Errori brutali con il gradiente di una funzione

[ludwigZero]

Ciao a tutti
sembra banale ma non riesco a venir a capo di questa banale assunzione, ovvero:


http://tinypic.com/r/2exq8i1/5

$V$ è uno scalare
quindi vorrei vedere perchè alla fine esce solo $\sum V_i$. So che il gradiente si scrive:
$d/dx i + d/dy j + d/dz k$ mentre $r= x i + y j + z k$
quindi viene:

$V [ dx/dx i*i + dy/dy j*j + dz/dz k*k]$

da cui:

$V [ i*i + j*j + k*k]$

ora non dovrebbe venire $3 \sum V_i$ ?

dove falla il mio ragionamento?

[alephy]

Invece di applicare il gradiente ad r, devi applicarlo a V e poi fare il prodotto scalare con r.

[ludwigZero]

sto bestemmiando la matematica, me ne rendo conto. Abbiate pazienza. xD
Credo di esserci arrivato quasi....


$\nabla = d/dx *i + d/dy *j + d/dz *k$

$r = x* i + y* j + z* k$

$\nabla*V = (dV)/dx + (dV)/dy + (dV)/dz$

$(\nabla*V)*r = [(dV)/dx *i+ (dV)/dy *j+ (dV)/dz *k]*(x* i + y* j + z* k)=$

$= [(dx)/dx *V i*i + (dy)/dy *V j*j+ (dz)/dz *V j*j]$

da cui:

$ V = V_x *i + V_y *j + V_z *k = V_i$

dovrei trovarmi con il risultato, altri errori? xD

[alephy]

Uhm, non capisco dove vuoi arrivare, però comunque c'è un po' di confusione.
In realtà quello che ti serve calcolarti è
[tex]\int_{a}^{b}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}-\nabla V \cdot d \mathbf{r}[/tex].
Adesso, devi mostrare che la formula sopra è uguale a [tex]V(b)-V(a)[/tex]. Questo è immediato dal momento che la forma differenziale è esatta, è il potenziale da cui è dedotta è proprio [tex]V[/tex]. So che forse non hai ancora studiato gli integrali di linea, però la via giusta per comprendere questo risultato è quella matematica...

[ludwigZero]

"alephy":Uhm, non capisco dove vuoi arrivare, però comunque c'è un po' di confusione.
In realtà quello che ti serve calcolarti è
[tex]\int_{a}^{b}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\int_{a}^{b}-\nabla V \cdot d \mathbf{r}[/tex].
Adesso, devi mostrare che la formula sopra è uguale a [tex]V(b)-V(a)[/tex]. Questo è immediato dal momento che la forma differenziale è esatta, è il potenziale da cui è dedotta è proprio [tex]V[/tex]. So che forse non hai ancora studiato gli integrali di linea, però la via giusta per comprendere questo risultato è quella matematica...

gli integrali di linea non li ho fatti ancora, vorrei 'dimostrare' non $V(b) - V(a)$ ma che $- \sum \int \ nabla_i V_i * r_i = \sum V_i$

cioè come fa ad arrivare a solo la sommatoria di $V_i$ facendo tutti i calcoli con le componenti...

[alephy]

Beh vedi, la somma è fatta sul numero di particelle del sistema, quindi basta far vedere che quella formula è valida per una sola particella, poi basta sommare su tutte e N.