Es banale di fisica matematica
E' un esercizio banale ma non riesco a farlo e questo mi irrita assai....
Un p.to di massa M è soggetto alla forza peso e a una forza elastica avente centro nell'origine e costante h. Per semplicità si supponga che il p.to si muova lungo la retta verticale z. Determinare il moto se inizialmente il p.to si trova:
a) nella posizione $z_0$ con velocità $z'_0$
b) nella posizione $z_0=Mg/h$ e velocità $z'_0 = 0$
Io ho risolto l'eq differenziale: $z''(t)+h/M z(t) = g$ arrivando a: $z(t) = c_1 e^(sqrt(-h/M)t)+ c_2 e^(-sqrt(-h/M)t)+gM/h$ e applicando b) mi risulta $c_1 = c_2$ ovviamente il risultato non è questo.....
ho sbagliato a fare la differenziale o cosa??
come si risolve?
Grazie
Un p.to di massa M è soggetto alla forza peso e a una forza elastica avente centro nell'origine e costante h. Per semplicità si supponga che il p.to si muova lungo la retta verticale z. Determinare il moto se inizialmente il p.to si trova:
a) nella posizione $z_0$ con velocità $z'_0$
b) nella posizione $z_0=Mg/h$ e velocità $z'_0 = 0$
Io ho risolto l'eq differenziale: $z''(t)+h/M z(t) = g$ arrivando a: $z(t) = c_1 e^(sqrt(-h/M)t)+ c_2 e^(-sqrt(-h/M)t)+gM/h$ e applicando b) mi risulta $c_1 = c_2$ ovviamente il risultato non è questo.....
ho sbagliato a fare la differenziale o cosa??
come si risolve?
Grazie
Risposte
Dovresti specificare la direzione dell'asse, poichè con quelle condizioni in un caso la molla contribuisce a far cadere il corpo mentre nell'altro componsa perfettamente la forza peso, mantenendolo fermo nella posizione iniziale.
Nel primo caso la soluzione è $z(t) = {Mg}/h(2cos(\sqrt{h/M}t)-1)$ mentre nel secondo $z(t) = {Mg}/h$.
Nel primo caso la soluzione è $z(t) = {Mg}/h(2cos(\sqrt{h/M}t)-1)$ mentre nel secondo $z(t) = {Mg}/h$.
la risposta corretta è la seconda...come hai fatto? o dove ho sbagliato?
La soluzione dell'equazione differenziale, riscritta in termini di coseni e seni piuttosto che esponenziali complessi, è $z(t) = c_1cos(\sqrt(h/M)t) + c_2sin(\sqrt(h/M)t) + {Mg}/h$. Chiaramente questa la ottieni prendendo le opportune combinazioni lineari che realizzano le due funzioni trigonometriche.
A questo punto dalla condizione $z(0) = {Mg}/h$ hai $c_1 = 0$, mentre da $z'(0) = 0$ ottieni $c_2 = 0$.
A questo punto dalla condizione $z(0) = {Mg}/h$ hai $c_1 = 0$, mentre da $z'(0) = 0$ ottieni $c_2 = 0$.
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