Esercizi Geometria delle Masse
Ciao a tutti! Ho dei problemi con degli esercizi di Fisica Matematica!
Ad esempio, un esercizio come questo:
La prima cosa che faccio è trovare il baricentro, quindi considero i due quadratini in altro, trovo il baricentro di ognuno di essi e poi trovo il baricentro totale dei due, che è proprio al centro della retta che il congiunge. Poi trovo il baricentro del rettangolo grande, quindi so che il baricentro si trova sulla retta che congiunge i due baricentri trovati.
Quindi, sapendo che $ G $ avrà coordinate $ (0,y_G,0) $ , applico:
$ (G-O)=1/m*(m_1(G_1-O)+m_2(G_2-O)) $ , con $ G_1-= O $ e $ m_1 $ e $ m_2 $ note.
Quindi, trovato il baricentro, so che la terna centrale di inerzia avrà come origine il baricentro e come assi l'asse di simmetria che congiunge i due baricentri dei due corpi e due assi normali ad esso. Una terna principale è una qualsiasi terna che abbia come asse l'asse principale. Quindi potrei definire un terna principale quella con origine $ G_1 $ e come terna centrale quella con origine $ G $ .
Quindi in questo modo avrei risposto ai due quesiti. E' corretto?
Ora, qualcuno mi può aiutare con i calcoli dei momenti centrali e principali d'inerzia?
Ad esempio, un esercizio come questo:
La prima cosa che faccio è trovare il baricentro, quindi considero i due quadratini in altro, trovo il baricentro di ognuno di essi e poi trovo il baricentro totale dei due, che è proprio al centro della retta che il congiunge. Poi trovo il baricentro del rettangolo grande, quindi so che il baricentro si trova sulla retta che congiunge i due baricentri trovati.
Quindi, sapendo che $ G $ avrà coordinate $ (0,y_G,0) $ , applico:
$ (G-O)=1/m*(m_1(G_1-O)+m_2(G_2-O)) $ , con $ G_1-= O $ e $ m_1 $ e $ m_2 $ note.
Quindi, trovato il baricentro, so che la terna centrale di inerzia avrà come origine il baricentro e come assi l'asse di simmetria che congiunge i due baricentri dei due corpi e due assi normali ad esso. Una terna principale è una qualsiasi terna che abbia come asse l'asse principale. Quindi potrei definire un terna principale quella con origine $ G_1 $ e come terna centrale quella con origine $ G $ .
Quindi in questo modo avrei risposto ai due quesiti. E' corretto?
Ora, qualcuno mi può aiutare con i calcoli dei momenti centrali e principali d'inerzia?
Risposte
Rispondo in merito al secondo argomento, la figura relativa al primo è per me incomprensibile, e oltre tutto si vede male.
Hai una figura piana, e già il disegno suggerisce una scomposizione.
Sai trovare il baricentro della figura? Sai trovare un asse di simmetria?
Dato un corpo solido qualsiasi, per un punto qualunque (anche non appartenente al corpo) si può considerare una terna di assi cartesiani e si può definire una "matrice di inerzia" simmetrica, quindi con nove elementi di cui solo sei indipendenti, che sono i tre momenti di inerzia rispetto ai tre assi e i momenti centrifughi rispetto ai tre piani coordinati. Diagonalizzando la matrice, si possono definire i momenti principali di inerzia rispetto al punto.
In sostanza, la matrice diagonale ha diversi da zero solo i tre momenti di inerzia rispetto a questi assi "principali".
LA terna principale di inerzia riferita al baricentro si chiama "terna centrale di inerzia" del corpo.
Se il corpo ha delle simmetrie, i tre assi centrali di inerzia si determinano facilmente. Per una figura piana, qualunque asse perpendicolare al piano è un asse principale di inerzia, si intende relativo al punto di intersezione col piano.
Perciò per una figura piana restano da trovare gli altri due assi centrali di inerzia, quelli giacenti nel piano.
Quindi che devi fare?
1) trovare il baricentro
2)trovare un asse di simmetria nel piano, che è centrale di inerzia
3) trova l'altro asse centrale.
Naturalmente tutto quello che ho detto si dimostra.
Hai una figura piana, e già il disegno suggerisce una scomposizione.
Sai trovare il baricentro della figura? Sai trovare un asse di simmetria?
Dato un corpo solido qualsiasi, per un punto qualunque (anche non appartenente al corpo) si può considerare una terna di assi cartesiani e si può definire una "matrice di inerzia" simmetrica, quindi con nove elementi di cui solo sei indipendenti, che sono i tre momenti di inerzia rispetto ai tre assi e i momenti centrifughi rispetto ai tre piani coordinati. Diagonalizzando la matrice, si possono definire i momenti principali di inerzia rispetto al punto.
In sostanza, la matrice diagonale ha diversi da zero solo i tre momenti di inerzia rispetto a questi assi "principali".
LA terna principale di inerzia riferita al baricentro si chiama "terna centrale di inerzia" del corpo.
Se il corpo ha delle simmetrie, i tre assi centrali di inerzia si determinano facilmente. Per una figura piana, qualunque asse perpendicolare al piano è un asse principale di inerzia, si intende relativo al punto di intersezione col piano.
Perciò per una figura piana restano da trovare gli altri due assi centrali di inerzia, quelli giacenti nel piano.
Quindi che devi fare?
1) trovare il baricentro
2)trovare un asse di simmetria nel piano, che è centrale di inerzia
3) trova l'altro asse centrale.
Naturalmente tutto quello che ho detto si dimostra.
Grazie mille! Il primo problema l'ho risolto da me, avevo preso una cosa per un'altra!
Mi sapresti dire dove posso studiare le cose che hai detto per la risoluzione dell'esercizio?
Mi sapresti dire dove posso studiare le cose che hai detto per la risoluzione dell'esercizio?
Qualunque testo di Meccanica Razionale ha un capitolo dedicato alla geometria delle masse. Su Internet, basta cercare ad esempio "geometria delle masse" , e trovi quanta roba vuoi.
Affidati possibilmente a dispense scritte da docenti universitari. Puoi trovare anche esempi numerici di calcolo.
Per esempio, io ho trovato in pochi minuti queste :
http://dsg.uniroma1.it/Tocci/images/Dec ... aMasse.pdf
http://web.math.unifi.it/users/ricci/si ... _masse.pdf
Affidati possibilmente a dispense scritte da docenti universitari. Puoi trovare anche esempi numerici di calcolo.
Per esempio, io ho trovato in pochi minuti queste :
http://dsg.uniroma1.it/Tocci/images/Dec ... aMasse.pdf
http://web.math.unifi.it/users/ricci/si ... _masse.pdf
Grazie. Il prof non ci ha dato nessuna dispensa da cui studiare e tutto ciò che avevo erano alcuni appunti scritti malissimo derivanti dalle sue lezioni...
Ho studiato qualcosa, ma avrei alcuni dubbi sui calcoli. Qualcuno può chiarirmi alcune cose? Ho modificato il post iniziale.
Ho studiato qualcosa, ma avrei alcuni dubbi sui calcoli. Qualcuno può chiarirmi alcune cose? Ho modificato il post iniziale.
"ZxInfinitexZ":
…….
Quindi, trovato il baricentro, so che la terna centrale di inerzia avrà come origine il baricentro e come assi l'asse di simmetria che congiunge i due baricentri dei due corpi e due assi normali ad esso. Una terna principale è una qualsiasi terna che abbia come asse l'asse principale. Quindi potrei definire un terna principale quella con origine $ G_1 $ e come terna centrale quella con origine $ G $ .
LA terna centrale di inerzia ha origine nel baricentro $G$, che spero tu abbia trovato per bene: in fondo sono rettangoli!
Un evidente asse di simmetria è l'asse verticale passante per $G$, rispetto al quale la figura ha una simmetria speculare, "Destra - Sinistra": la vedi ? Questo asse è dunque uno dei due che devi cercare [ricordati, ti ho detto che trattandosi di una figura piana (ovvero, un sistema piano di masse) gli assi che devi cercare sonno solo due, perchè il terzo è quello perpendicolare al disegno in $G$) ].
L'altro asse centrale, è complanare alla figura, perpendicolare al precedente in $G$.
E così, hai finito la ricerca degli assi centrali.
Ora, qualcuno mi può aiutare con i calcoli dei momenti centrali e principali d'inerzia?
Centrali e principali, se riferiti a $G$, sono la stessa cosa.
Prendi un rif. cartesiano $(G,x,y)$ con origine in G, e assi quelli che hai trovato. Si tratta di calcolare, per ciascuno dei rettangoli, il momento di inerzia rispetto all'asse $x$ e quello rispetto all'asse $y$. Ciascuna rettangolo ha un momento di inerzia proprio, a cui devi aggiungere il termine di trasporto (Huygens-Steiner).
Vediamo se ho capito bene: trovato l'asse di simmetria, una terna principale è una qualsiasi terna che abbia come un asse l'asse di simmetria e l'origine su di esso. Se è corretto, allora la terna centrale è quella con origine in $ G $, mentre due terne principali possono essere quelli con origine in $ G_1 $ e $ G_2 $.
Ora, però, ho dei problemi sui calcoli. So che il momento di inerzia è calcolabile in questo modo: $ G_2int int_()^()mudelta^2 dx dy $
Il problema è che non ho compreso bene cosa sia questo $ delta $... Credo sia la distanza dalla terna per la quale calcolo il momento d'inerzia.
Vediamo un po' se riesco:
Vedendo la figura, allora per il corpo 1:
$ I_x'=muint_(-a)^(a) dx int_(-3b)^(3b)y^2 dy=36muab^3=3m_1b^2 $
$ I_y'=muint_(-a)^(a) x^2dx int_(-3b)^(3b)dy=4mua^3b=m_1/3a^2 $
Per il corpo 2:
$ I_x''=2muint_(a)^(2a) dx int_(-b/2)^(b/2)y^2dy=m_2/(12)b^2 $
$ I_y''=2muint_(a)^(2a) x^2dx int_(-b/2)^(b/2)dy=m_(2)7/3a^2 $
Ora dovrei riportare i valori dei momenti di un corpo rispetto alla terna principale dell'altro con H. Steiner. Riporto i momenti del corpo due rispetto alla terna principale con origine in $ G_1 $.
Quindi:
$ I_x'=I_x''+m_2delta^2=m_2(1/12b^2+4b^2)=49/12m_2b^2 $
$ I_y'=I_y''= m_27/3a^2 $
$ delta $ nel calcolo precedente è la distanza tra l'asse $ x'' $ della terna principale con origine $ G_2 $ e l'asse $ x' $ della terna principale con origine in $ G_1 $. Stessa cosa con $ y'' $ e $ y' $, ma in questo caso è 0 perché hanno l'asse di simmetria in comune.
Quindi calcolo il momento d'inerzia totale:
$ I_x'= 3m_1b^2 + 49/12m_2b^2= $
$ I_y'= m_1/3a^2+ m_(2)7/3a^2 $
Quindi sposto i momenti nella terna principale:
$ I_x=I_x'-mdelta^2 $
$ I_y=I_y' $
Con $ delta $ che è la distanza tra l'asse x di $ G_1 $ e l'asse x di $ G_2 $.
Teoricamente dovrei aver finito qui l'esercizio, ma non mi sono chiare alcune cose e non so se l'ho svolto bene...
Per calcolare i momenti d'inerzia, quindi, devo sempre fare quell'integrale doppio, con gli estremi dell'integrale che sarebbero le "distanze" per arrivare all'asse x o y della mia terna.
Poi un'altra cosa: se ho un corpo omogeneo e dei punti materiali, come calcolo il baricentro e momento d'inerzia dei punti materiali?
Grazie ancora!
Ora, però, ho dei problemi sui calcoli. So che il momento di inerzia è calcolabile in questo modo: $ G_2int int_()^()mudelta^2 dx dy $
Il problema è che non ho compreso bene cosa sia questo $ delta $... Credo sia la distanza dalla terna per la quale calcolo il momento d'inerzia.
Vediamo un po' se riesco:
Vedendo la figura, allora per il corpo 1:
$ I_x'=muint_(-a)^(a) dx int_(-3b)^(3b)y^2 dy=36muab^3=3m_1b^2 $
$ I_y'=muint_(-a)^(a) x^2dx int_(-3b)^(3b)dy=4mua^3b=m_1/3a^2 $
Per il corpo 2:
$ I_x''=2muint_(a)^(2a) dx int_(-b/2)^(b/2)y^2dy=m_2/(12)b^2 $
$ I_y''=2muint_(a)^(2a) x^2dx int_(-b/2)^(b/2)dy=m_(2)7/3a^2 $
Ora dovrei riportare i valori dei momenti di un corpo rispetto alla terna principale dell'altro con H. Steiner. Riporto i momenti del corpo due rispetto alla terna principale con origine in $ G_1 $.
Quindi:
$ I_x'=I_x''+m_2delta^2=m_2(1/12b^2+4b^2)=49/12m_2b^2 $
$ I_y'=I_y''= m_27/3a^2 $
$ delta $ nel calcolo precedente è la distanza tra l'asse $ x'' $ della terna principale con origine $ G_2 $ e l'asse $ x' $ della terna principale con origine in $ G_1 $. Stessa cosa con $ y'' $ e $ y' $, ma in questo caso è 0 perché hanno l'asse di simmetria in comune.
Quindi calcolo il momento d'inerzia totale:
$ I_x'= 3m_1b^2 + 49/12m_2b^2= $
$ I_y'= m_1/3a^2+ m_(2)7/3a^2 $
Quindi sposto i momenti nella terna principale:
$ I_x=I_x'-mdelta^2 $
$ I_y=I_y' $
Con $ delta $ che è la distanza tra l'asse x di $ G_1 $ e l'asse x di $ G_2 $.
Teoricamente dovrei aver finito qui l'esercizio, ma non mi sono chiare alcune cose e non so se l'ho svolto bene...
Per calcolare i momenti d'inerzia, quindi, devo sempre fare quell'integrale doppio, con gli estremi dell'integrale che sarebbero le "distanze" per arrivare all'asse x o y della mia terna.
Poi un'altra cosa: se ho un corpo omogeneo e dei punti materiali, come calcolo il baricentro e momento d'inerzia dei punti materiali?
Grazie ancora!
No, non hai capito bene, mi dispiace.
In ogni punto, sia dentro che fuori del corpo, puoi trovare una terna principale di inerzia per il corpo dato.
SE la terna principale che cerchi ha origine in $G$, baricentro del corpo, essa si chiama "centrale".
Hai trovato il baricentro di questa figura piana? Supponiamo di sì ( col beneficio dell'inventario…).
L'asse perpendicolare al foglio di disegno, passante per $G$, è uno degli assi centrali. Il primo.
L'asse nel piano della figura, verticale, passante per $G$, è un asse di simmetria, quindi (si dimostra…) è un asse centrale. Il secondo.
Il terzo asse, giace nel piano della figura, passa per $G$, ed è perpendicolare al secondo. Questo è il terzo asse centrale. Basta, non ce ne sono altri per $G$.
Ora, si tratta di determinare il momento di inerzia dell'intera figura rispetto a quello verticale e a quello orizzontale. Non c'è bisogno di calcoli di integrali, le formule per i momenti di inerzia dei rettangoli sono note. Se la densità superficiale è costante, come di solito in questi esercizi, puoi lasciar perdere la "massa". e calcolare il baricentro e i momenti di inerzia della "area".
Se ti riesce difficile questo, ti consiglio di prendere un buon libro di Meccanica Razionale, ripassare la teoria, e fare degli esercizi, a partire dai più semplici.
Io, più di così, mi devo mettere a fare i calcoli e scriverti le formule….
In ogni punto, sia dentro che fuori del corpo, puoi trovare una terna principale di inerzia per il corpo dato.
SE la terna principale che cerchi ha origine in $G$, baricentro del corpo, essa si chiama "centrale".
Hai trovato il baricentro di questa figura piana? Supponiamo di sì ( col beneficio dell'inventario…).
L'asse perpendicolare al foglio di disegno, passante per $G$, è uno degli assi centrali. Il primo.
L'asse nel piano della figura, verticale, passante per $G$, è un asse di simmetria, quindi (si dimostra…) è un asse centrale. Il secondo.
Il terzo asse, giace nel piano della figura, passa per $G$, ed è perpendicolare al secondo. Questo è il terzo asse centrale. Basta, non ce ne sono altri per $G$.
Ora, si tratta di determinare il momento di inerzia dell'intera figura rispetto a quello verticale e a quello orizzontale. Non c'è bisogno di calcoli di integrali, le formule per i momenti di inerzia dei rettangoli sono note. Se la densità superficiale è costante, come di solito in questi esercizi, puoi lasciar perdere la "massa". e calcolare il baricentro e i momenti di inerzia della "area".
Se ti riesce difficile questo, ti consiglio di prendere un buon libro di Meccanica Razionale, ripassare la teoria, e fare degli esercizi, a partire dai più semplici.
Io, più di così, mi devo mettere a fare i calcoli e scriverti le formule….
Ciao, grazie. Ho modificato le prime righe del post precedente perché mi ero espresso male. Quindi come faccio a trovare una o più terne principali con assi paralleli a quella centrale? Non posso scegliere quelle con origine in $ G_1 $ e $ G_2 $, visto che sono situati sull'asse centrale ?
C'è poco da fare, in casi come questo c'è solo da fare i calcoli e postarli, perché a parole non ci si capisce….purtroppo.
