Esercizi di Fisica sulla Gravitazione Universale?

[AngelicaS1]

Ho fatto diversi tentativi per svolgere gli esercizi sul libro di fisica, per prepararmi al compito, alcuni mi sono riusciti ma altri no e non so davvero come fare.. Ne posto qualcuno, se qualche utente potesse spiegarmi come si fanno mi farebbe un favore enorme.. grazie
1)Dione, un satellite naturale di Saturno, compie una rivoluzione completa attorno al pianeta ogni 2,7 giorni. La sua orbita ha un raggio doppio rispetto a quello di un altro satellite, Mimante. Quanto vale il periodo di rivoluzione di Mimante? (il risultato è 23h)
2) Attorno ad una stella di massa doppia rispetto al Sole è stato scoperto un pianeta con lo stesso periodo di rotazione della Terra. Quanto vale il raggio medio dell'orbita del pianeta? (risultato: 1,89*10^(-11))
3) Un satellite di massa 3500 kg esegue una manovra per modificare il raggio della propria orbita attorno alla Terra (r1=15000 km; r2=35000 km). Di quanto si modificherà la velocità del satellite dopo il cambio di orbita? Quanta energia cinetica deve essere fornita dal sistema di propulsione? (risultati: -1,8 km/s; 2,7*10^(10))

[Seneca1]

[xdom="Seneca"]Sposto in Fisica.[/xdom]

Benvenuta. Il regolamento richiede che tu posti i tuoi tentativi.

[chiaraotta1]

1) La 3a legge di Keplero dice che il rapporto fra il raggio dell'orbita al cubo e il periodo al quadrato è lo stesso per i due satelliti.
Cioè
$r_D^3/T_D^2=r_M^3/T_M^2$.
Da questa equazione, conoscendo il periodo di Dione $T_D=2.7*24 \ h$ e il rapporto fra i raggi delle due orbite $r_M/r_D=1/2$, si può ricavare il periodo di Mimante $T_M$:
$T_M^2=(r_M/r_D)^3*T_D^2->T_M=T_D*(r_M/r_D)^(3/2)$.

2) La forza centripeta necessaria al pianeta per stare sulla sua orbita è fornita dalla forza di gravitazione universale.
Per il pianeta $x$, la forza centripeta è
$F_(c,x)=(m_x*v_x^2)/r_x=(m_x*((2 pi r_x)/T_x)^2)/r_x=(m_x*4 pi^2* r_x)/T_x^2$.
Uguagliandola alla forza di gravitazione fra pianeta $x$ e stella $sx$, si ottiene
$(m_x*4 pi^2* r_x)/T_x^2=G(m_x*m_(sx))/r_x^2$,
da cui
$4 pi^2* r_x^3=G*m_(sx)*T_x^2$.
Analogamente per la Terra si può scrivere l'equazione
$4 pi^2* r_T^3=G*m_text(sole)*T_T^2$.
Dividendo le due equazioni membro a membro si trova
$(4 pi^2* r_x^3)/(4 pi^2* r_T^3)=(G*m_(sx)*T_x^2)/(G*m_text(sole)*T_T^2)->r_x^3=(m_(sx)*T_x^2)/(m_text(sole)*T_T^2) r_T^3$.
Poiché la massa della stella è doppia di quella del Sole ($m_(sx)=2m_text(sole)$) e il periodo del pianeta è lo stesso della Terra ($T_x=T_T$), dall'equazione precedente si ricava
$r_x=root(3)2* r_T=root(3)2*1.5*10^11 \ m=1.89*10^11 \ m$.

3) Utilizza ancora la 3a legge di Keplero, esprimendo il periodo attraverso il raggio dell'orbita e la velocità.