Esercizi di fisica... Si ricomincia!
Ciao a tutti ragazzi! Era da un bel po' che non ci sentivamo, addirittura dai primi di febbraio! Beh, mi sono preso una bella vacanza, visto che ero riuscito a fare tutti gli esami al primo appello (limitando i danni), ma adesso stiamo di nuovo all'inizio! Mi tocca fare un bel questionario di fisica (elettromagnetismo) che vi propongo integralmente, con le mie soluzioni (al 101% sbagliate), sperando nel solito, gentilissimo, aiuto...
1. Quattro cariche uguali q = 2 * 10^-4 C, sono poste ai vertici di un quadrato di lato L = 5 cm. Quale carica q deve essere posta nel centro del quadrato affinchè ciascuna carica resti in equilibrio? In corrispondenza quanto vale il campo elettrico nel punto medio del quadrato?
Ecco la mia schifosissima risposta:
Prima di tutto, ho calcolato la forza agente su ogni carica, sfruttando questa formula:
adunque, seguendo questa via, udite udite, mi trovo che la forza agente su ogni carica ai lati del quadrato è uguale a 359672 N! Vabbè, mi sono detto, non è il caso di demoralizzarsi, andiamo avanti...
La carica da porre al centro deve attirare le altre con la stessa forza, quindi
da cui q = 0,63 C. Sarà giusto? Il secondo quesito dell'esercizio non l'ho fatto (a dire la verità non ho capito cosa intende con "in corrispondenza"). Andiamo al due:
2. Calcolare e graficare il campo elettrostatico in funzione della distanza dal centro per un guscio sferico di raggio interno R1 = 6cm ed esterno R2 = 8cm su cui è depositata in modo omogeneo una carica q = 2 * 10^-8 C.
Orbene, secondo il mio ragionamento, all'interno del guscio il campo è nullo (vedi teorema di Gauss), mentre all'esterno, quasi troppo banalmente...
Bah.
3. E' assegnata la distribuzione di cariche puntiformi q1 = 1 * 10^-3 C nel punto di coordinate (0,2,0), q2 = -1 * 10^-3 C nel punto (0,0,0) e q3 = 2 * 10^-3 C nel punto (1,0,0) con le distanze espresse in metri. Calcolare il campo elettrico ed il potenziale elettrostatico nel punto P di coordinate (0,0,3) assumendo il potenziale nullo all'infinito. Calcolare l'energia elettrostatica necessaria per portare una carica q = -3 * 10^-3 C da P all'infinito.
Ahimè, qua non ci ho capito niente! HELP!
4. Tre particelle uguali, di cariche negative -q = 10^-7 C e masse m = 10^-5 gr, sono tenute inizialmente nei tre vertici di un triangolo equilatero di lato L = 1 cm. Se queste particelle vengono abbandonate a se stesse simultaneamente, quanto varranno le loro velocità quando si saranno separate di una distanza molto grande?
Qua ho cominciato seriamente a dubitare di me stesso. Ma se la distanza è molto grande (cioè infinita) le velocità non dovrebbero essere infinite?
5. Si consideri una sfera di raggio R = 10cm avente una densità di carica di volume ro(R) = alfa*sqrt(R) e carica totale Q = 12*10^-5 C. Si calcoli la costante alfa. Si calcoli il campo elettrico nei punti a distanza R/2, R ed 2R dal centro della sfera.
Dunque...
e quindi, per trovare il campo:
quest'ultima formula è utile per calcolare il campo solo per la distanza uguale a R/2, mentre per R e 2R mi sono servito della formula dell'esercizio due.
Fatemi sapere ragazzi!
Risposte
I termini in grassetto sono vettori;inoltre pongo
k=1/(4*pi*epsioln0)=9*10^9.Fai tu i calcoli.
1)Sia ABCD il quadrato e t la carica incognita.
Fissiamo un riferimento cartesiano con origine in
A ,asse x su AB (A--->B) e versore i, asse
y su AD (A-->D) e versore j,u versore
della diagonale AC (A-->C).
Osserviamo innanzitutto che t ,per ragioni di
simmetria, e'comunque in equilibrio e che il campo
nel centro del quadrato e' nullo.
Per l'equilibrio della carica in A (e lo stesso vale per
per tutte le altre cariche) deve essere nulla la forza
totale su di essa agente,cioe':
-kq^2/(L^2)i-kq^2/(L^2)j-kq^2/(2L^2)u+2kq|t|/(L^2)u=0
Ora u=(i+j)/sqrt(2)
Sostituendo e ricavando |t| ,risulta:
|t|=q/4*(2sqrt(2)+1).
Secondo me t deve essere negativa altrimenti le forze su A
sono tutte repulsive e non puo' esserci equilibrio.
4)Forse qui dico cretinate.Comunque ecco la mia soluzione.
L'energia totale (mutua) del sistema e':
W=kq1q2/L+kq1q3/L+kq2q3/L=3kq^2/L
All'infinito l'energia potenziale si annulla e W diventa
solo energia cinetica.Pertanto per la conservazione
dell'energia si ha:
3(mv^2/2)=3kq^2/l da cui:
v=|q|sqrt((2k)/(mL)).
Gli altri esercizi a piu' tardi.
karl.
k=1/(4*pi*epsioln0)=9*10^9.Fai tu i calcoli.
1)Sia ABCD il quadrato e t la carica incognita.
Fissiamo un riferimento cartesiano con origine in
A ,asse x su AB (A--->B) e versore i, asse
y su AD (A-->D) e versore j,u versore
della diagonale AC (A-->C).
Osserviamo innanzitutto che t ,per ragioni di
simmetria, e'comunque in equilibrio e che il campo
nel centro del quadrato e' nullo.
Per l'equilibrio della carica in A (e lo stesso vale per
per tutte le altre cariche) deve essere nulla la forza
totale su di essa agente,cioe':
-kq^2/(L^2)i-kq^2/(L^2)j-kq^2/(2L^2)u+2kq|t|/(L^2)u=0
Ora u=(i+j)/sqrt(2)
Sostituendo e ricavando |t| ,risulta:
|t|=q/4*(2sqrt(2)+1).
Secondo me t deve essere negativa altrimenti le forze su A
sono tutte repulsive e non puo' esserci equilibrio.
4)Forse qui dico cretinate.Comunque ecco la mia soluzione.
L'energia totale (mutua) del sistema e':
W=kq1q2/L+kq1q3/L+kq2q3/L=3kq^2/L
All'infinito l'energia potenziale si annulla e W diventa
solo energia cinetica.Pertanto per la conservazione
dell'energia si ha:
3(mv^2/2)=3kq^2/l da cui:
v=|q|sqrt((2k)/(mL)).
Gli altri esercizi a piu' tardi.
karl.
2) La tua risposta sembra giusta.Tuttavia devi considerare
anche il caso di r compreso tra R1 ed R2:si puo' fare ancora
con Gauss ma occorre calcolare la carica effettivamente inclusa.
3)Sia q1 in A1(0,2,0),q2 in A2(0,0,0) ,q3 in A3(1,0,0)
i,j,k i versori degli assi .
Allora:
A1P=sqrt(13),A2P=3,A3P=sqrt(10)
A1P=3k-2j
A2P=3k
A3P=3k-i
Ne segue:
Vp(potenziale elettrostatico in P)=
=kq1/sqrt(13)+kq2/3+kq3/sqrt(10)
E=kq1/(13sqrt(13))*(3k-2j)+kq2/(3*9)*3k+kq3/(10*sqrt(10))*(3k-i)
=-kq3/(10*sqrt(10))*i-2kq1/(13*sqrt(13))*j+(3kq1/(13*sqrt(13))+3kq2/(3*9)+3kq3/(10*sqrt(10)))*k
Le componenti scalari di E sono allora:
Ex=-kq3/(10*sqrt(10)),Ey=-2kq1/(13*sqrt(13)),Ez=3kq1/(13*sqrt(13))+3kq2/(3*9)+3kq3/(10*sqrt(10))
e quindi il modulo di E e':
E=sqrt(Ex^2+Ey^2+Ez^2).
Il lavoro richiesto e':
W=q*Vp
5) il tuo procedimento e' concettualmente esatto.
Tuttavia tieni presente che alfa e' una costante
e non puo' dipendere da un r generico.L'integrazione
deve quindi essere fatta tra 0 ed R;in effetti
nella formula di alfa da te indicata devi cambiare
r in R.
karl.
Modificato da - karl il 22/03/2004 13:57:48
Modificato da - karl il 22/03/2004 16:51:05
anche il caso di r compreso tra R1 ed R2:si puo' fare ancora
con Gauss ma occorre calcolare la carica effettivamente inclusa.
3)Sia q1 in A1(0,2,0),q2 in A2(0,0,0) ,q3 in A3(1,0,0)
i,j,k i versori degli assi .
Allora:
A1P=sqrt(13),A2P=3,A3P=sqrt(10)
A1P=3k-2j
A2P=3k
A3P=3k-i
Ne segue:
Vp(potenziale elettrostatico in P)=
=kq1/sqrt(13)+kq2/3+kq3/sqrt(10)
E=kq1/(13sqrt(13))*(3k-2j)+kq2/(3*9)*3k+kq3/(10*sqrt(10))*(3k-i)
=-kq3/(10*sqrt(10))*i-2kq1/(13*sqrt(13))*j+(3kq1/(13*sqrt(13))+3kq2/(3*9)+3kq3/(10*sqrt(10)))*k
Le componenti scalari di E sono allora:
Ex=-kq3/(10*sqrt(10)),Ey=-2kq1/(13*sqrt(13)),Ez=3kq1/(13*sqrt(13))+3kq2/(3*9)+3kq3/(10*sqrt(10))
e quindi il modulo di E e':
E=sqrt(Ex^2+Ey^2+Ez^2).
Il lavoro richiesto e':
W=q*Vp
5) il tuo procedimento e' concettualmente esatto.
Tuttavia tieni presente che alfa e' una costante
e non puo' dipendere da un r generico.L'integrazione
deve quindi essere fatta tra 0 ed R;in effetti
nella formula di alfa da te indicata devi cambiare
r in R.
karl.
Modificato da - karl il 22/03/2004 13:57:48
Modificato da - karl il 22/03/2004 16:51:05
Grazie mille karl della tua gentilezza!
bentornato Keplero!
Hey grazie! Avevate temuto, eh?
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