Innanzitutto vorrei chiederti : conosci le formule dei momenti centrali di inerzia di un rettangolo? Dato un rettangolo, di lati $L$ e $B$ , il momento di inerzia rispetto all'asse baricentrico parallelo a $L$ è dato da : $1/(12)LB^3$
e analogamente, il momento d'inerzia rispetto all'asse baricentrico parallelo a $B$ è dato da : $1/(12)BL^3$ .
Ci sei fin qui? Bene. Ora veniamo alla tua figura. La figura è come una $T$ , ed è più semplice scomporla in due soli rettangoli: uno verticale, che chiamo $R_1$, di lati : $5b$ e $2a$ , e uno orizzontale, che chiamo $R_2$, sopra al primo, di lati : $b$ e $4a$ . Chiaro?
Troviamo il baricentro della figura. Assumo un riferimento $Oxy$ con l'origine nel punto medio del lato inferiore del rettangolo verticale $R_1$. Quindi l'asse $y$ è l'asse di simmetria della figura.
Il baricentro del rettangolo $R_1$ ha coordinate : $x_1 = 0 $ ; $y_1 = 2.5b$
Il baricentro del rettangolo $R_2$ ha coordinate : $x_2 = 0 $ ; $y_2 = 5.5b$
Quindi il baricentro $G$ dell intera figura (di area $A$) ha coordinate :
$x_G = 0$
$y_G = 1/A*(10ab*2.5b + 4ab*5.5b) = (25ab^2 + 22ab^2)/(14ab) = (47)/(14)b$
chiaramente $G$ si trova più in alto del baricentro di $R_1$. Con origine in $G$, disegna la coppia di assi centrali di inerzia con asse verticale $\eta \equiv y$ e asse orizzontale $\xi$ parallelo a $x$.
Dobbiamo trovare i momenti di inerzia della figura rispetto a questi assi centrali. Comincio a calcolare i momenti d'inerzia "propri" dei due rettangoli :
1) rettangolo 1 => risp. all'asse orizzontale : $I_(1o) = 1/(12)(5b)^3*2a$ ; risp. all'asse verticale : $I_(1v)=1/(12)(2a)^3*5b$
2)rettangolo 2 => risp. all'asse orizzontale : $I_(2o) = 1/(12)b^3*4a$ ; risp. all'asse verticale : $I_(2v)=1/(12)(4a)^3*b$
Per calcolare il momento di inerzia di tutta la figura rispetto all'asse $\xi$ , che è orizzontale, bisogna sommare i due m.i. propri e due termini di trasporto . Quindi si ha ( $A_1$ e $A_2$ sono le aree dei due rettangoli ) :
$I_\xi = [ I_(1o) + A_1(y_1 - y_G)^2 ] + [ I_(2o) + A_2(y_2 - y_G)^2 ] $
Per calcolare il momento di inerzia di tutta la figura rispetto all'asse $\eta$ , è sufficiente sommare i due m.i. propri, poiché non c'è alcun termine di trasporto. Per cui :
$I_\eta = I_(1v) + I_(2v) $ .
E con ciò , hai finito il calcolo dei momenti centrali di inerzia.
Vuoi un'altra coppi di assi principali? Prendi un qualunque punto $P$ sull'asse $\eta$ diverso da $G$, e traccia la perpendicolare $\zeta$ in $P$ ; gli assi $\eta$ e $\zeta$ sono principali per $P$.
E se vuoi i momenti principali, ripeti la storia di prima. Evidentemente cambiano solo i termini d trasporto.
Quindi si può affermare che, congiungendo i due cdm dei due rettangolini in alto nella figura originale, tale congiungente costituisce, insieme con l'asse di simmetria $\eta\equivy$ prima detto, una coppia di assi principali di inerzia, relativa ovviamente al loro punto di intersezione.
Si può anzi dimostrare, per un qualunque corpo rigido senza assi di simmetria, il seguente teorema:
Dato un asse principale di inerzia determinato per un certo punto $O$ (uno dei tre della terna principale relativa a $O$, chiaro), condizione necessaria e sufficiente perché tale asse sia principale per tutti i suoi punti è che esso passi per il baricentro del corpo.
In altri termini : se un asse principale relativo a $O$ passa per $G$, esso è principale per tutti i suoi punti.
E se un asse è principale per tutti i suoi punti, esso passa per $G$.
La dimostrazione si trova nei buoni testi di Meccanica Razionale.
Innanzitutto vorrei chiederti : conosci le formule dei momenti centrali di inerzia di un rettangolo? Dato un rettangolo, di lati $L$ e $B$ , il momento di inerzia rispetto all'asse baricentrico parallelo a $L$ è dato da : $1/(12)LB^3$
e analogamente, il momento d'inerzia rispetto all'asse baricentrico parallelo a $B$ è dato da : $1/(12)BL^3$ .
Ci sei fin qui? Bene. Ora veniamo alla tua figura. La figura è come una $T$ , ed è più semplice scomporla in due soli rettangoli: uno verticale, che chiamo $R_1$, di lati : $5b$ e $2a$ , e uno orizzontale, che chiamo $R_2$, sopra al primo, di lati : $b$ e $4a$ . Chiaro?
Troviamo il baricentro della figura. Assumo un riferimento $Oxy$ con l'origine nel punto medio del lato inferiore del rettangolo verticale $R_1$. Quindi l'asse $y$ è l'asse di simmetria della figura.
Il baricentro del rettangolo $R_1$ ha coordinate : $x_1 = 0 $ ; $y_1 = 2.5b$
Il baricentro del rettangolo $R_2$ ha coordinate : $x_2 = 0 $ ; $y_2 = 5.5b$
Quindi il baricentro $G$ dell intera figura (di area $A$) ha coordinate :
$x_G = 0$
$y_G = 1/A*(10ab*2.5b + 4ab*5.5b) = (25ab^2 + 22ab^2)/(14ab) = (47)/(14)b$
chiaramente $G$ si trova più in alto del baricentro di $R_1$. Con origine in $G$, disegna la coppia di assi centrali di inerzia con asse verticale $\eta \equiv y$ e asse orizzontale $\xi$ parallelo a $x$.
Dobbiamo trovare i momenti di inerzia della figura rispetto a questi assi centrali. Comincio a calcolare i momenti d'inerzia "propri" dei due rettangoli :
1) rettangolo 1 => risp. all'asse orizzontale : $I_(1o) = 1/(12)(5b)^3*2a$ ; risp. all'asse verticale : $I_(1v)=1/(12)(2a)^3*5b$
2)rettangolo 2 => risp. all'asse orizzontale : $I_(2o) = 1/(12)b^3*4a$ ; risp. all'asse verticale : $I_(2v)=1/(12)(4a)^3*b$
Per calcolare il momento di inerzia di tutta la figura rispetto all'asse $\xi$ , che è orizzontale, bisogna sommare i due m.i. propri e due termini di trasporto . Quindi si ha ( $A_1$ e $A_2$ sono le aree dei due rettangoli ) :
$I_\xi = [ I_(1o) + A_1(y_1 - y_G)^2 ] + [ I_(2o) + A_2(y_2 - y_G)^2 ] $
Per calcolare il momento di inerzia di tutta la figura rispetto all'asse $\eta$ , è sufficiente sommare i due m.i. propri, poiché non c'è alcun termine di trasporto. Per cui :
$I_\eta = I_(1v) + I_(2v) $ .
E con ciò , hai finito il calcolo dei momenti centrali di inerzia.
Vuoi un'altra coppi di assi principali? Prendi un qualunque punto $P$ sull'asse $\eta$ diverso da $G$, e traccia la perpendicolare $\zeta$ in $P$ ; gli assi $\eta$ e $\zeta$ sono principali per $P$.
E se vuoi i momenti principali, ripeti la storia di prima. Evidentemente cambiano solo i termini d trasporto.
Quindi si può affermare che, congiungendo i due cdm dei due rettangolini in alto nella figura originale, tale congiungente costituisce, insieme con l'asse di simmetria $\eta\equivy$ prima detto, una coppia di assi principali di inerzia, relativa ovviamente al loro punto di intersezione.
Si può anzi dimostrare, per un qualunque corpo rigido senza assi di simmetria, il seguente teorema:
Dato un asse principale di inerzia determinato per un certo punto $O$ (uno dei tre della terna principale relativa a $O$, chiaro), condizione necessaria e sufficiente perché tale asse sia principale per tutti i suoi punti è che esso passi per il baricentro del corpo.
In altri termini : se un asse principale relativo a $O$ passa per $G$, esso è principale per tutti i suoi punti.
E se un asse è principale per tutti i suoi punti, esso passa per $G$.
La dimostrazione si trova nei buoni testi di Meccanica Razionale.
Perfetto, tutto chiaro. Grazie ancora
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo