Esagoni e molle
Salve a tutti innanzi tutto mi presento sono Mimmo, un programmatore appassionato di matematica e fisica quanto ignorante nelle stesse 
.
Da giorni mi frulla per la testa un problema di fisica classica, in pratica vorrei realizzare un programma che simuli quello che vi sto per dire.
Si immagini un reticolo a maglie triangolari dove i vertici dei triangoli siano palline e i lati dei triangoli siano molle ecco l'immagine:
in pratica immaginate che ad ogni incrocio ci sia una pallina e che ogni segmento/lato del triangolo sia una molla. Il reticolo è infinito o comunque costituito da un numero enorme di punti ed in condizione di equilibrio (stesso coefficiente k per ogni molla) ogni punto è equidistante dai 6 punti che lo circondano che in pratica formano un esagono attorno a lui.
Supponiamo quindi che il k di ogni molla del reticolo sia 1.
Quello che voglio fare e prendere un punto p qualsiasi e dare un k alle 6 molle collegate su quel punto maggiore di 1 e vedere come i punti attorno a p si spostano e come di conseguenza spostano a loro volta anche i punti successivi.
Avrei bisogno del modello matematico per implementare l'algoritmo sul pc. Potete aiutarmi?
.Da giorni mi frulla per la testa un problema di fisica classica, in pratica vorrei realizzare un programma che simuli quello che vi sto per dire.
Si immagini un reticolo a maglie triangolari dove i vertici dei triangoli siano palline e i lati dei triangoli siano molle ecco l'immagine:
in pratica immaginate che ad ogni incrocio ci sia una pallina e che ogni segmento/lato del triangolo sia una molla. Il reticolo è infinito o comunque costituito da un numero enorme di punti ed in condizione di equilibrio (stesso coefficiente k per ogni molla) ogni punto è equidistante dai 6 punti che lo circondano che in pratica formano un esagono attorno a lui.
Supponiamo quindi che il k di ogni molla del reticolo sia 1.
Quello che voglio fare e prendere un punto p qualsiasi e dare un k alle 6 molle collegate su quel punto maggiore di 1 e vedere come i punti attorno a p si spostano e come di conseguenza spostano a loro volta anche i punti successivi.
Avrei bisogno del modello matematico per implementare l'algoritmo sul pc. Potete aiutarmi?
Risposte
Ciao Mimmo, non credo di poterti essere d'aiuto ma mi sono incuriosito e vorrei un chiarimento. In pratica inizialmente il sistema è in equilibrio, poi a un certo punto una molla diventa più rigida delle altre, giusto? Ma dovresti specificare anche di quanto sono allungate le molle rispetto alla posizione di equilibrio. Se le molle fossero tutte a riposo il sistema resterebbe stabile dopo la modifica al $k$.
intanto volevo specificare che si tratta di molle ideali quindi possono essere allungate all'infinito.
a riposo le molle hanno una lunghezza pari a zero sicchè i punti più esterni devono essere in qualche modo ancorati altrimenti il tutto imploderebbe in un punto.
Fatte queste precisazioni che mi scuso ma ho dimenticato nella prima stesura ora rispondo a quello che mi hai chiesto.
se le molle hanno tutte la stessa k e la stessa forza (f=kx) , x è costante quindi tutti i punti sono equidistanti tra loro.
io voglio costruire un simulatore (io programmo in php ma a voi chiedo la soluzione matematica poi mi arrangio io ad implementarla) che preso un punto p a caso e aumentando f alle 6 molle che lo circondano mi calcoli la nuova posizione di tutti i punti della griglia. In pratica l'esagono attorno a quel punto si stringe e stringendosi trascina con se anche tutti i punti della griglia teoricamente all'infinito creando una nuova posizione di equilibrio. Spero di essere stato chiaro altrimenti fatemi sapere.
grazie comunque dell'attenziione
a riposo le molle hanno una lunghezza pari a zero sicchè i punti più esterni devono essere in qualche modo ancorati altrimenti il tutto imploderebbe in un punto.
Fatte queste precisazioni che mi scuso ma ho dimenticato nella prima stesura ora rispondo a quello che mi hai chiesto.
"dissonance":
poi a un certo punto una molla diventa più rigida delle altre, giusto
se le molle hanno tutte la stessa k e la stessa forza (f=kx) , x è costante quindi tutti i punti sono equidistanti tra loro.
io voglio costruire un simulatore (io programmo in php ma a voi chiedo la soluzione matematica poi mi arrangio io ad implementarla) che preso un punto p a caso e aumentando f alle 6 molle che lo circondano mi calcoli la nuova posizione di tutti i punti della griglia. In pratica l'esagono attorno a quel punto si stringe e stringendosi trascina con se anche tutti i punti della griglia teoricamente all'infinito creando una nuova posizione di equilibrio. Spero di essere stato chiaro altrimenti fatemi sapere.
grazie comunque dell'attenziione
Vedo che purtroppo non stai avendo risposte. E' perché il problema come lo hai posto è troppo generico e complesso. Prova a fornire uno schema semplificato con un solo esagono, magari agganciato ad una circonferenza fissa che lo circoscriva. Così il problema si semplifica ed è più probabile che qualcuno possa esserti d'aiuto. Poi si penserà a generalizzare.
