Esercizi su elettricità e magnetismo?

[MementoMori2]

Salve ragazzi, ho alcuni dubbi riguardo a questo esercizio soprattutto per quanto riguarda il risultato:



Essendo $ \rho $ proporzionale a $ r $ scrivo: $ \rho = A*r $ con $ A $ costante da determinare.

Sapendo $ Q $ lo calcolo come $ Q = \int_0^R (\rho * dV) $ da cui ricavo che $ A= Q/ (\pi * R^4) $

a questo punto calcolo $ E $ con il teorema di Gauss, data la simmetria e quindi : $ E = A*r^2 / (3 \varepsilon ) $

Da questo $ E $ ricavo $ V (R) -V(0) = \int_0^R (E * dr ) $ ma viene : $ V(R) -V(0) = 399 V $ a differenza di quello riportato .

[mgrau]

Direi che se $ Q = \int_0^R (\rho * dV) $ dove $dV = 4\piR^2 dR$, alla fine ti viene $ A= (3Q)/ (4\pi * R^4) $

[MementoMori2]

Eh no, perchè $ \rho = Ar $ e quindi $ Q= \int_0^R A r 4 \pi r^2 dr $

[mgrau]

Vero. Ma quel valore di $E$ come lo hai trovato, esattamente?

[MementoMori2]

Con gauss : $ E = Q/ (\varepsilon S) $ quindi $ E = \rho * 4/3 * pi r^3 / ( \varepsilon * 4 *\pi * r^2 ) $ e sostituendo $ \rho = A*r $ trovo il campo elettrico riportato. Ma credo che sia sbagliato per il motivo che hai detto tu prima, infatti se $ 399*3/4 = 300 $, hanno commesso il tuo stesso errore

[mgrau]

Il tuo valore di $E = (Ar^2)/(3\epsilon)$ non è buono, come puoi verificare se al posto di $r$ metti $R$, per cui il campo dovrebbe risultare $E = Q/(4\pi\epsilon*R^2)$, e invece viene $Q/(3\pi\epsilon*R^2)$, cioè appunto sbagliato di quel fattore $4/3$ che ti dà fastidio.

Quel che non va è il modo con cui calcoli la carica da utilizzare nel teorema di Gauss: tu dici che sostituisci $\rho = Ar$,
ma non devi sostituire, devi integrare da 0 a r; sostituendo, consideri la densità di carica nella sfera tutta uguale a quella che c'è in superficie.
La $q$ (contenuta nella sfera di raggio r) è invece $\int_0^r\rhodV = \int_0^r Ar4\pir^2dr = .... (Q r^4)/R^4$ e poi $E = q/(\epsilonS) = (Qr^4)/(4\pi\epsilon R^4r^2) = (Qr^2)/(4\pi\epsilon R^4) = (Ar^2)/(4\epsilon)$

[MementoMori2]

Si, giusto che errore scemo , grazie