Esercizi guida legge Gauss
So che sono esercizi molto facili ma una risoluzione di questi esercizi mi aiuterebbe a capire meglio i casi più complicati, grazie 
1) Un campo elettrostatico uniforme E = a$\vec x$ + b$\vec y$ interseca una superficie piana di area Σ. Calcolare il flusso Φ del campo E attraverso la superficie Σ se: a) essa sta nel piano xy, b) nel piano xz, c) nel piano yz. (Sol. a) Φ = 0, b) Φ = aΣ, c) Φ = bΣ)
2) Calcolare il flusso Φ del campo elettrostatico E = $5*10^5*x$$\vec z$ V/m con x espresso in metri, attraverso il quadrato di lato a = 5 cm, orientato con la normale concorde con $\vec z$. (Sol. Φ = $(5*10^5*a^3)/(2)$)
3) Il campo elettrostatico E varia con la legge E = $(5 + 4x^2)*10^5$$\vec x$ V/m con x espresso in metri. Calcolare: a) il flusso Φ attraverso la superficie di lati a = 10 cm sull asse y, b = 15 cm sull asse z, c = 20 cm sull asse x. (Sol. Φ = $4*10^5*a*b*c^2$ )
1) Un campo elettrostatico uniforme E = a$\vec x$ + b$\vec y$ interseca una superficie piana di area Σ. Calcolare il flusso Φ del campo E attraverso la superficie Σ se: a) essa sta nel piano xy, b) nel piano xz, c) nel piano yz. (Sol. a) Φ = 0, b) Φ = aΣ, c) Φ = bΣ)
2) Calcolare il flusso Φ del campo elettrostatico E = $5*10^5*x$$\vec z$ V/m con x espresso in metri, attraverso il quadrato di lato a = 5 cm, orientato con la normale concorde con $\vec z$. (Sol. Φ = $(5*10^5*a^3)/(2)$)
3) Il campo elettrostatico E varia con la legge E = $(5 + 4x^2)*10^5$$\vec x$ V/m con x espresso in metri. Calcolare: a) il flusso Φ attraverso la superficie di lati a = 10 cm sull asse y, b = 15 cm sull asse z, c = 20 cm sull asse x. (Sol. Φ = $4*10^5*a*b*c^2$ )
Risposte
Se non sei in grado di fare questi non vedo come potresti fare con quelli più complicati.
Come dire: non riesco a saltare un ostacolo da 50cm, mi aiutate così poi potrò saltarne uno da 70cm ?
Detto ciò, alcune soluzioni di 1) non sono esatte.
Qui vogliono che uno almeno faccia un tentativo di soluzione, tu cosa hai provato a fare ?
Come dire: non riesco a saltare un ostacolo da 50cm, mi aiutate così poi potrò saltarne uno da 70cm ?
Detto ciò, alcune soluzioni di 1) non sono esatte.
Qui vogliono che uno almeno faccia un tentativo di soluzione, tu cosa hai provato a fare ?
A me sembra più stupido cercare di saltare un ostacolo da 70 cm senza aver fatto quello da 50 cm, comunque....
Ecco come ho provato a farli io:
1) Nel primo esercizio il campo elettrostatico è chiaramente parallelo al piano xy, di conseguenza E sarà perpendicolare al vettore normale del piano e il flusso, essendo prodotto scalare, nullo. Per quanto riguarda il piano yz, se consideriamo il campo E scomposto in Ex e Ey, avremo che Ex sarà parallelo e Ey perpendicolare, di conseguenza il flusso per quanto detto sopra sarà uguale ad aΣ, dove Σ è la superficie del piano. Per quanto riguarda il piano xz, il discorso si inverte, Ex perpendicolare ed Ey parallelo quindi il flusso sarà bΣ
2) Il quadrato in questione si trova sul piano xy, di conseguenza campo e vettore normale sono paralleli. Detto ciò, ho provato a consideraro un infinitesimo del lato sull asse x, quindi un dx, e moltiplicandolo con il lato a otteniamo un infinitesimo rettangolino adx. Per completare il nostro quadrato dobbiamo estendere il rettangolino fino all altro lato a, di conseguenza sapendo che il flusso è campo elettrostatico per superficie, ottengo:
Φ = $\int_{0}^{a} E(x)adx$ e da qui si ottiene il risultato sopra
3) In questo trovo più difficoltà. Ho provato a ragionare come in quello di sopra, quindi considero prima una faccia ab del parallelepipedo che si trova sul piano zy. Considerato un piccolo rettangolino ady, lo estendo a tutto il lato b, e ottengo:
$\int_{0}^{b} E(x)ady$ cioè E(x)a $\int_{0}^{b} dy$ cioè abE(x)
Questo è il passaggio di cui sono meno convinto. Dato che con abE(x) abbiamo il flusso di una sola faccia, non ci resta che moltiplicare per la differenza di campo elettrostatico tra campo minimo e campo massimo, e da questa definizione ottengo:
Φ = ab[E(c) - E(0)] e di conseguenza ottengo il risultato di sopra. Questa formula sta scritta sul libro ma non so se l ha ricavata da un integrale o è definita come ho detto io. Help
Ecco come ho provato a farli io:
1) Nel primo esercizio il campo elettrostatico è chiaramente parallelo al piano xy, di conseguenza E sarà perpendicolare al vettore normale del piano e il flusso, essendo prodotto scalare, nullo. Per quanto riguarda il piano yz, se consideriamo il campo E scomposto in Ex e Ey, avremo che Ex sarà parallelo e Ey perpendicolare, di conseguenza il flusso per quanto detto sopra sarà uguale ad aΣ, dove Σ è la superficie del piano. Per quanto riguarda il piano xz, il discorso si inverte, Ex perpendicolare ed Ey parallelo quindi il flusso sarà bΣ
2) Il quadrato in questione si trova sul piano xy, di conseguenza campo e vettore normale sono paralleli. Detto ciò, ho provato a consideraro un infinitesimo del lato sull asse x, quindi un dx, e moltiplicandolo con il lato a otteniamo un infinitesimo rettangolino adx. Per completare il nostro quadrato dobbiamo estendere il rettangolino fino all altro lato a, di conseguenza sapendo che il flusso è campo elettrostatico per superficie, ottengo:
Φ = $\int_{0}^{a} E(x)adx$ e da qui si ottiene il risultato sopra
3) In questo trovo più difficoltà. Ho provato a ragionare come in quello di sopra, quindi considero prima una faccia ab del parallelepipedo che si trova sul piano zy. Considerato un piccolo rettangolino ady, lo estendo a tutto il lato b, e ottengo:
$\int_{0}^{b} E(x)ady$ cioè E(x)a $\int_{0}^{b} dy$ cioè abE(x)
Questo è il passaggio di cui sono meno convinto. Dato che con abE(x) abbiamo il flusso di una sola faccia, non ci resta che moltiplicare per la differenza di campo elettrostatico tra campo minimo e campo massimo, e da questa definizione ottengo:
Φ = ab[E(c) - E(0)] e di conseguenza ottengo il risultato di sopra. Questa formula sta scritta sul libro ma non so se l ha ricavata da un integrale o è definita come ho detto io. Help
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