Esercizi su campo elettrico
Ciao ho appena iniziato a prepararmi per l'esame di elettricità e magnetismo. Mi sono imbattutto subito in un problema che non riesco proprio a risolvere...
1) Una sbarretta sottile lunga L giace lungo l’asse y del piano cartesiano, il punto medio coincidente
con l’origine. La sua densit`a lineare di carica varia con y secondo la relazione $K(y)= b|y|$ . Calcolare il campo elettrico in un punto di coordinate (x,0)
Questa è il primo esercizioche posto spero di non aver fatto pasticci...grazie per l'aiuto:)
1) Una sbarretta sottile lunga L giace lungo l’asse y del piano cartesiano, il punto medio coincidente
con l’origine. La sua densit`a lineare di carica varia con y secondo la relazione $K(y)= b|y|$ . Calcolare il campo elettrico in un punto di coordinate (x,0)
Questa è il primo esercizioche posto spero di non aver fatto pasticci...grazie per l'aiuto:)
Risposte
Benvenuto nel forum!
Dovresti presentare qualche tentativo di risoluzione...
Ti dò qualche dritta.
- la simmetria dice che il campo in (x,0) è diretto come x
- sempre per simmetria, possiamo prendere solo la metà superiore della sbarretta, poi si moltiplicherà per 2
- il campo prodotto da un elemento infinitesimo $dy$ è quello di una carica puntiforme di valore $dq = K*dy= b*y*dy$ a una distanza $d = sqrt(x^2+y^2)$
- di questo campo interessa la componente x, quindi il suo modulo va moltiplicato per $x/(sqrt(x^2+y^2))$
Ti basta?
Dovresti presentare qualche tentativo di risoluzione...
Ti dò qualche dritta.
- la simmetria dice che il campo in (x,0) è diretto come x
- sempre per simmetria, possiamo prendere solo la metà superiore della sbarretta, poi si moltiplicherà per 2
- il campo prodotto da un elemento infinitesimo $dy$ è quello di una carica puntiforme di valore $dq = K*dy= b*y*dy$ a una distanza $d = sqrt(x^2+y^2)$
- di questo campo interessa la componente x, quindi il suo modulo va moltiplicato per $x/(sqrt(x^2+y^2))$
Ti basta?
ciao grazie di tutto! scusa ma ieri ero da telefono e non riuscivo a caricare i tentativi... Allora avevo visto scomponendo il campo elettrico nelle due componenti, che l'unica influente era quella lungo x e, data la simmetria del problema posso calcolare E per la parte superiore e moltiplicarlo per due.
Il valore $x/ (\sqrt{x^2+y^2})$ deriva dalla sostituzione del coseno giusto?
I miei problemi sorgono quando mi trovo a calcolare l'integrale di
$\int ( (b y dy) / r^2) (x/ (\sqrt{x^2+y^2}))$
è corretto sostituire $r^2$ con $x^2+y^2$ e poi svolgere l'integrale in dy? Avendo sia K che r non costanti non so come comportarmi, fino ad ora ho sempre fatto esercizi con corpi uniformemente carichi...
Il valore $x/ (\sqrt{x^2+y^2})$ deriva dalla sostituzione del coseno giusto?
I miei problemi sorgono quando mi trovo a calcolare l'integrale di
$\int ( (b y dy) / r^2) (x/ (\sqrt{x^2+y^2}))$
è corretto sostituire $r^2$ con $x^2+y^2$ e poi svolgere l'integrale in dy? Avendo sia K che r non costanti non so come comportarmi, fino ad ora ho sempre fatto esercizi con corpi uniformemente carichi...
$\int ( (b y dy) / r^2) (x/ (\sqrt{x^2+y^2})) =bx \int( y) /(x^2+y^2)^(3/2)dy$
Perfetto tutto torna grazie mille per la pazienza
Vorrei proporre un altro esercizio, lo faccio qui visto che si tratta sempre di campi elettrici.
Due sfere uguali, non conduttrici, di raggio R, hanno densit`a di carica distribuita con simmetria sferica secondo la legge $ρ(r) = kr^2$. I centri delle due sfere sono posti a distanza $l$ dall’origine. Calcolare il campo elettrico nei punti$ P1 = (0,l/2,0) e P2 = (R/2−l,0,0)$, sapendo che$ R = 5 cm, l = 20 cm e k = 10−3 Cm−5$
Non so come procedere, avevo inizialmente provato a trovarmi il campo infinitesimo $dE$ sostituendo a $dq$ , $ ρ(r) dV$ ma mi sono subito bloccato per il calcolo dell'integrale... in particolare non so rispetto a cosa integrare e quindi non so come muovermi per le sostituzioni
Allora ho optato per utilizzare il flusso del campo elettrico, sfruttando il fatto che esso, in questo caso è $\Phi(E)= \Sigma E$ ma di nuovo mi blocco...
Inoltre non ho ben chiaro come siano disposte queste due sfere e di sicuro non facilita le cose
Sono proprio una frana
Due sfere uguali, non conduttrici, di raggio R, hanno densit`a di carica distribuita con simmetria sferica secondo la legge $ρ(r) = kr^2$. I centri delle due sfere sono posti a distanza $l$ dall’origine. Calcolare il campo elettrico nei punti$ P1 = (0,l/2,0) e P2 = (R/2−l,0,0)$, sapendo che$ R = 5 cm, l = 20 cm e k = 10−3 Cm−5$
Non so come procedere, avevo inizialmente provato a trovarmi il campo infinitesimo $dE$ sostituendo a $dq$ , $ ρ(r) dV$ ma mi sono subito bloccato per il calcolo dell'integrale... in particolare non so rispetto a cosa integrare e quindi non so come muovermi per le sostituzioni
Allora ho optato per utilizzare il flusso del campo elettrico, sfruttando il fatto che esso, in questo caso è $\Phi(E)= \Sigma E$ ma di nuovo mi blocco...
