Esercizi di meccanica e termodinamica
Salve a tutti, vorrei sottoporvi quattro esercizi che ho cercato di svolgere ma non mi convincono molto... spero possiate aiutarmi a capirli 
Problema 1
http://i1092.photobucket.com/albums/i41 ... imar/1.png
[size=80](scusate, non sono capace di ridurre l'immagine a dimensioni accettabili)[/size]
Io l'ho risolto così:
$ma=-kx-\mu mg \rArr a=k/m-\mu g$
perchè il corpo non si stacchi: $g sen \theta <=a_n sen \theta \rArr g<=v^2/R \rArr v_1= sqrt(gR)$
$v_1=v_0+at \rArr v_0=v_1-at$
sull'ultimo punto avrei bisogno di qualche imput
Problema 2
http://i1092.photobucket.com/albums/i41 ... imar/2.png
$\tau -Rf=(Ia_(cm))/R$
$T-f=ma_(cm)$
chiamando $\tau$ il momento della forza e $a_(cm)$ l'accelerazione del centro di massa
$\tau =rf=(Ia(_cm))/r$
$I=1/2mR^2$
$\rArr (Ia_(cm))/r-Rf=(Ia_(cm))/R \rArr a_(cm)=(rI)/(IR-rR^2m-Ir) \rArr f=I-ma_(cm)$
in questo esercizio il mio principale dubbio è l'uso di r e R, non sono sicura di aver inserito sempre il raggio corretto
Problema 3
http://i1092.photobucket.com/albums/i41 ... imar/3.png
questo l'ho solo impostato, ho riconosciuto che si tratta di un ciclo Diesel in cui
$T_AV_A^(\gamma -1)=T_BV_B^(\gamma -1)$
$Q_(BC)=nc_p(T_C-T_B)$ , $(V_B)/(T_B)=(V_C)/(T_C)$
$T_DV_D^(\gamma -1)=T_DV_A^(\gamma -1)=T_CV_C^(\gamma -1)$
$Q_(DA)=nc_v(T_A-T_D)$ , $(p_D)/(T_D)=(p_A)/(T_A)$
quindi
$T_B=T_A((V_A)/(V_B))^(\gamma -1)$
$p_D=p_AT_D/T_A$
ma qui mi blocco... non capisco cosa fare per ricavare i valori di pressione e temperatura (il calcolo dell'entropia e del rendimento non dovrebbe presentare problemi invece)
Problema 4
http://i1092.photobucket.com/albums/i41 ... imar/4.png
la forza peso deve equilibrare la spinta di Archimede: $\rho _1f_1g= \rho _2f_2g$
il volume sommerso nel liquido 2 deve essere pari al volume di liquido spostato:$\rho _2= \rho f_2/f_1 \rArr \rho= \rho _2f_1/f_2$
e poichè il corpo si trova tra i due liquidi $\rho _1< \rho <\rho _2$
è davvero così semplice o sto sottovalutando qualcosa?
Ringrazio già da ora tutti quelli che mi daranno una mano
Problema 1
http://i1092.photobucket.com/albums/i41 ... imar/1.png
[size=80](scusate, non sono capace di ridurre l'immagine a dimensioni accettabili)[/size]
Io l'ho risolto così:
$ma=-kx-\mu mg \rArr a=k/m-\mu g$
perchè il corpo non si stacchi: $g sen \theta <=a_n sen \theta \rArr g<=v^2/R \rArr v_1= sqrt(gR)$
$v_1=v_0+at \rArr v_0=v_1-at$
sull'ultimo punto avrei bisogno di qualche imput
Problema 2
http://i1092.photobucket.com/albums/i41 ... imar/2.png
$\tau -Rf=(Ia_(cm))/R$
$T-f=ma_(cm)$
chiamando $\tau$ il momento della forza e $a_(cm)$ l'accelerazione del centro di massa
$\tau =rf=(Ia(_cm))/r$
$I=1/2mR^2$
$\rArr (Ia_(cm))/r-Rf=(Ia_(cm))/R \rArr a_(cm)=(rI)/(IR-rR^2m-Ir) \rArr f=I-ma_(cm)$
in questo esercizio il mio principale dubbio è l'uso di r e R, non sono sicura di aver inserito sempre il raggio corretto
Problema 3
http://i1092.photobucket.com/albums/i41 ... imar/3.png
questo l'ho solo impostato, ho riconosciuto che si tratta di un ciclo Diesel in cui
$T_AV_A^(\gamma -1)=T_BV_B^(\gamma -1)$
$Q_(BC)=nc_p(T_C-T_B)$ , $(V_B)/(T_B)=(V_C)/(T_C)$
$T_DV_D^(\gamma -1)=T_DV_A^(\gamma -1)=T_CV_C^(\gamma -1)$
$Q_(DA)=nc_v(T_A-T_D)$ , $(p_D)/(T_D)=(p_A)/(T_A)$
quindi
$T_B=T_A((V_A)/(V_B))^(\gamma -1)$
$p_D=p_AT_D/T_A$
ma qui mi blocco... non capisco cosa fare per ricavare i valori di pressione e temperatura (il calcolo dell'entropia e del rendimento non dovrebbe presentare problemi invece)
Problema 4
http://i1092.photobucket.com/albums/i41 ... imar/4.png
la forza peso deve equilibrare la spinta di Archimede: $\rho _1f_1g= \rho _2f_2g$
il volume sommerso nel liquido 2 deve essere pari al volume di liquido spostato:$\rho _2= \rho f_2/f_1 \rArr \rho= \rho _2f_1/f_2$
e poichè il corpo si trova tra i due liquidi $\rho _1< \rho <\rho _2$
è davvero così semplice o sto sottovalutando qualcosa?
Ringrazio già da ora tutti quelli che mi daranno una mano
Risposte
Per il primo problema da come è fatto il disegno credo devi assumere che la forza di attrito agisce dopo che il corpo si è staccato dalla molla e non durante la fase in cui la molla spinge il corpo. In altre parole il piano con attrito inizia ad una certa distanza dalla molla.
La decelerazione del corpo sul piano con attrito la calcoli facilmente,nota questa, la velocità finale richiesta e lo spazio percorso in decelerazione, calcoli facilmente tempo per percorrerlo e velocità iniziale.
In alternativa puoi usare l'approccio energetico imponendo che l'energia cinetica finale della massa all'imbocco della guida, meno l'energia cinetica della massa all'inizio del piano con attrito è data dal lavoro d'attrito.
Per calcolare la velocità del corpo quando lascia la molla anche hai due strade.
La prima è risolvere l'equazione differenziale
$m \frac{d^2x}{dt^2}=-kx$
tenendo conto che come condizioni al contorno hai ($x(0)=-Delta l$ con $Delta l$ compressione della molla) e $\frac{dx(0)}{dt}=0$.
Alla fine puoi calcolare la velocità massima raggiunta dalla massa che sarà quella di distacco dalla molla e quella all'inizio del piano con attrito.
La seconda è nuovamente quella dell'approccio energetico, l'energia potenziale elastica della molla è convertita in energia cinetica...
Per il secondo problema devi rivedere l'equazione dei momenti, rispetto a che polo è scritta? In tale equazione in ogni caso avrai sia $r$ che $R$.
Inizierei da questi due per ora.
La decelerazione del corpo sul piano con attrito la calcoli facilmente,nota questa, la velocità finale richiesta e lo spazio percorso in decelerazione, calcoli facilmente tempo per percorrerlo e velocità iniziale.
In alternativa puoi usare l'approccio energetico imponendo che l'energia cinetica finale della massa all'imbocco della guida, meno l'energia cinetica della massa all'inizio del piano con attrito è data dal lavoro d'attrito.
Per calcolare la velocità del corpo quando lascia la molla anche hai due strade.
La prima è risolvere l'equazione differenziale
$m \frac{d^2x}{dt^2}=-kx$
tenendo conto che come condizioni al contorno hai ($x(0)=-Delta l$ con $Delta l$ compressione della molla) e $\frac{dx(0)}{dt}=0$.
Alla fine puoi calcolare la velocità massima raggiunta dalla massa che sarà quella di distacco dalla molla e quella all'inizio del piano con attrito.
La seconda è nuovamente quella dell'approccio energetico, l'energia potenziale elastica della molla è convertita in energia cinetica...
Per il secondo problema devi rivedere l'equazione dei momenti, rispetto a che polo è scritta? In tale equazione in ogni caso avrai sia $r$ che $R$.
Inizierei da questi due per ora.
Grazie Faussone, sto provando a rifare i due esercizi, appena li finisco li posto, intanto volevo chiedere per il primo esercizio se la parte relativa al distacco dalla guida, $gsen \theta<=a_nsen \theta$ e da qui il valore della velocità finale, è giusto oppure no.
Per il secondo invece io avevo considerato come polo il centro di massa e supposto che si tratti di puro rotolamento sotto l'azione di una forza e di un momento insieme, e nelle formule pensavo di dover usare $r$ nel calcolo di $\tau$ e $R$ in tutti gli altri casi, dico bene?
Per il secondo invece io avevo considerato come polo il centro di massa e supposto che si tratti di puro rotolamento sotto l'azione di una forza e di un momento insieme, e nelle formule pensavo di dover usare $r$ nel calcolo di $\tau$ e $R$ in tutti gli altri casi, dico bene?
"Shalimar":
Grazie Faussone, sto provando a rifare i due esercizi, appena li finisco li posto, intanto volevo chiedere per il primo esercizio se la parte relativa al distacco dalla guida, $gsen \theta<=a_nsen \theta$ e da qui il valore della velocità finale, è giusto oppure no.
Corretto anche se considererei direttamente la situazione più penalizzante scrivendo che nel punto più alto della guida deve valere:
$ma_n >= mg$
"Shalimar":
Per il secondo invece io avevo considerato come polo il centro di massa e supposto che si tratti di puro rotolamento sotto l'azione di una forza e di un momento insieme, e nelle formule pensavo di dover usare $r$ nel calcolo di $\tau$ e $R$ in tutti gli altri casi, dico bene?
Corretto. In tal caso le prime due equazioni che hai scritto vanno bene (prima non capivo cosa fosse $tau$ perché nelle equazioni che scrivi dopo non è chiaro cosa fai). Quando scrivi una soluzione cerca sempre di chiarire le equazioni da cui parti dai calcoli e dalle sostituzioni (non lo dico solo per qui: altrimenti se risolvi un esercizio in un compito o in un esame rischi che non venga compreso anche se magari è corretto).
Corretto anche se considererei direttamente la situazione più penalizzante scrivendo che nel punto più alto della guida deve valere: man≥mg
certo, io avevo considerato il $sen \theta$ per esprimere che valeva per ogni punto della guida.
Comunque il primo esercizio dovrebbe essere così:
per la condizione di appoggio detta sopra $g<=v^2/R$
quindi $v>=sqrt(gR)$
e dovendo considerare il valore minimo della velocità $v_1=sqrt(gR)$
considerando poi l'approccio energetico che mi suggerivi si ha per la velocità iniziale $- \mu mgL=1/2m(v_1)^2-1/2m(v_0)^2$
da cui $v_0=sqrt(m(1/2(v_1)^2+ \mu gL))$
e per la decompressione della molla $1/2kx^2=1/2m(v_0)^2$
da cui $x=v_0sqrt(m/k)$
Tutto giusto?
Il secondo esercizio quindi dovrei averlo svolto correttamente, mi rimane solo un dubbio: $\tau$ è dovuta all'azione di $T$ a distanza $r$ dal polo, quindi posso esprimerlo come $\tau =rT$ o è il caso di usare $\tau =(Ia_(cm))/r$, espressione generale del momento?
Quando scrivi una soluzione cerca sempre di chiarire le equazioni da cui parti dai calcoli e dalle sostituzioni (non lo dico solo per qui: altrimenti se risolvi un esercizio in un compito o in un esame rischi che non venga compreso anche se magari è corretto).
Hai ragione, sono un po' troppo sintetica... dimentico spesso che quello che nella mia testa è ovvio non è altrettanto chiaro sul foglio, sorry
Il primo esercizio mi pare corretto ora.
Per il secondo certo che $tau = T r$, non fare confusione quello che scrivi dopo mica è vero in generale, e infatti non è vero per il caso in questione perché manca il contributo al momento della forza di attrito, come hai riportato invece correttamente nella prima equazione del sistema.
Per il secondo certo che $tau = T r$, non fare confusione quello che scrivi dopo mica è vero in generale, e infatti non è vero per il caso in questione perché manca il contributo al momento della forza di attrito, come hai riportato invece correttamente nella prima equazione del sistema.
Ok, è tutto chiaro, ti ringrazio tantissimo.
Nel frattempo ho svolto anche il terzo esercizio, ve lo mostro:
come ho già scritto si tratta di un ciclo Diesel.
per una adiabatica reversibile $pV^ \gamma =cost$
quindi $V_B=((p_AV_A^ \gamma )/(p_B))^1/ \gamma$
inoltre $TV^( \gamma -1)=cost$
da cui $T_B =T_A (V_A^( \gamma -1))/(V_B^( \gamma -1))$
e sostituendo il valore di $V_B$ trovato:
$T_B=(T_AV_A^( \gamma -1))/((p_A(V_A)^ \gamma)/p_B)^(( \gamma -1)/ \gamma)$
il calore assorbito è pari al calore ceduto quindi $nc_p(T_C-T_B)=nc_V(T_A-T_D)$
da cui $ (T_C)/(T_D)=(T_A)/( \gamma ^2 T_B) $
per una adiabatica $Tp^((1- \gamma )/ \gamma )=cost$
quindi $p_D=((T_C)/(T_D))^( \gamma /(1- \gamma )) p_C $ in cui sostituiamo la frazione trovata prima per avere il valore della pressione in D.
in una isocora $p/T=cost$
da cui $T_D=(p_A)/(p_D)T_A$
a questo punto inserendo il valore della temperatura in D in $(T_C)/(T_D)$ si trova anche la temperatura in C.
Per il rendimento $\eta =1-((T_D-T_A)/( \gamma (T_C-T_B))$
e per l'entropia, ricavando il valore di $n$ dal calore assorbito
$\Delta S=nc_p ln((V_C)/(V_B))$
errori?
Nel frattempo ho svolto anche il terzo esercizio, ve lo mostro:
come ho già scritto si tratta di un ciclo Diesel.
per una adiabatica reversibile $pV^ \gamma =cost$
quindi $V_B=((p_AV_A^ \gamma )/(p_B))^1/ \gamma$
inoltre $TV^( \gamma -1)=cost$
da cui $T_B =T_A (V_A^( \gamma -1))/(V_B^( \gamma -1))$
e sostituendo il valore di $V_B$ trovato:
$T_B=(T_AV_A^( \gamma -1))/((p_A(V_A)^ \gamma)/p_B)^(( \gamma -1)/ \gamma)$
il calore assorbito è pari al calore ceduto quindi $nc_p(T_C-T_B)=nc_V(T_A-T_D)$
da cui $ (T_C)/(T_D)=(T_A)/( \gamma ^2 T_B) $
per una adiabatica $Tp^((1- \gamma )/ \gamma )=cost$
quindi $p_D=((T_C)/(T_D))^( \gamma /(1- \gamma )) p_C $ in cui sostituiamo la frazione trovata prima per avere il valore della pressione in D.
in una isocora $p/T=cost$
da cui $T_D=(p_A)/(p_D)T_A$
a questo punto inserendo il valore della temperatura in D in $(T_C)/(T_D)$ si trova anche la temperatura in C.
Per il rendimento $\eta =1-((T_D-T_A)/( \gamma (T_C-T_B))$
e per l'entropia, ricavando il valore di $n$ dal calore assorbito
$\Delta S=nc_p ln((V_C)/(V_B))$
errori?
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