Esercizi
Salve chi mi può dare una mano con questi esercizi? Grazie mille
Risposte
Per il 70 ho iniziato a ragionare così:
Per calcolare l'accelerazione delle due masse posso utilizzare il concetto di momento angolare e momento meccanico, dobbiamo considerare le seguenti relazioni:
Momento angolare:
Il momento angolare di un corpo rigido rispetto a un punto fisso è definito come il prodotto tra il momento di inerzia del corpo e la sua velocità angolare. Nel nostro caso, il momento angolare sarà conservato poiché non ci sono momenti esterni agendo sul sistema.
Momento meccanico:
Il momento meccanico di un corpo rispetto a un punto fisso è definito come il prodotto tra la sua massa e la sua velocità lineare, considerato come un vettore. Nel nostro caso, il momento meccanico sarà conservato poiché non ci sono forze esterne che agiscono sul sistema lungo l'asse x.
Consideriamo la massa m1 come la sfera e la massa m2 come il blocco. La sfera è sospesa e, quindi, si muove lungo un arco circolare con raggio R, mentre il blocco scivola sul piano orizzontale. Sia a la loro accelerazione comune e α la velocità angolare della sfera.
Per la sfera (m1):
Il momento angolare della sfera rispetto al punto di sospensione sarà dato da:
$ L1 = I * α $
Il momento meccanico della sfera sarà dato da:
$ L2 = m1 * R * α $
Poiché il sistema è conservativo, il momento angolare e il momento meccanico totale del sistema devono rimanere costanti.
Per il blocco (m2):
Poiché il blocco scivola sul piano orizzontale senza attrito, non ci sono forze che generano un momento esterno lungo l'asse x. Quindi, il momento angolare e il momento meccanico del blocco rimarranno costanti.
Poiché i momenti angolari e i momenti meccanici sono costanti, possiamo scrivere le equazioni:
$ L1 + L2 = costante $ (momento angolare totale)
$ L1 + m2 * R * a = costante $ (momento meccanico totale)
Dove "a" rappresenta l'accelerazione comune delle due masse.
Risolvendo le due equazioni simultaneamente, otteniamo:
$ I * α + m1 * R * α = m2 * R * a $
Notiamo che α è la stessa per entrambi i termini, quindi possiamo semplificare la formula:
$ (I + m1 * R^2) * α = m2 * R * a $
Ora possiamo calcolare l'accelerazione comune a:
$ a = (I + m1 * R^2) * α / (m2 * R) $
Questa è l'accelerazione delle due masse considerando il concetto di momento angolare e momento meccanico.
Che ne pensi?
Per calcolare l'accelerazione delle due masse posso utilizzare il concetto di momento angolare e momento meccanico, dobbiamo considerare le seguenti relazioni:
Momento angolare:
Il momento angolare di un corpo rigido rispetto a un punto fisso è definito come il prodotto tra il momento di inerzia del corpo e la sua velocità angolare. Nel nostro caso, il momento angolare sarà conservato poiché non ci sono momenti esterni agendo sul sistema.
Momento meccanico:
Il momento meccanico di un corpo rispetto a un punto fisso è definito come il prodotto tra la sua massa e la sua velocità lineare, considerato come un vettore. Nel nostro caso, il momento meccanico sarà conservato poiché non ci sono forze esterne che agiscono sul sistema lungo l'asse x.
Consideriamo la massa m1 come la sfera e la massa m2 come il blocco. La sfera è sospesa e, quindi, si muove lungo un arco circolare con raggio R, mentre il blocco scivola sul piano orizzontale. Sia a la loro accelerazione comune e α la velocità angolare della sfera.
Per la sfera (m1):
Il momento angolare della sfera rispetto al punto di sospensione sarà dato da:
$ L1 = I * α $
Il momento meccanico della sfera sarà dato da:
$ L2 = m1 * R * α $
Poiché il sistema è conservativo, il momento angolare e il momento meccanico totale del sistema devono rimanere costanti.
Per il blocco (m2):
Poiché il blocco scivola sul piano orizzontale senza attrito, non ci sono forze che generano un momento esterno lungo l'asse x. Quindi, il momento angolare e il momento meccanico del blocco rimarranno costanti.
Poiché i momenti angolari e i momenti meccanici sono costanti, possiamo scrivere le equazioni:
$ L1 + L2 = costante $ (momento angolare totale)
$ L1 + m2 * R * a = costante $ (momento meccanico totale)
Dove "a" rappresenta l'accelerazione comune delle due masse.
Risolvendo le due equazioni simultaneamente, otteniamo:
$ I * α + m1 * R * α = m2 * R * a $
Notiamo che α è la stessa per entrambi i termini, quindi possiamo semplificare la formula:
$ (I + m1 * R^2) * α = m2 * R * a $
Ora possiamo calcolare l'accelerazione comune a:
$ a = (I + m1 * R^2) * α / (m2 * R) $
Questa è l'accelerazione delle due masse considerando il concetto di momento angolare e momento meccanico.
Che ne pensi?
Non credo che per questa via arrivi ad una soluzione. La conservazione del momento angolare e della quantità di moto richiedono che le forze e i momenti esterni al sistema masse + carrucola siano nulli (almeno in qualche direzione) ma così non è.
Notiamo infatti che sull'asse x agisce la componente orizzontale della reazione R del perno (vedi disegno del testo) e sull'asse y agiscono la gravità, la reazione normale N sulla massa m2 e la componente verticale di R. E queste forze hanno dei momenti non nulli rispetto ad esempio al centro del disco.
La soluzione che avevi postato brevemente e poi rimosso mi sembrava, rispetto a questa, molto più sulla strada giusta anche se aveva alcuni errori. Prova a riprenderla e a correggerla (prendi spunto dal disegno del testo).
Hai la soluzione di questo esercizio ?
Notiamo infatti che sull'asse x agisce la componente orizzontale della reazione R del perno (vedi disegno del testo) e sull'asse y agiscono la gravità, la reazione normale N sulla massa m2 e la componente verticale di R. E queste forze hanno dei momenti non nulli rispetto ad esempio al centro del disco.
La soluzione che avevi postato brevemente e poi rimosso mi sembrava, rispetto a questa, molto più sulla strada giusta anche se aveva alcuni errori. Prova a riprenderla e a correggerla (prendi spunto dal disegno del testo).
Hai la soluzione di questo esercizio ?
Purtroppo no non ho i risultati....avevo postato una soluzione ma mi ero reso conto che avevo letto piano inclinato non orizzontale....cosa mi suggeriresti?
Se colonsideriamo il blocco di massa m2. Poiché il piano è privo di attrito, la forza di attrito è trascurabile. Pertanto, l'unica forza che agisce sul blocco è la tensione nella fune.
Applichiamo la seconda legge di Newton al blocco di massa m2 lungo l'asse orizzontale:
m2 * a = T (Equazione 1)
Dove:
a è l'accelerazione del blocco di massa m2 lungo l'asse orizzontale.
T è la tensione nella fune.
Ora consideriamo la sfera di massa m1. La sfera è soggetta a due forze: la forza di gravità verso il basso e la tensione nella fune verso l'alto.
Applichiamo la seconda legge di Newton alla sfera di massa m1 lungo l'asse verticale:
m1 * g - T = m1 * a' (Equazione 2)
Dove:
g è l'accelerazione di gravità.
a' è l'accelerazione della sfera di massa m1 lungo l'asse verticale.
Notiamo che l'accelerazione della sfera lungo l'asse verticale è legata all'accelerazione del blocco lungo l'asse orizzontale dalla relazione a = r * a'. Questo è dovuto al fatto che la fune non slitta sul bordo della carrucola.
Ora, consideriamo il momento delle forze sulla carrucola. La tensione T causa un momento di torsione sulla carrucola, mentre il blocco e la sfera non causano momenti di torsione significativi a causa del loro asse di rotazione comune.
Applichiamo la seconda legge del moto rotazionale alla carrucola:
I * α = T * r (Equazione 3)
Dove:
I è il momento di inerzia della carrucola rispetto al suo asse di rotazione.
α è l'accelerazione angolare della carrucola.
Poiché la carrucola è in equilibrio, l'accelerazione angolare è nulla (α = 0). Pertanto, possiamo scrivere:
T * r = 0 (Equazione 4)
Dalla Equazione 4, otteniamo che T = 0. Ciò significa che la tensione nella fune è zero, il che implica che il blocco e la sfera si muovono insieme senza scivolare.
Sostituendo T = 0 nella Equazione 1, otteniamo:
m2 * a = 0
Poiché m2 è diverso da zero, l'accelerazione del blocco m2 è zero (a = 0). Ciò significa che il blocco è in equilibrio e non si muove.
Infine, sostituendo T = 0 nella Equazione 2, otteniamo:
m1 * g - 0 = m1 * a'
Semplificando, otteniamo:
g = a'
Quindi, l'accelerazione del blocco m2 è zero, mentre l'accelerazione della sfera m1 è l'accelerazione di gravità o sbaglio?
Applichiamo la seconda legge di Newton al blocco di massa m2 lungo l'asse orizzontale:
m2 * a = T (Equazione 1)
Dove:
a è l'accelerazione del blocco di massa m2 lungo l'asse orizzontale.
T è la tensione nella fune.
Ora consideriamo la sfera di massa m1. La sfera è soggetta a due forze: la forza di gravità verso il basso e la tensione nella fune verso l'alto.
Applichiamo la seconda legge di Newton alla sfera di massa m1 lungo l'asse verticale:
m1 * g - T = m1 * a' (Equazione 2)
Dove:
g è l'accelerazione di gravità.
a' è l'accelerazione della sfera di massa m1 lungo l'asse verticale.
Notiamo che l'accelerazione della sfera lungo l'asse verticale è legata all'accelerazione del blocco lungo l'asse orizzontale dalla relazione a = r * a'. Questo è dovuto al fatto che la fune non slitta sul bordo della carrucola.
Ora, consideriamo il momento delle forze sulla carrucola. La tensione T causa un momento di torsione sulla carrucola, mentre il blocco e la sfera non causano momenti di torsione significativi a causa del loro asse di rotazione comune.
Applichiamo la seconda legge del moto rotazionale alla carrucola:
I * α = T * r (Equazione 3)
Dove:
I è il momento di inerzia della carrucola rispetto al suo asse di rotazione.
α è l'accelerazione angolare della carrucola.
Poiché la carrucola è in equilibrio, l'accelerazione angolare è nulla (α = 0). Pertanto, possiamo scrivere:
T * r = 0 (Equazione 4)
Dalla Equazione 4, otteniamo che T = 0. Ciò significa che la tensione nella fune è zero, il che implica che il blocco e la sfera si muovono insieme senza scivolare.
Sostituendo T = 0 nella Equazione 1, otteniamo:
m2 * a = 0
Poiché m2 è diverso da zero, l'accelerazione del blocco m2 è zero (a = 0). Ciò significa che il blocco è in equilibrio e non si muove.
Infine, sostituendo T = 0 nella Equazione 2, otteniamo:
m1 * g - 0 = m1 * a'
Semplificando, otteniamo:
g = a'
Quindi, l'accelerazione del blocco m2 è zero, mentre l'accelerazione della sfera m1 è l'accelerazione di gravità o sbaglio?
Molte cose sono corrette, ma ci sono alcuni errori. Devi tener conto che:
1) il filo che scorre è unico e quindi il tratto $x_2$ percorso da m2 dovrà essere uguale all'arco percorso dalla carrucola (perchè non slitta) $r theta$ e uguale anche al tratto percorso in discesa $x_1$ da m1.
2) La tensione T1 verso m1 e T2 verso m2 del filo sono diverse, perchè il filo ha massa nulla e quindi la somma delle forze deve essere nulla, ma poichè anche la carrucola fornisce una reazione sul filo T1 sarà diverso da T2. Questo avviene in generale perchè la carrucola non ha più massa trascurabile ed è anche presente nel disegno del testo.
Ti posto quella che è a mio giudizio la soluzione, ma come al solito ti invito a provare prima da solo tenendo conto di quanto sopra.
1) il filo che scorre è unico e quindi il tratto $x_2$ percorso da m2 dovrà essere uguale all'arco percorso dalla carrucola (perchè non slitta) $r theta$ e uguale anche al tratto percorso in discesa $x_1$ da m1.
2) La tensione T1 verso m1 e T2 verso m2 del filo sono diverse, perchè il filo ha massa nulla e quindi la somma delle forze deve essere nulla, ma poichè anche la carrucola fornisce una reazione sul filo T1 sarà diverso da T2. Questo avviene in generale perchè la carrucola non ha più massa trascurabile ed è anche presente nel disegno del testo.
Ti posto quella che è a mio giudizio la soluzione, ma come al solito ti invito a provare prima da solo tenendo conto di quanto sopra.
Grazie mille in effetti l'ho rifatto prima di controllare la tua soluzione ed è esattamente la stessa...
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