ottengo tre equazioni , ogniuna per ogni maglia.
Maglia 1
$-\epsilon1 + (i1-i3)*R' +(i1-i2)*2R=0$
Maglia 2
$i2 *R +(i2-i1)*2R+i2 *R=0$
Maglia 3
$ (i3-i1)*R' + \epsilon2 + i3*R=0$
Risolvendo il sistema troverai le tre correnti $i1,i2,i3$
Quella da te richiesta sarà la corrente sulla resistenza $R'$ ovvero la differenza $i1-i3$
Nel caso il valor fosse negativo non farti prendere dal panico basterà scambiare il verso di una delle tre correnti ed il gioco è fatto...
Spero che la mia soluzione possa esser esatta , sono nuovo su questo forum....
Non vedo dove stia il problema. Riscrivendo il sistema in modo più uniforme, dove $i_3$ è il tuo $i'$, $R_2$ è il tuo $R_(eq)$, $R_3$ è il tuo $R$ (se non ho fatto confusione)
$V_1 - R_1i_3 -R_2 i_1 = 0$
$V_2 + R_1i_3+ R_3 i_2 = 0$
$i_3 = i_1 + i_2$
Sostituendo $i_3$ nelle prime due, si ha
$V_1 - R_1i_1-R_1i_2 -R_2 i_1 = 0$
$V_2 + R_1i_1 + R_1I_2 + R_3 i_2 = 0$
poi
$V_1= (R_1+R_2)i_1 + R_1i_2$
$V_2= - R_1i_1 - (R_1+R_3)i_2$
dopo di che dovrebbe essere facile...
$V_1 - R_1i_3 -R_2 i_1 = 0$
$V_2 + R_1i_3+ R_3 i_2 = 0$
$i_3 = i_1 + i_2$
Sostituendo $i_3$ nelle prime due, si ha
$V_1 - R_1i_1-R_1i_2 -R_2 i_1 = 0$
$V_2 + R_1i_1 + R_1I_2 + R_3 i_2 = 0$
poi
$V_1= (R_1+R_2)i_1 + R_1i_2$
$V_2= - R_1i_1 - (R_1+R_3)i_2$
dopo di che dovrebbe essere facile...
Io tanto per cominciare non capisco nemmeno i dati. 
"MatematiNO":
...
R=1 k$ Omega $, R'=R/2, $epsilon_1$ = 6V, $epsilon_2$ = 6V, 2 $epsilon_1$
Quante complicazioni inutili 
\({i}'=\frac{\varepsilon _{2}+\varepsilon_{1} }{2R}\)
\({i}'=\frac{\varepsilon _{2}+\varepsilon_{1} }{2R}\)
"Exodus":
Quante complicazioni inutili
\({i}'=\frac{\varepsilon _{2}+\varepsilon_{1} }{2R}\)
E come ci arrivi? E non è un po' strano che non compaia $R'$?
"mgrau":
E come ci arrivi? E non è un po' strano che non compaia $R'$?
Ci arrivo facendo delle semplificazioni circuitali, e non è per niente
strano che non compaia quella $R'$.
Insomma il circuito lo puoi ridurrre in questo modo:
[fcd="Soluzione"][FIDOCAD ]
EV 60 58 50 48
LI 55 48 55 45
LI 55 58 55 60
LI 55 49 55 51
LI 54 50 56 50
LI 54 56 56 56
LI 75 38 76 42
LI 76 42 77 38
LI 77 38 78 42
LI 78 42 79 38
LI 79 38 80 42
LI 70 40 74 40
LI 75 38 74 40
LI 85 40 81 40
LI 80 42 81 40
LI 55 60 55 65
LI 55 65 100 65
LI 55 45 55 40
LI 55 40 70 40
LI 85 40 100 40
LI 100 40 100 45
EV 105 58 95 48
LI 100 48 100 45
LI 100 58 100 60
LI 100 49 100 51
LI 99 50 101 50
LI 99 56 101 56
LI 100 60 100 65
PV 72 67 78 67 75 70 75 70
LI 75 65 75 67
TY 76 31 5 3 0 0 0 * R
TY 108 51 5 3 0 0 0 * Vx
TY 41 50 5 3 0 0 0 * V2[/fcd]
Calcolo la corrente:
\({i}'=\frac{1}{R}\left ( V_{2} -V_{x}\right )\)
\(V_{x}=\frac{1}{2}\left ( V_{2}-V_{1} \right )\)
Sostituisco nell'espressione di sopra e trovo la corrente:
\({i}'=\frac{V_{1}+V_{2}}{2R}\)
oppure se preferisci:
\({i}'=\frac{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}{2R}\)
Le riduzioni che ho fatto sul circuito sono abbastanza banali, le lascio a te
Comunque questa è solamente una delle possibili soluzioni, si possono adottare
anche altri metodi
"Exodus":
\({i}'=\frac{V_{1}+V_{2}}{2R}\)
oppure se preferisci:
\({i}'=\frac{\varepsilon _{1}+\varepsilon _{2}}{2R}\)
Le riduzioni che ho fatto sul circuito sono abbastanza banali, le lascio a te
Comunque questa è solamente una delle possibili soluzioni, si possono adottare
anche altri metodi
La soluzione è corretta, ma sinceramente non mi è chiaro perché il circuito viene ridotto cosi tanto! Oltre la $R_(eq)$ che ho trovato non mi sembrava si potesse ridurre ulteriormente
"mgrau":
Non vedo dove stia il problema. Riscrivendo il sistema in modo più uniforme, dove $i_3$ è il tuo $i'$, $R_2$ è il tuo $R_(eq)$, $R_3$ è il tuo $R$ (se non ho fatto confusione)
$V_1 - R_1i_3 -R_2 i_1 = 0$
$V_2 + R_1i_3+ R_3 i_2 = 0$
$i_3 = i_1 + i_2$
Sostituendo $i_3$ nelle prime due, si ha
$V_1 - R_1i_1-R_1i_2 -R_2 i_1 = 0$
$V_2 + R_1i_1 + R_1I_2 + R_3 i_2 = 0$
poi
$V_1= (R_1+R_2)i_1 + R_1i_2$
$V_2= - R_1i_1 - (R_1+R_3)i_2$
dopo di che dovrebbe essere facile...
Con questo metodo invece non riesco a ricavare la soluzione, avevo provato anche io a svolgerlo cosi ma non mi tornano i calcoli.
"MatematiNO":
La soluzione è corretta, ma sinceramente non mi è chiaro perché il circuito viene ridotto cosi tanto!
E' solo questione di esperienza, sono anni che giocherello con queste "puttanate"
Comunque puoi sempre seguire la via più lunga, ovvero quella senza riduzione del circuito appplicando le leggi di Kirchhoff
"Exodus":
e non è per niente strano che non compaia quella $R'$.
Si vede che mi sono rincoglionito... "non è per niente strano che la corrente che attraversa $R'$ non dipenda da $R'$" ? Mah...a me continua a sembrare strano... forse ho travisato il testo... mi pare che se $i'$ ha un valore che non dipende da $R'$, abbiamo risolto i problemi energetici del mondo... la potenza dissipata in $R'$ è $i'^2R'$, quindi facendo crescere $R'$ ...
Ma ripeto, evidentemente mi sfugge qualcosa.
"Exodus":
... E' solo questione di esperienza, ...
L' OP non ti ha chiesto di dimostrare la tua "esperienza", ma di indicargli una chiara strada risolutiva, e quindi per aiutarlo dovresti spiegare come sei pervenuto a quella soluzione.
"mgrau":
... mi pare che se $i'$ ha un valore che non dipende da $R'$, ....
R' non compare esplicitamente in quanto è stata usata la sua uguaglianza con R/2, fornita dai dati del problema.
...
"RenzoDF":
R' non compare esplicitamente in quanto è stata usata la sua uguaglianza con R/2, fornita dai dati del problema.
Ah, ecco quel che mi era sfuggito...