In effetti il problema è complesso, io mi sto dedicando e spero di aver inquadrato la via della soluzione, speravo che qualcuno meno arrugginito di mè potesse darmi una mano ma forse è troppo difficile.
Comunque ti esprimo la mia gratitudine per il tuo interesse e ora ti dico la strada su cui sto lavorando.
La posizione di ogni punto all'interno dell'esagono è una posizione di equilibrio delle forze quindi:
$ sum_(i = 1)^(6)fi = 0 $
quindi
$ sum_(i = 1)^(6)ki*Xi = 0 $
E' necessario quindi sviluppare per ogni punto questa sommatoria creando un sistema di sommatorie.
Successivamente vige anche un'altra proprietà, il punto p appartiene alle rette date dai vertici dell'esagono a cui appartiene, sia in condizione di equilibrio che quando l'esagono è deformato.
se i punti sono n mettendo insieme tutte queste equazioni si trova un sistema di non so quante equazioni che comunque dovrebbero tornarmi le coordinate x e y di ogni punto, cosa ne pensi?
Comunque ti esprimo la mia gratitudine per il tuo interesse e ora ti dico la strada su cui sto lavorando.
La posizione di ogni punto all'interno dell'esagono è una posizione di equilibrio delle forze quindi:
$ sum_(i = 1)^(6)fi = 0 $
quindi
$ sum_(i = 1)^(6)ki*Xi = 0 $
E' necessario quindi sviluppare per ogni punto questa sommatoria creando un sistema di sommatorie.
Successivamente vige anche un'altra proprietà, il punto p appartiene alle rette date dai vertici dell'esagono a cui appartiene, sia in condizione di equilibrio che quando l'esagono è deformato.
se i punti sono n mettendo insieme tutte queste equazioni si trova un sistema di non so quante equazioni che comunque dovrebbero tornarmi le coordinate x e y di ogni punto, cosa ne pensi?
Posso tentare qualche considerazione che mi permette di semplificare il problema.
Se prendo una rete infinita di maglie elastiche di questo tipo, tolgo una maglia originaria e la sostituisco con una maglia di diversa rigidità, a causa della grande estensione di questa rete in rapporto alla piccolezza della maglia posso pensare che la tensione della rete non cambi sostanzialmente, nemmeno in prossimità della maglia che ho sostituito. Allora posso immaginare che ciascuno dei 6 punti al confine della maglia sostituita tiri le 6 molle della maglia diretti verso il punto centrale con la stessa forza di prima. La forza in questione è [tex]F = k\left( {l - {l_0}} \right)[/tex], dove definisco con l la lunghezza della singola molla originaria (pari alle lunghezze di tutte le molle della rete) e $l_0$ la lunghezza della molla stessa a riposo, che naturalmente è minore di l.
Allora detta k' la nuova costante di elasticità delle 6 molle della maglia sostituita, dove k'>k, posso dire: [tex]F = k\left( {l - {l_0}} \right) = k'\left( {l' - {l_0}} \right)[/tex], dove l' è la lunghezza delle molle tese della maglia sostituita (supponendo che la lunghezza a riposo delle molle sostituite sia sempre $l_0$).
Allora avremo che la maglia sostituita avrà dimensioni minori delle altre maglie (che restano sostanzialmente tutte della medesima dimensione di prima), e la diversità di lunghezza di ogni molla (cioè l-l') sarà [tex]\delta l = \left( {l - {l_0}} \right)\left( {1 - \frac{k}{{k'}}} \right)[/tex].
Se volessi iterare il procedimento per maglie limitrofe avrei che l'"isola" di maglie più rigide e quindi più piccole si estende uniformememnte nel cuore della rete originaria. Questo però nell'ipotesi che la rete originaria sia davvero infinita, perché altrimenti l'effetto dei bordi non sarebbe ininfluente e la tensione della rete originaria non rimarrebbe inalterata via via che si sostituiscono le maglie, ma aumenterebbe progressivamente.
Mi rendo conto però che così il problema appare molto meno interessante di come poteva sembrare a prima vista...
Se prendo una rete infinita di maglie elastiche di questo tipo, tolgo una maglia originaria e la sostituisco con una maglia di diversa rigidità, a causa della grande estensione di questa rete in rapporto alla piccolezza della maglia posso pensare che la tensione della rete non cambi sostanzialmente, nemmeno in prossimità della maglia che ho sostituito. Allora posso immaginare che ciascuno dei 6 punti al confine della maglia sostituita tiri le 6 molle della maglia diretti verso il punto centrale con la stessa forza di prima. La forza in questione è [tex]F = k\left( {l - {l_0}} \right)[/tex], dove definisco con l la lunghezza della singola molla originaria (pari alle lunghezze di tutte le molle della rete) e $l_0$ la lunghezza della molla stessa a riposo, che naturalmente è minore di l.
Allora detta k' la nuova costante di elasticità delle 6 molle della maglia sostituita, dove k'>k, posso dire: [tex]F = k\left( {l - {l_0}} \right) = k'\left( {l' - {l_0}} \right)[/tex], dove l' è la lunghezza delle molle tese della maglia sostituita (supponendo che la lunghezza a riposo delle molle sostituite sia sempre $l_0$).
Allora avremo che la maglia sostituita avrà dimensioni minori delle altre maglie (che restano sostanzialmente tutte della medesima dimensione di prima), e la diversità di lunghezza di ogni molla (cioè l-l') sarà [tex]\delta l = \left( {l - {l_0}} \right)\left( {1 - \frac{k}{{k'}}} \right)[/tex].
Se volessi iterare il procedimento per maglie limitrofe avrei che l'"isola" di maglie più rigide e quindi più piccole si estende uniformememnte nel cuore della rete originaria. Questo però nell'ipotesi che la rete originaria sia davvero infinita, perché altrimenti l'effetto dei bordi non sarebbe ininfluente e la tensione della rete originaria non rimarrebbe inalterata via via che si sostituiscono le maglie, ma aumenterebbe progressivamente.
Mi rendo conto però che così il problema appare molto meno interessante di come poteva sembrare a prima vista...
Se $l$ è diverso dal $l'$ i lati dell'esagono attorno al punto considerato non rimangono tali e quali ma si accorciano e quindi nemmeno gli angoli tra le molle rimangono tali, a meno che non si supponga che la variazione della costante elastica (o gli spostamenti dei nodi) non sia tanto alta da causare una variazione negli angoli molto influente nella soluzione. é la supposizione che si fa ad esempio nella soluzione delle travature reticolari con il meotodo degli spostamenti dei nodi.
Il calcolo risulta abbastanza complicato, ma si tratta di risolvere un sistema di equazione algebriche, la definizione di vettori e matrici di dimensione piuttosto alta.
Il passaggio al limite con rete che si estende all'infinito non saprei come farlo, penso che sia il nocciolo della questione.
Il calcolo risulta abbastanza complicato, ma si tratta di risolvere un sistema di equazione algebriche, la definizione di vettori e matrici di dimensione piuttosto alta.
Il passaggio al limite con rete che si estende all'infinito non saprei come farlo, penso che sia il nocciolo della questione.
in effetti l'idea del sistema di nirvana è quella che sto cercando di implementare io, una volta capite le equazioni diventa un problema di calcolo numerico e mi toccherà disturbare ancora qualcuno esperto di algebra lineare per capire come ridurre la complessità di calcolo con il computer.
volevo anche rispondere a falco5x
>Questo però nell'ipotesi che la rete originaria sia davvero infinita, perché altrimenti l'effetto dei bordi non sarebbe ininfluente e la tensione della rete >originaria non rimarrebbe inalterata via via che si sostituiscono le maglie, ma aumenterebbe progressivamente.
>Mi rendo conto però che così il problema appare molto meno interessante di come poteva sembrare a prima vista...
la rete in teoria è infinita ma in pratica devo inserirla nel calcolatore quindi devo crearne una finita abbastanza grande in modo tale che la variazione dei punti più esterni attaccati a quelli ancorati sia trascurabile.
grazie a tutti
volevo anche rispondere a falco5x
>Questo però nell'ipotesi che la rete originaria sia davvero infinita, perché altrimenti l'effetto dei bordi non sarebbe ininfluente e la tensione della rete >originaria non rimarrebbe inalterata via via che si sostituiscono le maglie, ma aumenterebbe progressivamente.
>Mi rendo conto però che così il problema appare molto meno interessante di come poteva sembrare a prima vista...
la rete in teoria è infinita ma in pratica devo inserirla nel calcolatore quindi devo crearne una finita abbastanza grande in modo tale che la variazione dei punti più esterni attaccati a quelli ancorati sia trascurabile.
grazie a tutti
"mimmux":
la rete in teoria è infinita ma in pratica devo inserirla nel calcolatore quindi devo crearne una finita abbastanza grande in modo tale che la variazione dei punti più esterni attaccati a quelli ancorati sia trascurabile.
Un accorciamento dx di ogni molla appartenente alla maglia sostituita si distribuisce su tutte le numerosissime maglie che separano il punto in oggetto dal bordo, per cui la variazione di tensione secondo me è così piccola da risultare non apprezzabile.
A mio giudizio quello che ti ho già detto riguardo alla rete infinita è una buona approssimazione della realtà. Comunque fa' pure come consiglia nnsoxke, se vuoi, anche se a mio parere rischi di impelagarti in una marea di calcoli praticamente inutili. E buona fortuna.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo