Esercizi di meccanica razionale
Ciao a tutti,
Spero possiate aiutarmi con qualche esercizio di meccanica razionale che non riesco ad approcciare, sopratutto aiutarmi a capire il ragionamento che ce dietro in modo da poterlo applicare anche ad altri problemi
Un punto materiale P di massa 2m è sospeso, tramite due corde inestendibili di massa trascurabile e lunghezza a, a due punti materiali Q e R ciascuno di massa m, liberi di scorrere senza attrito lungo una guida orizzontale liscia. Il sistema può muoversi in un piano verticale e su di esso agisce la forza di gravità. Assumiamo per semplicità che P, si muova sempre lungo un'asse verticale e che R e Q si muovano simmetricamente (cioè che il punto mediano del segmento che li unisce O, resti fermo). Quanto gradi di libertà ha il sistema?Scrivere le equazioni del moto
Per quanto riguarda la prima domanda, la risposta dovrebbe essere 1 in quanto il punto materiale puo muoversi solo in direzione verticale, ma se consideriamo il sistema globale formato dai 3 punti materiali , i gdl potrebbero essere 2 , direzione verticale e orizzontale. Potrebbe essere corretto come ragionamento?
Grazie in anticipo per il vostro contributo
Spero possiate aiutarmi con qualche esercizio di meccanica razionale che non riesco ad approcciare, sopratutto aiutarmi a capire il ragionamento che ce dietro in modo da poterlo applicare anche ad altri problemi
Un punto materiale P di massa 2m è sospeso, tramite due corde inestendibili di massa trascurabile e lunghezza a, a due punti materiali Q e R ciascuno di massa m, liberi di scorrere senza attrito lungo una guida orizzontale liscia. Il sistema può muoversi in un piano verticale e su di esso agisce la forza di gravità. Assumiamo per semplicità che P, si muova sempre lungo un'asse verticale e che R e Q si muovano simmetricamente (cioè che il punto mediano del segmento che li unisce O, resti fermo). Quanto gradi di libertà ha il sistema?Scrivere le equazioni del moto
Per quanto riguarda la prima domanda, la risposta dovrebbe essere 1 in quanto il punto materiale puo muoversi solo in direzione verticale, ma se consideriamo il sistema globale formato dai 3 punti materiali , i gdl potrebbero essere 2 , direzione verticale e orizzontale. Potrebbe essere corretto come ragionamento?
Grazie in anticipo per il vostro contributo
Risposte
Ok per i gdl. Viste le ipotesi, questo è un problema ad un solo gdl. Per quanto riguarda l'eq del moto, io procederei con la lagrangiana, prendendo come variabile del problema il semiangolo al vertice in basso. Fatto questo, l'eq del moto verrebbe molto semplice.
Quindi:
$L = 1/2 m dot x^2 + 1/2 m dot x^2 + 1/2 2m dot y^2 - U = m(dot x^2 + dot y^2) - 2 m g y =$ ...
Quindi:
$L = 1/2 m dot x^2 + 1/2 m dot x^2 + 1/2 2m dot y^2 - U = m(dot x^2 + dot y^2) - 2 m g y =$ ...
Ciao Arrigo,
Che considerazioni hai fatto per stabilire che il sistema ha un grado di libertà? Inoltre cosa cambiarebbe e come procederesti se il sistema fosse quello allegato?
Grazie ancora
Che considerazioni hai fatto per stabilire che il sistema ha un grado di libertà? Inoltre cosa cambiarebbe e come procederesti se il sistema fosse quello allegato?
Grazie ancora
Nel primo problema, se ho capito bene il testo, basta un solo angolo per definire tutte le posizioni, quindi si tratta di un problema ad un gdl.
Nel secondo problema, i gdl sono 2, $x$ e $\theta$ ....
Nel secondo problema, i gdl sono 2, $x$ e $\theta$ ....
Ok, ho capito. Grazie.
Quimdi relativamente all ultimo problema, per scrivere la lagrangiana e le relative equazioni di lagrange, conviene sceglire un sistema di riferimento la cui origine si trova dove inizia il filo , a contatto con la massa M . Le coordinate di m risulterebbero ×=l*sen(teta) e y=l*cos (teta) mentre per M l unica coordinata sarebbe x. A questo punto derivando rispetto al tempo trovo la velocita delle 2 masse, ma vome posso esprimere la coordinata x di M in termini di teta? In quanto per poter trovare l equazione di lagrange devo derivare i termini dell espressione dell energia cinetica rispetto a teta , corretto?
Avresti seguito la stessa strada per risolvere il quesito?
Grazie ancora per il supporto
Quimdi relativamente all ultimo problema, per scrivere la lagrangiana e le relative equazioni di lagrange, conviene sceglire un sistema di riferimento la cui origine si trova dove inizia il filo , a contatto con la massa M . Le coordinate di m risulterebbero ×=l*sen(teta) e y=l*cos (teta) mentre per M l unica coordinata sarebbe x. A questo punto derivando rispetto al tempo trovo la velocita delle 2 masse, ma vome posso esprimere la coordinata x di M in termini di teta? In quanto per poter trovare l equazione di lagrange devo derivare i termini dell espressione dell energia cinetica rispetto a teta , corretto?
Avresti seguito la stessa strada per risolvere il quesito?
Grazie ancora per il supporto
La lagrangiana mi risulta (orientando l'asse delle y in su):
$L=T-U=1/2 M dot x^2 + 1/2 m [(dot x+l dot\theta cos \theta)^2+(l dot \theta sin \theta)^2]-mg(-l cos\theta)$ ...
$L=T-U=1/2 M dot x^2 + 1/2 m [(dot x+l dot\theta cos \theta)^2+(l dot \theta sin \theta)^2]-mg(-l cos\theta)$ ...
In questo caso, come anche nell'esempio seguente del pendolo attaccato alla massa, conviene suddividere il problema secondo due condizioni: a) la massa 2m si muove a distanze inferiori ad $a$ dalle altre due masse e la forza esercitata dalle due corde è nulla, in cui servono 2 parametri lagrangiani per descrivere la configurazione; b) la massa 2m si muove a distanze $a$ dalle altre due con forza esercitata dalle corde tese, in cui serve solo un parametro lagrangiano.
Quindi la soluzione viene spezzata in parti in cui una delle due condizioni è verificata. Per esempio, mettiamo che nella configurazione iniziale valga la condizione b), si assume un solo grado di libertà e si ricava la soluzione, fino a che la condizione risulta verificata, cioè fintanto che la forzza delle corde è diretta verso l'alto, altrimenti si passa, dalla configurazione a cui il sistema è giunto, al caso a), con una correzione sulle velocità in base a ipotesi su come avvengono gli urti con i vincoli presenti.
Quindi la soluzione viene spezzata in parti in cui una delle due condizioni è verificata. Per esempio, mettiamo che nella configurazione iniziale valga la condizione b), si assume un solo grado di libertà e si ricava la soluzione, fino a che la condizione risulta verificata, cioè fintanto che la forzza delle corde è diretta verso l'alto, altrimenti si passa, dalla configurazione a cui il sistema è giunto, al caso a), con una correzione sulle velocità in base a ipotesi su come avvengono gli urti con i vincoli presenti.
Ok,
Mi ritrovo con la lagrangiana che hai scritto, ma adesso mi chiedevo , Cosa cambierebbe a livello di gradi di liberta e lagrangiana se il pendolo venisse tirato verso destra da una forza f ?
Grazie
Mi ritrovo con la lagrangiana che hai scritto, ma adesso mi chiedevo , Cosa cambierebbe a livello di gradi di liberta e lagrangiana se il pendolo venisse tirato verso destra da una forza f ?
Grazie
I gdl non cambiano (essi indicano il numero delle coordinate generalizzate indipendenti del sistema) ma bisogna aggiungere nell'energia potenziale il termine relativo a questa nuova forza tenendo presente che $F = - grad U$.
Quindi la lagrangiana in questo caso diventa quella che hai scritto tu in precedenza più il gradiente dell energia potenziale? Ma Come dovremmo esprimere questo gradiente e quindi la lagrangiana, in modo da poter derivare ogni termine rispetto a teta ed x, per ottenere le coordinate lagrangiane?
Inoltre proprio relativamente alle espressioni delle coordinate lagrangiane volevo cercare di capire negli esercizi di questo genere ,rispetto a quale termine della lagrangiana decidiamo di fare la derivata seconda e perché.
Grazie ancora per il Supporto
Inoltre proprio relativamente alle espressioni delle coordinate lagrangiane volevo cercare di capire negli esercizi di questo genere ,rispetto a quale termine della lagrangiana decidiamo di fare la derivata seconda e perché.
Grazie ancora per il Supporto
No, dovresti aggiungere alla lagrangiana un altro pezzo di energia potenziale, quella relativa alla forza $F$, tenendo presente la formula che lega forza ed energia potenziale.
Per esempio, se la forza $F$ che agisce orizzontalmente su $M$ è $F(t)$, dovresti aggiungere $-F(t) x$ cambiata di segno, perché la lagrangiana è $L = T - U$.
Per esempio, se la forza $F$ che agisce orizzontalmente su $M$ è $F(t)$, dovresti aggiungere $-F(t) x$ cambiata di segno, perché la lagrangiana è $L = T - U$.
Quindi visto che la forza agisce su m ed ed orizzontalmente rispetto ad M , all' espressione della lagrangians bisogna sommare il lavoro di questa forza che è come hai scritto forza*spostamento ovvero F (t)*x.