"mgrau":
... Riscrivendo il sistema in modo più uniforme, dove $i_3$ è il tuo $i'$, $R_2$ è il tuo $R_(eq)$, $R_3$ è il tuo $R$ (se non ho fatto confusione)
$V_1 - R_1i_3 -R_2 i_1 = 0$
$V_2 + R_1i_3+ R_3 i_2 = 0$
$i_3 = i_1 + i_2$
...
Visto che dalla terza equazione si capisce che le due correnti i1 e i2 le hai scelte verso sinistra, direi che la seconda equazione non sia corretta.
"RenzoDF":
L' OP non ti ha chiesto di dimostrare la tua "esperienza", ma di indicargli una chiara strada risolutiva, e quindi per aiutarlo dovresti spiegare come sei pervenuto a quella soluzione.
Il tuo nick non mi è nuovo, che per caso sei parente di qualcun'altro con lo stesso nick
Per quanto riguarda la riduzione non sò se l'utente ha già studiato la trasformazione dei generatori.
Io l'ho semplificato seguendo questa strada, comunque anche con la KVL va bene lo stesso, ci sono solamente 2 anelli.
"Exodus":
...Il tuo nick non mi è nuovo, che per caso sei parente di qualcun'altro con lo stesso nick
Penso che sia ormai noto a tutti che sono la stessa persona.
"Exodus":
... Per quanto riguarda la riduzione non sò se l'utente ha già studiato la trasformazione dei generatori.
Io l'ho semplificato seguendo questa strada, ...
Potresti provare a spiegargliela ugualmente, non credi?
"RenzoDF":
Potresti provare a spiegargliela ugualmente, non credi?
Certo , se è interessato e ha studiato la trasformazione dei generatori,
altrimenti è meglio che procede con quello che conosce..
Comunque una spiegazione passo passo richiede un pò di tempo, sia per il disegno dei circuiti con fidocad sia con la scrittura delle formule e comunque non ho il talento per insegnare, mai frequentato nessuna scuola quindi si dovrebbe accontentare di qualche spiegazione esotica e non tecnica
"Exodus":
... quindi si dovrebbe accontentare di qualche spiegazione esotica e non tecnica ...
Una "esotica" e semplicemente discorsiva, sarebbe di certo utile a molti lettori, a me per primo.
"RenzoDF":
Una "esotica" e semplicemente discorsiva, sarebbe di certo utile a molti lettori, a me per primo.
Cioè tu genio dell'elettrotecnica e matematica vuoi una spiegazione di quello che ho fatto.....
Scusa ma non amo essere preso in giro, sai benissimo come sono giunto a quella soluzione, se l'utente è interessato me lo chiederà lui, o sei il suo avvocato ?
"RenzoDF":
Ci riprovo:
[quote="MatematiNO"]...
R=1 k$ Omega $, R'=R/2, $epsilon_1$ = 6V, $epsilon_2$ = 6V, 2 $epsilon_1$
Cosa significa quel $... , 2 \ \epsilon_1$ finale
[/quote]Mi scuso ho corretto, non mi ero accorto dei dati scritti male!
"Exodus":
[quote="RenzoDF"]
Potresti provare a spiegargliela ugualmente, non credi?
Certo , se è interessato e ha studiato la trasformazione dei generatori,
altrimenti è meglio che procede con quello che conosce..
[/quote]
No, non le ho studiate! Mi basterebbe capire come si risolve quel sistema!!
"RenzoDF":
[quote="mgrau"]... Riscrivendo il sistema in modo più uniforme, dove $ i_3 $ è il tuo $ i' $, $ R_2 $ è il tuo $ R_(eq) $, $ R_3 $ è il tuo $ R $ (se non ho fatto confusione)
$ V_1 - R_1i_3 -R_2 i_1 = 0 $
$ V_2 + R_1i_3+ R_3 i_2 = 0 $
$ i_3 = i_1 + i_2 $
...
Visto che dalla terza equazione si capisce che le due correnti i1 e i2 le hai scelte verso sinistra, direi che la seconda equazione non sia corretta.[/quote]
Si, quella corretta dovrebbe essere:
$ epsilon_1 - R' i' -Req i_1 = 0 $
$- epsilon_2 + R' i' - R i_2 = 0 $
$ i' = i_1 + i_2 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo