Esercizi di fisica 2
salve, avrei bisogno di un aiuto per questo esercizio: un'asta metallica AB lunga l=100 cm ruota con frequenza f=3.00 Hz attorno a un asse perpendicolare a essa in un punto P tale che $AP=\alpha \cdot l $ con $ 0 \leq \alpha \leq 1$. in tutta la regione interessata dal moto è presente un campo di induzione magnetica costante e uniforme, parallelo all'asse di rotazione, pari a $B=40.0 mT$. indicata con $\mathcal{E}$ la forza elettromotrice indotta fra gli estremi dell'asta A e B, determinare:
1) la polarità delle estremità dell'asta
2) per quali valori di $\alpha$ risulta massima $\mathcal{E}$
3) la potenza necessaria per mantenere l'asta in rotazione se $\alpha=3/10$ e l'asta è percorsa da una corrente di intensità i=3.00 A
avevo pensato che eventuali cariche subissero una forza da B verso P e da A verso P (se consideriamo cariche positive). così però ho due poli uguali alle estremità (penso che valga anche se considerassimo cariche negative). così facendo la fem diventerebbe la somma di due differenze di potenziale, da trovare in funzione di $\alpha$ per poi derivare e trovare uno zero che corrisponda al massimo.
Non mi sembra giusto questo ragionamento, attendo chiarimenti, grazie.
1) la polarità delle estremità dell'asta
2) per quali valori di $\alpha$ risulta massima $\mathcal{E}$
3) la potenza necessaria per mantenere l'asta in rotazione se $\alpha=3/10$ e l'asta è percorsa da una corrente di intensità i=3.00 A
avevo pensato che eventuali cariche subissero una forza da B verso P e da A verso P (se consideriamo cariche positive). così però ho due poli uguali alle estremità (penso che valga anche se considerassimo cariche negative). così facendo la fem diventerebbe la somma di due differenze di potenziale, da trovare in funzione di $\alpha$ per poi derivare e trovare uno zero che corrisponda al massimo.
Non mi sembra giusto questo ragionamento, attendo chiarimenti, grazie.
Risposte
La somma sarà "algebrica" e non servirà scomodare ne derivate ne integrali per dare risposta alle richieste del problema . 
Tanto per cominciare, prova a postare un tuo tentativo di soluzione, anche parziale.
Tanto per cominciare, prova a postare un tuo tentativo di soluzione, anche parziale.
intendevo che dopo aver trovato la fem in funzione di alpha, derivavo su alpha per trovare il valore di alpha a cui corrisponde il massimo: $\mathcal{E}(\alpha)=\omega B l^2 (\alpha^2+(1-\alpha)^2)$
$\frac{d\mathcal{E}(\alpha)}{d\alpha}=\omega Bl^2(4\alpha -2)$ perciò per avere un massimo $4\alpha-2=0 \Rightarrow \alpha=1/2$
potrebbe essere giusto?
$\frac{d\mathcal{E}(\alpha)}{d\alpha}=\omega Bl^2(4\alpha -2)$ perciò per avere un massimo $4\alpha-2=0 \Rightarrow \alpha=1/2$
potrebbe essere giusto?
"falbob":
... intendevo che dopo aver trovato la fem in funzione di alpha, derivavo su alpha per trovare il valore di alpha a cui corrisponde il massimo ...
Avevo capito la tua intenzione.
"falbob":
.... perciò per avere un massimo $4\alpha-2=0 \Rightarrow \alpha=1/2$
potrebbe essere giusto?
Scusa, ma come potrebbe? Con quel valore per $\alpha$ l'asta verrebbe a trovarsi divisa in due parti uguali PA e PB, e di conseguenza le due fem risulterebbero uguali in modulo ma di verso opposto, portando ad una fem complessiva nulla, non credi?
Ti ricordo che non basta trovare il valore che annulla la derivata per ottenere il punto di massimo.
Visto che, come dicevo, si tratta di una differenza, per massimizzarla basterà massimizzare uno dei due termini e minimizzare l'altro e di conseguenza, in questo caso particolare, la banale risposta al punto 2).
quindi semplicemente la fem massima risulta per $\alpha$ uguale a 1 o 0?
Ciao falbob Benvenuto nel Forum
Ti invito prima a completare il problema seguendo i suggerimenti di Renzo.
Inserisco poi qui un calcolo più formale e quindi assai più pesante, che ti consiglio di visionare solo successivamente.
Ti invito prima a completare il problema seguendo i suggerimenti di Renzo.
"RenzoDF":
v) per rispondere al punto 3) due sono le strade possibili ma equivalenti: la prima considerando il prodotto fra forza e velocità e la seconda, più rapida, utilizzando un prodotto fra grandezze elettriche.
Inserisco poi qui un calcolo più formale e quindi assai più pesante, che ti consiglio di visionare solo successivamente.
Io, come dicevo, più semplicemente, avrei detto che la forza elettromotrice netta è pari a quella indotta sulla parte non compensata dell'asta, di lunghezza $L=(1-2\alpha)l$, che presenta una velocità del suo punto medio, posizionato a \(l/2\) da P, ...
grazie delle risposte. Volevo chiedere anche un'altra cosa che non ho trovato nei libri: il calcolo della capacità di un condensatore con all'interno un dielettrico ($\epsilon_r$) ma con una "bolla" d'aria ($\epsilon_0$) di forma appiattita, allego disegno.
avevo pensato di considerarli in serie perchè "vedono" la stessa carica.
avevo pensato di considerarli in serie perchè "vedono" la stessa carica.
Il tutto può essere visto come un condensatore di area S1 e altezza h1-h2 costante dielettrica $epsilon$ in serie a un parallelo costituito da un condensatore di area S1-S2 e altezza h2 costante dielettrica $epsilon$ con un condensatore di area S2 e altezza h2 costante dielettrica $epsilon_0$
okay, quindi lo si può vedere come se la bolla fosse tutta spostata in basso a destra?
SI
salve, ho un altro esercizio su cui ho dei dubbi.
un conduttore percorso da una corrente i=200 mA è avvolto sulle due espansioni polari di un elettromagnete come mostrato in figura (con N=100 M=90). Le dimensioni medie del nucleo di permalloy ($\mu_r=8000$) sono $a=150 mm$ e $b=90 mm$, con una sezione trasversa quadrata di superficie $S=4.0 cm^2$, l'ampiezza del sottile traferro in aria ($\mu_0$) è $d=10 mm$. determinare:
1) l'ampiezza del campo magnetico H all'interno del nucleo dell'elettromagnete
2) l'ampiezza del campo di magnetizzazione M
3) l'ampiezza del campo di induzione magnetica B all'interno del traferro
4) il coefficiente di autoinduzione dell'elettromagnete
5) la massima forza elettromotrice indotta ai capi del conduttore da un aumento della corrente di $1.0 A/s$
c'è anche un suggerimento che dice che i campi possono essere considerati uniformi su tutti i punti di una sezione trasversa dell'elettromagnete; ed è possibile utilizzare il punto mediano di una tale sezione nei calcoli.
per il punto 1) ho usato la legge di Ampere Maxwell trovando: $\ointH\cdot d\vec l=(N+M)i $ e $H=\frac{(N+M)i}{2b+2a}=79 A/m$
per il punto 2) $\vec M=\chi \vec H$ e quindi $M=(\mu_r-1)H=63 * 10^{4} A/m$
per il 3) ho usato la definizione: $\vec B=(\vec H+\vec M)\mu_0=0.79 T$
per il 4) ho usato la legge di faraday neumann lenz e autoinduzione $L=\frac{\Phi(B)}{(N+M)i}=8.3*10^{-6}H$ con $\Phi(B)=B*S$
e per il 5) ho utilizzato sempre la legge di faraday neumann lenz: $\mathcal{E}_i=-\frac{d\Phi(B)}{dt}$ con $\frac{d}{dt}\int d\Phi(B)=S \frac{N+M}{2b+2a}\frac{di}{dt}(1+\chi)$ e ${di}/{dt}=1.0 A/s$
nutro dei dubbi sul primo punto, devo togliere il pezzo di traforo? gli altri punti vi possono sembrare giusti?
grazie delle risposte
un conduttore percorso da una corrente i=200 mA è avvolto sulle due espansioni polari di un elettromagnete come mostrato in figura (con N=100 M=90). Le dimensioni medie del nucleo di permalloy ($\mu_r=8000$) sono $a=150 mm$ e $b=90 mm$, con una sezione trasversa quadrata di superficie $S=4.0 cm^2$, l'ampiezza del sottile traferro in aria ($\mu_0$) è $d=10 mm$. determinare:
1) l'ampiezza del campo magnetico H all'interno del nucleo dell'elettromagnete
2) l'ampiezza del campo di magnetizzazione M
3) l'ampiezza del campo di induzione magnetica B all'interno del traferro
4) il coefficiente di autoinduzione dell'elettromagnete
5) la massima forza elettromotrice indotta ai capi del conduttore da un aumento della corrente di $1.0 A/s$
c'è anche un suggerimento che dice che i campi possono essere considerati uniformi su tutti i punti di una sezione trasversa dell'elettromagnete; ed è possibile utilizzare il punto mediano di una tale sezione nei calcoli.
per il punto 1) ho usato la legge di Ampere Maxwell trovando: $\ointH\cdot d\vec l=(N+M)i $ e $H=\frac{(N+M)i}{2b+2a}=79 A/m$
per il punto 2) $\vec M=\chi \vec H$ e quindi $M=(\mu_r-1)H=63 * 10^{4} A/m$
per il 3) ho usato la definizione: $\vec B=(\vec H+\vec M)\mu_0=0.79 T$
per il 4) ho usato la legge di faraday neumann lenz e autoinduzione $L=\frac{\Phi(B)}{(N+M)i}=8.3*10^{-6}H$ con $\Phi(B)=B*S$
e per il 5) ho utilizzato sempre la legge di faraday neumann lenz: $\mathcal{E}_i=-\frac{d\Phi(B)}{dt}$ con $\frac{d}{dt}\int d\Phi(B)=S \frac{N+M}{2b+2a}\frac{di}{dt}(1+\chi)$ e ${di}/{dt}=1.0 A/s$
nutro dei dubbi sul primo punto, devo togliere il pezzo di traforo? gli altri punti vi possono sembrare giusti?
grazie delle risposte
Ti faccio solo notare che i due avvolgimenti portano a due forze magnetomotrici discordi e non concordi.
Quanto a quel suggerimento, potevano anche risparmiarselo.
... adesso ingres ti risponderà sul resto.
Quanto a quel suggerimento, potevano anche risparmiarselo.
... adesso ingres ti risponderà sul resto.
Grazie Renzo
Ciao falbob. Ci sono diverse cose che non vanno. Vediamo un punto alla volta.
1) Campo H nell'elettromagnete
Intanto i versi delle f.m.m., come sottolineato da Renzo, sono discordi. Inoltre essendo le sezioni uguali, dalla conservazione del flusso si conserva il campo B e non il campo H. Quindi se B è il campo nel nucleo e Bo quello nel traferro si avrà $B=B_o$ ovvero $mu_0*mu_r*H = mu_0 H_0$ ovvero $H_0=mu_r*H$ e pertanto il teorema di Ampere fornirà:
$H*(2b+2a-d) + H_0*d=H*(2b+2a-d) + mu_r*H*d = (N-M)i$
$H=((N-M)*i)/(2b+2a+d(mu_r-1))=((100-90)*0.2)/(2*0.15+2*0.09+0.01*7999)=0.025 A/m$
In pratica è molto più rilevante la piccola parte in aria rispetto al resto.
2) Campo di Magnetizzazione
La formula è giusta, ma devi usare ovviamente il nuovo valore di H.
3) Campo di Induzione nel Traferro
Vale quanto detto in 1) e quindi
$B_0=B=mu_o*mu_r*H$
Ciao falbob. Ci sono diverse cose che non vanno. Vediamo un punto alla volta.
1) Campo H nell'elettromagnete
Intanto i versi delle f.m.m., come sottolineato da Renzo, sono discordi. Inoltre essendo le sezioni uguali, dalla conservazione del flusso si conserva il campo B e non il campo H. Quindi se B è il campo nel nucleo e Bo quello nel traferro si avrà $B=B_o$ ovvero $mu_0*mu_r*H = mu_0 H_0$ ovvero $H_0=mu_r*H$ e pertanto il teorema di Ampere fornirà:
$H*(2b+2a-d) + H_0*d=H*(2b+2a-d) + mu_r*H*d = (N-M)i$
$H=((N-M)*i)/(2b+2a+d(mu_r-1))=((100-90)*0.2)/(2*0.15+2*0.09+0.01*7999)=0.025 A/m$
In pratica è molto più rilevante la piccola parte in aria rispetto al resto.
2) Campo di Magnetizzazione
La formula è giusta, ma devi usare ovviamente il nuovo valore di H.
3) Campo di Induzione nel Traferro
Vale quanto detto in 1) e quindi
$B_0=B=mu_o*mu_r*H$
4) Coefficiente di Autoinduzione
Il flusso dovuto al campo B è dato da:
$Phi=S*B=S*mu_0*mu_r*H=S*(mu_0*mu_r*(N-M)*i)/(2b+2a+d(mu_r-1))$
A questo punto è come se ci fossero N-M spire e quindi il flusso concatenato vale:
$Phi_c=(N-M)*Phi=S*(mu_0*mu_r*(N-M)^2*i)/(2b+2a+d(mu_r-1))$
e quindi
$L=Phi_c/i=S*(mu_0*mu_r*(N-M)^2)/(2b+2a+d(mu_r-1))$
5) F.E.M. Indotta
Sfruttando il risultato del punto precedente potremo scrivere:
$epsilon = L (di)/(dt)$
Il flusso dovuto al campo B è dato da:
$Phi=S*B=S*mu_0*mu_r*H=S*(mu_0*mu_r*(N-M)*i)/(2b+2a+d(mu_r-1))$
A questo punto è come se ci fossero N-M spire e quindi il flusso concatenato vale:
$Phi_c=(N-M)*Phi=S*(mu_0*mu_r*(N-M)^2*i)/(2b+2a+d(mu_r-1))$
e quindi
$L=Phi_c/i=S*(mu_0*mu_r*(N-M)^2)/(2b+2a+d(mu_r-1))$
5) F.E.M. Indotta
Sfruttando il risultato del punto precedente potremo scrivere:
$epsilon = L (di)/(dt)$
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