Quello che non mi e molto chiaro invece è come ricavare avendo scritto la lagrangiana , le equazioni di lagrange( ovvero le equazioni differenziali del moto) e quali accorgimenti adottare...
Grazie per la velocità di risposta
Quello che non mi e molto chiaro invece è come ricavare avendo scritto la lagrangiana , le equazioni di lagrange( ovvero le equazioni differenziali del moto) e quali accorgimenti adottare...
Grazie per la velocità di risposta
Scusa non capisco. La forza $F$ l'hai aggiunta in un secondo tempo! Io ho capito che oltre alla forza gravitazionale su $m$ agisce anche una ulteriore forza esterna su $M$.
Se su $M$ invece non agiscono forze esterne, la lagrangiana, secondo me, è quella che ho dato all'inizio ...
Se su $M$ invece non agiscono forze esterne, la lagrangiana, secondo me, è quella che ho dato all'inizio ...
No magari mi son spiegato male, sulla massa m (quella piccola del pendolo) oltre la forza di gravita agisce anche una forza f diretta verso destra che trascina l intero sistema verso destra di uno spostamento x. A questo punto mi interessa capire come varia la lagrangiana e come facccio a ricavare le equazioni di lagrange ( ovvero le equazioni differenziali del moto)
Grazie
Grazie
Allora cambia tutto... Devi trovare una $U$ il cui meno gradiente restituisca la forza che agisce su $m$ ...
Poi costruisci la $L$ in funzione di $x$ e di $\theta$ e quindi applichi le eq. di Euler-Lagrange e trovi le eq. del moto.
Poi costruisci la $L$ in funzione di $x$ e di $\theta$ e quindi applichi le eq. di Euler-Lagrange e trovi le eq. del moto.
Farei così, ma non sono sicuro (i sistemi con vincoli non sono il mio forte) per cui chiedo aiuto agli esperti in materia. La forza $F$ applicata a $m$ è orizzontale e costante.
1) situazione senza vincoli: M(X,Y), m(x,y).
$L = 1/2 M (dot X^2 + dot Y^2) - M g Y + 1/2 m (dot x^2+ dot y^2) - mgy + F x$ .
2) situazione con i vincoli; $Y=0$, $x = X + l sin \theta$, $y = -l cos \theta$.
Adesso basta sostituite e si ottiene $L(X, \theta)$ da sottoporre all'eq. di Euler-Lagrange per ricavare le eq. del moto ...
1) situazione senza vincoli: M(X,Y), m(x,y).
$L = 1/2 M (dot X^2 + dot Y^2) - M g Y + 1/2 m (dot x^2+ dot y^2) - mgy + F x$ .
2) situazione con i vincoli; $Y=0$, $x = X + l sin \theta$, $y = -l cos \theta$.
Adesso basta sostituite e si ottiene $L(X, \theta)$ da sottoporre all'eq. di Euler-Lagrange per ricavare le eq. del moto ...
Vi chiedo di darmi una mano con questo esercizio. Non riesco a capire come conviene procedere.( bisogna ricavare la lagrangiana del sistema secondo voi)
Grazie
Sì 
Ragazzi chiedo il vostro aiuto per guidarmi a risolvere in maniera dettagliata i quesiti dell ultimo problema proposto.
Grazie a tutti coloro che vorranno intervenire
Grazie a tutti coloro che vorranno intervenire
Comincia con lo scrivere le coordinate $x,y$ di $m$ in funzione di $\omega t, \theta$. Poi calcola $L=1/2 m v^2 = 1/2 m (dot x^2 + dot y^2) = ... $. Semplifica e trova le eq del moto. Troverai un'eq analoga a quella del pendolo semplice ...
Ok arrigo , ho provato a fare quello che hai suggerito, e sono giunto alla seguente espressione della velocita che mi permette di calcolare l energia cinetica del sistema
Quello che ho fatto è trovare le coordinate della massa m prima in funzione di teta e poi di (omega) t . A questo punto ho derivato rispetto al tempo le 2 variabili ( prima i termini con teta e poi gli altri),, ottenendo cosi le 2 componenti della velocità e successivamente semplificando.
Teoricamente anche se non mi convince molto questa espressione , ricavando anche l espressione dell energia potenziale oltre a quella cinetica dovrei ottenere l eq. Del moto, ti convince?
Grazie
Quello che ho fatto è trovare le coordinate della massa m prima in funzione di teta e poi di (omega) t . A questo punto ho derivato rispetto al tempo le 2 variabili ( prima i termini con teta e poi gli altri),, ottenendo cosi le 2 componenti della velocità e successivamente semplificando.
Teoricamente anche se non mi convince molto questa espressione , ricavando anche l espressione dell energia potenziale oltre a quella cinetica dovrei ottenere l eq. Del moto, ti convince?
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