Esercizi di Fisica - Forza elastica
Salve, avrei bisogno di aiuto in due esercizi, di cui il primo l'ho risolto ampiamente e vorrei solo conferma.
Per prima cosa ho optato per convertire i vari dati, ottenendo dunque:
$k = 0,2\ N/m$
$L = 0,015\ m$
$m = 0,02\ kg$
1)
Per il lavoro della molla uso la formula: $W = 1/2*k*L^2$ ottenendo dunque: $W = 1/2 * 0,2 * 0,015^2 = 0,0000225\ J$
Per il lavoro della forza di gravità la formula dovrebbe essere $m*g*h$ dove $h$ è il punto massimo ottenuto dalla formula $ (V_0^2*sen^2\theta)/(2*g)$. Per utilizzare tale formula devo ottenere $V_0$ (che mi serve pure per il punto 2). Ho pensato di usare il primo principio di Newton, per prima cosa mi ricavo la forza della molla con $F = -k*L = -0,2 * 0,015 = 0,003\ N$ (sto tralasciando il segno), poi dal primo principio di Newton ricavo l'accelerazione $a = (0,003)/(0,02) =\ 0,15\ m/s^2$.
Uso la formula $V^2 = V_0^2 + 2*a*(x-x_0)$ dove $a$ è quello appena trovato e $x-x_0$ (spostamento) è uguale a $L$, dunque $sqrt(0 + 2*0,15*0,015) =\ 0,067\ m/s$
A questo punto $h = (0,067^2 * sen^2(60))/(2*9,81) = 0,0001715\ m$, il lavoro della forza di gravità sarà $m*g*h = 0,02 * 9,81 * 0,0001775 = 0,0000336483\ J$
2) Ho ricavato la velocità precedentemente.
3) Uso $R =\ (V_0^2 * sen(2*\theta))/(g) =\ (0,067^2 * sen(120))/(9,81) =\ 0,0003962883\ m$
4) $h$, calcolato prima.
5) Uso $tempo =\ (2*V_0 * sen(\theta))/(g) =\ (2*0,067*sen60)/(9,81) = 0,011\ sec$
6) Ho un dubbio, pensato di usare la formula della velocità in funzione dello spostamento usando la medesima accelerazione ottenuta prima ed usando come $x-x_0$ la gittata, è giusto?
Esercizio 1
Una pistola a molla (costante elastica $k = 20\ N/(cm)$) viene compressa di una lunghezza $L = 1,5\ cm$ e spara una pallina di massa $m = 20\ g$ con un angolo di $60$ rispetto al suolo.
Determinare:
1) il lavoro compiuto durante il lancio dalla forza di gravità e dalla molla.
2) la velocità con cui la pallina viene sparata.
3) la gittata dello sparo (discutere le eventuali ipotesi).
4) l'altezza massima raggiunta dalla pallina.
5) il tempo totale durante il quale la pallina resta in volo.
6) la velocità di impatto col suolo.
Per prima cosa ho optato per convertire i vari dati, ottenendo dunque:
$k = 0,2\ N/m$
$L = 0,015\ m$
$m = 0,02\ kg$
1)
Per il lavoro della molla uso la formula: $W = 1/2*k*L^2$ ottenendo dunque: $W = 1/2 * 0,2 * 0,015^2 = 0,0000225\ J$
Per il lavoro della forza di gravità la formula dovrebbe essere $m*g*h$ dove $h$ è il punto massimo ottenuto dalla formula $ (V_0^2*sen^2\theta)/(2*g)$. Per utilizzare tale formula devo ottenere $V_0$ (che mi serve pure per il punto 2). Ho pensato di usare il primo principio di Newton, per prima cosa mi ricavo la forza della molla con $F = -k*L = -0,2 * 0,015 = 0,003\ N$ (sto tralasciando il segno), poi dal primo principio di Newton ricavo l'accelerazione $a = (0,003)/(0,02) =\ 0,15\ m/s^2$.
Uso la formula $V^2 = V_0^2 + 2*a*(x-x_0)$ dove $a$ è quello appena trovato e $x-x_0$ (spostamento) è uguale a $L$, dunque $sqrt(0 + 2*0,15*0,015) =\ 0,067\ m/s$
A questo punto $h = (0,067^2 * sen^2(60))/(2*9,81) = 0,0001715\ m$, il lavoro della forza di gravità sarà $m*g*h = 0,02 * 9,81 * 0,0001775 = 0,0000336483\ J$
2) Ho ricavato la velocità precedentemente.
3) Uso $R =\ (V_0^2 * sen(2*\theta))/(g) =\ (0,067^2 * sen(120))/(9,81) =\ 0,0003962883\ m$
4) $h$, calcolato prima.
5) Uso $tempo =\ (2*V_0 * sen(\theta))/(g) =\ (2*0,067*sen60)/(9,81) = 0,011\ sec$
6) Ho un dubbio, pensato di usare la formula della velocità in funzione dello spostamento usando la medesima accelerazione ottenuta prima ed usando come $x-x_0$ la gittata, è giusto?
Risposte
Direi che hai interpretato male il testo.
Il lavoro della molla va bene.
Il lavoro della forza peso durante il lancio (non durante il trtagitto fino ah h max) è $-mgLsin\alpha$.
La velocità di lancio soddisfa allora l'equazione $1/2mV_0^2=1/2kL^2-mgLsin\alpha$.
Da qui continui tu?
Il lavoro della molla va bene.
Il lavoro della forza peso durante il lancio (non durante il trtagitto fino ah h max) è $-mgLsin\alpha$.
La velocità di lancio soddisfa allora l'equazione $1/2mV_0^2=1/2kL^2-mgLsin\alpha$.
Da qui continui tu?
Ho sbagliato dunque anche gli altri punti dove ho usato $V_0 =\ 0,067\ m/s$?
Direi di si
Ho ripreso sotto mano questo esercizio dopo aver visto un po' la teoria riguardante lavoro, energia cinetica ed energia potenziale. Puoi spiegarmi meglio il ragionamento usato per arrivare all'equazione per trovare la velocità di lancio?
Ti propongo il mio ragionamento: nel sistema agiscono solo forze conservative (forza della molla e forza di gravità, che sono entrambe conservative).
Credo tu abbia usato l'equazione $K_i + U_i = K_f + U_f$ e abbia posto la differenza di energia potenziale $U_i - U_f$ uguale al lavoro totale svolto dalla forza conservativa, che è dato dalla differenza fra il lavoro della molla e quello della forza di gravità (?). Nell'equazione poi scompare $K_f$ perché penso venga eguagliata a zero, ma non ho capito il perché!
Ti propongo il mio ragionamento: nel sistema agiscono solo forze conservative (forza della molla e forza di gravità, che sono entrambe conservative).
Credo tu abbia usato l'equazione $K_i + U_i = K_f + U_f$ e abbia posto la differenza di energia potenziale $U_i - U_f$ uguale al lavoro totale svolto dalla forza conservativa, che è dato dalla differenza fra il lavoro della molla e quello della forza di gravità (?). Nell'equazione poi scompare $K_f$ perché penso venga eguagliata a zero, ma non ho capito il perché!
Normalmente, per abitudine, io mi trovo bene a fare la "foto" dell'energia meccanica nei 2 istanti, sapendo che essa si deve conservare ed è la somma di energia pot. e di en.cinetica. Esattamente come mi attribusici tu nell'ultimo testo.
Posto il potenziale 0 il livello a cui il corpo è fermo sulla molla compressa, la foto li mi dice che l'en. cin. è nulla, quella pot. è $1/2kL^2$.
Quando si scarica, En. potenziale molla è nulla, quella gravitazionale va a $mgLsin\alpha$ e quella cinetica a $1/2mv^2$
Da cui
$1/2kL^2=mgLsin\alpha+1/2mv^2$
Da cui trovi l'espressione (avevo già risolto) $1/2mv^2=1/2kL^2-mgLsin\alpha$
Siccome $1/2mv^2$ è la variazione di En. cinetica, per il teorema omonimo, il secondo membro è il lavoro delle forze esterne agenti sul corpo (molla e gravità).
Posto il potenziale 0 il livello a cui il corpo è fermo sulla molla compressa, la foto li mi dice che l'en. cin. è nulla, quella pot. è $1/2kL^2$.
Quando si scarica, En. potenziale molla è nulla, quella gravitazionale va a $mgLsin\alpha$ e quella cinetica a $1/2mv^2$
Da cui
$1/2kL^2=mgLsin\alpha+1/2mv^2$
Da cui trovi l'espressione (avevo già risolto) $1/2mv^2=1/2kL^2-mgLsin\alpha$
Siccome $1/2mv^2$ è la variazione di En. cinetica, per il teorema omonimo, il secondo membro è il lavoro delle forze esterne agenti sul corpo (molla e gravità).
Ok, ora credo di aver capito. Nel momento in cui la pallina non è stata ancora sparata dalla molla l'energia potenziale è data da $1/2\ k\ L^2$ e l'energia cinetica è ovviamente $0$ perché la pallina non è in movimento. Essendo che l'energia meccanica viene conservata allora nell'istante in cui la pallina viene sparata l'energia meccanica viene trasformata in parte in energia potenziale gravitazionale con formula $m\ g\ L\ sin\alpha$ (dove a quanto ho capito $L$ viene moltiplicato per $sin\alpha$ perché la forza di gravità agisce verticalmente e il seno è la componente verticale) e in parte in energia cinetica associata al moto con formula $1/2\ m\ v^2$.
Dunque impostando l'equazione $1/2\ k\ L^2 = m\ g\ L\ sin\alpha + 1/2\ m\ v^2$ ricavo:
$1/2 * 2000 * 0,015^2 = 0,02 * 9,81* 0,015 * sen(60) + 1/2 * 0,02 * v^2$
$=>\ v = +- 4,71647$
di cui prendo la soluzione positiva.
A questo punto uso $v$ appena trovata per calcolare:
- la gittata con la formula: $(v_0^2\ sen(2\alpha)) / g$
- l'altezza massima con la formula: $(v_0^2\ sen^2\alpha)/(2g)$
- il tempo totale di volo con la formula: $(2\ v_0\ sen\alpha)/g$
La velocità di impatto col suolo come la trovo?
Dunque impostando l'equazione $1/2\ k\ L^2 = m\ g\ L\ sin\alpha + 1/2\ m\ v^2$ ricavo:
$1/2 * 2000 * 0,015^2 = 0,02 * 9,81* 0,015 * sen(60) + 1/2 * 0,02 * v^2$
$=>\ v = +- 4,71647$
di cui prendo la soluzione positiva.
A questo punto uso $v$ appena trovata per calcolare:
- la gittata con la formula: $(v_0^2\ sen(2\alpha)) / g$
- l'altezza massima con la formula: $(v_0^2\ sen^2\alpha)/(2g)$
- il tempo totale di volo con la formula: $(2\ v_0\ sen\alpha)/g$
La velocità di impatto col suolo come la trovo?
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