Inoltre non ho ben chiaro come siano disposte queste due sfere e di sicuro non facilita le cose
Sono proprio una frana
Se il testo è proprio quello, fai bene a non aver chiaro come sono disposte le sfere... che vuol dire a distanza $l$ dall'origine?
Vogliamo tirare a indovinare? Supponiamo che i centri stiano in $(l,0,0)$ e $-l,0,0)$ (è una scelta arbitraria intendiamoci).
Non occorrono integrali (solo uno semplicissimo).
Il punto P1 si trova a distanza nota dai centri delle due sfere ($d = l/2sqrt(5)$). Le sfere agiscono come se tutta la carica fosse nel centro, quindi basta trovare la carica totale con l'ntegrale $int rho(r) 4pir^2dr = int kr^2 4pir^2dr$ fra 0 e $R$.
Basta trovare il campo di una sfera, prendere la componente y e moltiplicare per 2. La componente x si annulla.
Il punto P2 si trova all'interno di una sfera, a metà del raggio. Conta solo la carica più interna,quindi quella che sta nella sfera di raggio $R/2$. Stesso integrale di prima cambiando gli estremi. A questo campo va aggiunto quello dell'altra sfera.
Vogliamo tirare a indovinare? Supponiamo che i centri stiano in $(l,0,0)$ e $-l,0,0)$ (è una scelta arbitraria intendiamoci).
Non occorrono integrali (solo uno semplicissimo).
Il punto P1 si trova a distanza nota dai centri delle due sfere ($d = l/2sqrt(5)$). Le sfere agiscono come se tutta la carica fosse nel centro, quindi basta trovare la carica totale con l'ntegrale $int rho(r) 4pir^2dr = int kr^2 4pir^2dr$ fra 0 e $R$.
Basta trovare il campo di una sfera, prendere la componente y e moltiplicare per 2. La componente x si annulla.
Il punto P2 si trova all'interno di una sfera, a metà del raggio. Conta solo la carica più interna,quindi quella che sta nella sfera di raggio $R/2$. Stesso integrale di prima cambiando gli estremi. A questo campo va aggiunto quello dell'altra sfera.
Grazie mille, il testo è proprio quello( ho fatto copia incolla), appena arrivo a casa provo a impostarlo cosi e ti faccio sapere se i conti tornano... purtroppo senza un impostazione grafica era difficile capire come agire.
Avevo dimenticato la figura
Allora, ho provato a fare i calcoli per P1.
$\int 4\pi k r^4 dr $ fatto da $ 0 a R$ viene $ q= 4 \pi k (R^5 / 5) = 4 \pi 6.25 10^(-11) C$
Calcolo il campo elettrico generato dalla sfera di destra con carica totale q
$(1/(4 \pi \epsilon)) 4 \pi q / r^2$ con le semplificazioni viene $E= (q/ \epsilon) (1/(5l^2 /4))=2840 N/C $
Ora trovo l'angolo che E forma con l'asse y facendo $ tg \theta = x/y = l/(l/2)= 63 $
Quindi $Ey= E sen(63) $ ed $E(P1)= 2 Ey$
Giusto? il risultato che ho sulla scheda è diverso ma penso possa dipendere dalla posizione scelta delle sfere ( a meno di miei errori di calcolo o di applicazione delle formule ovviamente)
E se le sferette fossero messe ad x=l ma con una coordinata z uguale ad R/2, quindi adiacenti? In questo caso le componenti lungo z di E si annullerebbero no? mentre quelle lungo x e lungo y sarebbero il doppio...
in ogni caso per completezza metto le soluzioni fornitemi dalla scheda $( E(P1)=126,3 N/C , E(P2)=302,7 N/C)$
$\int 4\pi k r^4 dr $ fatto da $ 0 a R$ viene $ q= 4 \pi k (R^5 / 5) = 4 \pi 6.25 10^(-11) C$
Calcolo il campo elettrico generato dalla sfera di destra con carica totale q
$(1/(4 \pi \epsilon)) 4 \pi q / r^2$ con le semplificazioni viene $E= (q/ \epsilon) (1/(5l^2 /4))=2840 N/C $
Ora trovo l'angolo che E forma con l'asse y facendo $ tg \theta = x/y = l/(l/2)= 63 $
Quindi $Ey= E sen(63) $ ed $E(P1)= 2 Ey$
Giusto? il risultato che ho sulla scheda è diverso ma penso possa dipendere dalla posizione scelta delle sfere ( a meno di miei errori di calcolo o di applicazione delle formule ovviamente)
E se le sferette fossero messe ad x=l ma con una coordinata z uguale ad R/2, quindi adiacenti? In questo caso le componenti lungo z di E si annullerebbero no? mentre quelle lungo x e lungo y sarebbero il doppio...
in ogni caso per completezza metto le soluzioni fornitemi dalla scheda $( E(P1)=126,3 N/C , E(P2)=302,7 N/C)$
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